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文档简介

高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题,考点自测,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,考点自测,1.(2015课标全国改编)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为_.,答案,解析,则AB2a,由双曲线的对称性,可设点M(x1,y1)在第一象限内, 过M作MNx轴于点N(x1,0), ABM为等腰三角形,且ABM120, BMAB2a,MBN60,,答案,解析,2.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F( ,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足OPOF,且PF4,则椭圆C的方程为_.,右焦点为F,连结PF,如图所示,,由OPOFOF知,FPF90,即FPPF. 在RtPFF中,由勾股定理,,由椭圆定义,得PFPF2a4812,,3.(2017山西质量监测)已知A,B分别为椭圆 1(ab0)的右顶点和上顶点,直线ykx(k0)与椭圆交于C,D两点,若四边形ACBD的面积的最大值为2c2,则椭圆的离心率为_.,答案,解析,设C(x1,y1)(x10),D(x2,y2), 将ykx代入椭圆方程可解得,即2c4a2b2a2(a2c2)a4a2c2,2c4a2c2a40,2e4e210,,4.(2016北京)双曲线 1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a_.,答案,解析,2,设B为双曲线的右焦点,如图所示.四边形OABC为正方形且边长为2,,又a2b2c28,a2.,答案,解析,5.已知双曲线 1(a0,b0)和椭圆 1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_.,题型分类 深度剖析,例1 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为 ,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,则椭圆的方程为_.,题型一 求圆锥曲线的标准方程,答案,解析,由PF1PF2知,PF2垂直于长轴.,求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,主要利用圆锥曲线的定义、几何性质,解得标准方程中的参数,从而求得方程.,思维升华,跟踪训练1 (2015天津改编)已知双曲线 1(a0,b0 )的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切,则双曲线的方程为_.,答案,解析,则a2b24, ,例2 (1)(2015湖南改编)若双曲线 1的一条渐近线经过点(3,4),则此双曲线的离心率为_.,题型二 圆锥曲线的几何性质,答案,解析,即3b4a,9b216a2,9c29a216a2,,答案,解析,圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,求离心率、准线、双曲线渐近线,是常考题型,解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义,及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧,有助于提高运算能力.,思维升华,跟踪训练2 已知椭圆 1(ab0)与抛物线y22px(p0)有相同的焦点F,P,Q是椭圆与抛物线的交点,若PQ经过焦点F,则椭圆 1(ab0)的离心率为_.,答案,解析,PFp,EFp.,题型三 最值、范围问题,例3 设椭圆M: 1(ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数,且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆M的方程;,解答,几何画板展示,(2)若直线y xm交椭圆M于A,B两点,P(1, )为椭圆M上一点,求PAB面积的最大值.,解答,圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种:一是代数法,从代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值;二是几何法,从圆锥曲线的几何性质的角度考虑,根据圆锥曲线几何意义求最值与范围.,思维升华,跟踪训练3 (2016盐城一模)如图,曲线由两个椭圆T1: 1 (ab0)和椭圆T2: 1(bc0)组成,当a,b,c成等比数列时,称曲线为“猫眼”. (1)若“猫眼曲线”过点M(0, ),且a,b,c的公比为 ,求“猫眼曲线”的方程;,解答,a2,c1,,几何画板展示,(2)对于(1)中的“猫眼曲线”,任作斜率为k(k0)且不过原点的直线与该曲线相交,交椭圆T1所得弦的中点为M,交椭圆T2所得弦的中点为N,求证: 为与k无关的定值;,证明,设斜率为k的直线交椭圆T1于点C(x1,y1),D(x2,y2) ,线段CD的中点为M(x0,y0),,k存在且k0,x1x2且x00,,(3)若斜率为 的直线l为椭圆T2的切线,且交椭圆T1于点A,B,N为椭圆T1上的任意一点(点N与点A,B不重合),求ABN面积的最大值.,解答,由0,化简得m2b22c2,,由0,得m2b22a2,,题型四 定值、定点问题,例4 (2016全国乙卷)设圆x2y22x150的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明EAEB为定值,并写出点E的轨迹方程;,解答,几何画板展示,因为ADAC,EBAC,故EBDACDADC,所以EBED, 故EAEBEAEDAD. 又圆A的标准方程为(x1)2y216,从而AD4,所以EAEB4. 