中考数学复习例题教学的有效性.doc

中考数学复习例题教学的有效性浙江省金华四中 童桂恒例题教学是初三数学复习课的关键之一，它的有效性直接影响着课堂教学的有效性。如何避免就题论题，克服题海训练的低效例题教学的弊端，实现素质教育提出的育人目标，贯彻新课程的课堂教学理念，一方面需要精选例题，明确所选例题的目的，另一方面需要在例题的教学过程中，加强解题方法的比较，实施开放变式的研究，突出命题结论的应用，把课堂教学资源应用到极至，以期通过一个例题的课堂教学，使学生掌握一类问题的解决方法，并在问题的提出和解决过程中，实现数学能力和创新能力的提高。一、众法寻优对于一个典型的例题，不仅具有巩固所学知识的作用，更有优化思维品质的功能。因此，教学中教师需要引导学生在掌握通性通法的基础上，深刻分析命题条件的特殊性，使学生在问题的解决过程中对命题条件有本质的认识，从而达到会解一类题的目的。例1 如图1，在ABC中，AB=AC，P为BC上的一动点，过点P作PDAB，PEAC垂足分别为D，E。CF为AB边上的高线。求证：PD+PE=CF。分析：这是平面几何中常见的一个典型问题，其常规的解法是截长补短法。但题设条件的特殊性：（1）等腰三角形；（2）PD、PE、CF都是垂线段，是否还有更为简捷的证法呢？图1 图11 图1-2证法1（截长法）如图1-1，过点P作PHFC于点H。容易证明四边形DPHF是矩形。 PD=FH。也容易证得RtPECRtCHP， PE=CH。 PD+PE=FH+CH=CF。证法2（截长法）如图1-2，过点D作DKBC交CF于点K。则易证四边形DPCK是平行四边形。 PD=CK，DK=PC。 DKBC， FDK=B=PCE。又 DFK=CEP=90。 RtDFK RtCEP。FK=PE。PD+PE=CK+FK=CF。证法3（补短法）如图1-3，过点C作CGDP，交点P的延长线于点G。容易证得四边形DGCF是矩形。 FC=DG=PD+PG。 CGAB。 PCG=B=ACP。 RtPGC RtPEC。 PG=PE。 FC=PD+PE。证法4（面积割补法）如图1-4，连结AP。图13 图1-4 =ABPD， =ACPE， =ABCF，而 +=， ABPD+ACPE=ABCF。 又 AB=AC， PD+PE=CF。证法5（三角函数法）如图1，在RtPBD，RtPCF，RtBCF中，分别有：PD=PBB，PE=PCC，FC=BCB。又 AB=AC， B=C，B=C。 PD+PE=PBB+PCC=（PB+PC）B=BCB=FC。证法6（比例化归法）如图1，容易证明R tPBDRtCBF。 = （1） AB=AC， B=ACB，RtPCERtCBF = （2）（1）+（2）得 +=+=1。 PD+PE=CF。解法比较：证法1-3都是求证“一条线段等于另外两条线段和”问题的通法，蕴涵了解决这类问题的基本策略；证法4-6充分利用了题设条件的特殊性，如证法4面积割补法，这是由高线想到的；证法5三角函数法，这是由等腰三角形两底角相等想到的；证法6比例化归法，这是由三个三角形都是相似三角形想到的。其中由高想到面积既是本例的特殊解法，更是所有这些解法中的本质解法。二、研究变式在例题的教学过程中，仅满足于一题多解是不够的，开展变式研究，把研究性学习落实到课堂教学之中，对典型问题进行变通推广、探索引申、提炼升华，这是增强例题教学有效性非常行之有效的手段，它不仅能使学生在学习过程中重新认识和构建新知，而且恰当合理的变式研究活动，有利于营造一种宽松互动的教学氛围，激活学生的创新思维和提升学生对数学的积极情感，达到“通过解一题会做一类题”的事半功倍的教学效果。变式1 如图2，在ABC中，AB=AC，点P在BC的延长线上，过点P作PEAC，交AC延长线于E点，过点P作PDAB于点D，CF是AB边上的高线。那么PD，PE和CF存在什么关系？写出你的猜想并加以证明。（略解：存在如下关系：PD-PE=CF。连结AP， =-， ABPD-ACPE=ABCF， 又 AB=AC， PD-PE=CF。） 