由题设得A(1,0),B(1,0),AB2,,(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.,解答,当l与x轴不垂直时,设l的方程为yk(x1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).,故四边形MPNQ的面积,当l与x轴垂直时,其方程为x1,MN3,PQ8,四边形MPNQ的面积为12.,求定点及定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.,思维升华,跟踪训练4 (2016北京)已知椭圆C: 1(ab0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面积为1. (1)求椭圆C的方程;,解答,几何画板展示,(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:ANBM为定值.,证明,由(1)知,A(2,0),B(0,1).,当x00时,y01,BM2,AN2, ANBM4. 故ANBM为定值.,题型五 探索性问题,例5 (2015广东)已知过原点的动直线l与圆C1:x2y26x50相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标;,解答,圆C1:x2y26x50可化为(x3)2y24, 圆C1的圆心坐标为(3,0).,几何画板展示,(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;,解答,设M(x,y), A,B为过原点的直线l与圆C1的交点,且M为AB的中点, 由圆的性质知MC1MO,,由向量的数量积公式得x23xy20. 易知直线l的斜率存在, 设直线l的方程为ymx,,把相切时直线l的方程代入圆C1的方程,,当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为(3,0). 又直线l与圆C1交于A,B两点,M为AB的中点,,(3)是否存在实数k,使得直线L:yk(x4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.,解答,由题意知直线L表示过定点(4,0),斜率为k的直线,,若直线L与曲线C只有一个交点,令f(x)0.,当0时,,若x3是方程的解,,(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在. (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.,思维升华,跟踪训练5 (2016苏州、无锡、常州、镇江二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: (ab0)的离心率为 ,且过点(1, ),过椭圆的左顶点A作直线lx轴,点M为直线l上的动点(点M与点A不重合),点B为椭圆的右顶点,直线BM交椭圆C于点P. (1)求椭圆C的方程;,解答,几何画板展示,所以a22c2,所以a22b2.,(2)求证:APOM;,证明,设直线BM的斜率为k,则直线BM的方程为yk(x2),设P(x1,y1),,化简得(2k21)x28k2x8k240,,令x2,得y4k,,所以APOM.,解答,课时作业,解答,(1)求椭圆E的方程;,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.,证明,1,2,3,4,5,由题设知,直线PQ的方程为yk(x1)1(k2),代入 y21, 得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0,由已知0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,,1,2,3,4,5,2.已知双曲线C: 1(a0,b0)的焦距为3 ,其中一条渐近线的方程为x y0.以双曲线C的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为E,过原点O的动直线与椭圆E交于A,B两点. (1)求椭圆E的方程;,解答,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解答,设A(x1,y1),则B(x1,y1),,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.已知椭圆 1的左顶点为A,右焦点为F,过点F的直线交椭圆于B,C两点. (1)求该椭圆的离心率;,解答,1,2,3,4,5,(2)设直线AB和AC分别与直线x4交于点M,N,问:x轴上是否存在定点P使得MPNP?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.,解答,1,2,3,4,5,依题意,直线BC的斜率不为0, 设其方程为xty1,B(x1,y1),C(x2,y2),,假设x轴上存在定点P(p,0)使得MPNP,,1,2,3,4,5,将x1ty11,x2ty21代入上式,整理得,即(p4)290,解得p1或p7.,所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0),使得MPNP.,1,2,3,4,5,4.已知椭圆 1(ab0)的离心率为 ,且经过点P(1, ),过它的左,右焦点F1,F2分别作直线l1与l2,l1交椭圆于A,B两点,l2交椭圆于C,D两点,且l1l2.,解答,(1)求椭圆的标准方程;,将点P的坐标代入椭圆方程得c21,,1,2,3,4,5,解答,(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围.,1,2,3,4,5,若l1与l2中有一条直线的斜率不存在, 则另一条直线的斜率为0,此时四边形的面积S6. 若l1与l2的斜率都存在,设l1的斜率为k,,则直线l1的方程为yk(x1). 设A(x1,y1),B(x2,y2),,1,2,3,4,5,消去y并整理得(4k23)x28k2x4k2120. ,注意到方程的结构特征和图形的对称性,,1,2,3,4,5,令k2t(0,),,1,2,3,4,5,*5.(2016盐城三模)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: 1 (ab0)的离心率为 ,直线l与x轴交于点E,与椭圆C交于A,B两点.当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时,弦AB的长为 .,解答,(1)求椭圆C的方程;,1,2,3,4,5,因为直线l垂直

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