图2 图3 图4变式2 如图3，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，点P为BC边上的一点，PEAB，PFCD，BGCD，垂足分别为E，F，G。（1）求证：PE+PF=BG；（2）若P是CB延长线上的一点，其它条件不变，那么PE，PF，BG之间有何关系？证明你的结论。（略解：（1）延长BA，CD相交于点G，则GBC是等腰三角形，仿例题即可证得；（2）有结论PF-PE=BG，证明仿变式1即可得证。）变式3 如图4，在ABC中，AB=AC=3，点P是BC边上的一个动点（不与点B、C重合），PEAB，PFAC，分别交AC、AB于点E、F，求PE+PF的长，通过计算，能得出关于PE+PF的长的结论吗？（略解：容易证明四边形AFPE是平行四边形， PF=AE， 又 EPC=B=C，PE=EC。 PE+PF=AC=3； 结论：若点P在线段BC上移动，则PE+PF的长不变，始终等于等腰三角形的腰长。）图5 图6 图7变式4 如图5，点P为正三角形ABC内任一点，PD、PE、PF分别垂直BC、AC、AB于点D、E、F，h为ABC的高。求证：PD+PE+PF=h。（略证：+=，ABPF+BCPD+ACPE=BCh。又 AB=AC=BC， PE+PD+PF=h。）变式5 如图6，已知正六边形ABCDEF的边长为a，点P为正六边形内的任意一点，过P点分别作AB、BC、CD、DE、EF、FA边的垂线，垂足分别为P1、P2、P3、P4、P5、P6，求证：P P1+P P2+P P3+P P4+P P5+P P6=a。（略证：连结PA、PB、PC、PD、PE、PF，则=+ +， 即6=PP1+PP2+PP3+PP4+PP5+P P6，P P1+P P2+P P3+P P4+P P5+P P6=a。）变式6 如图7，点P是正边形A1A2A3An内任意一点，过点P分别作A1A2、A2A3、AnA1边的垂线PP1、PP2、PPn，垂足分别为P1、P2、 、Pn，求证：PP1+PP2+PPn为定值。（答案：由面积割补法知，定值为正边形中心到各边的距离h的倍。） 图8 图9 图10变式7 如图8，已知正六边形ABCDEF的边长为a，点P为正六边形AB边上的任意一点，过P点分别作BC、CD、DE、EF、FA边的垂线，垂足分别为P1、P2、P3、P4、P5，求证：P P1+P P2+P P3+P P4+P P5=a。（提示：证明思路同变式5。）变式8 如图9，正边形A1A2A3An，点P是正边形A1A2，边上的任意一点，过点P分别作A2A3、A3A4、AnA1边的垂线PP1、PP2、PPn-1，垂足分别为P1、P2、 、Pn-1，求证：PP1+PP2+PPn-1为定值。（答案：由面积割补法知，定值为正边形中心到各边的距离h的倍。）三、及时应用一个典型问题的结论往往有着广泛的应用，但在不同的问题情境中，能不能灵活地加以应用，这既是对例题教学有效性的检验过程，也是关注学生对数学的体验和感悟过程。及时应用，让学生领悟数学的魅力和价值，促使学生的情感、态度和价值观发生积极的变化，同时也是有效提升学生思维灵活性的绝好时机。例2 如图10，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBE于点R。求PQ+PR的值。略解：在等腰三角形BCE中，PQBC，PRBE，PQ+PR=点C到BD的距离=。图11 图12例3 某古建筑内有一个等腰三角形的窗框格子，如图11，窗框内每一条同方向木条都互相平行，已知此等腰三角形的腰长为50cm，底边长为80cm，请你计算，这样一个窗框所需木条的总长度。略解：由变式3的结论知：窗框所需木条总长度为 750+AB+AC+BC=350+50+50+80=530（cm）。例4 如图12，已知梯形ABCD，ADBC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC上一个动点（点E不与B、C两点重合），EFBD交AC于点F，EGAC交BD于点G。（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；（2）请你将上述题目的条件“已知梯形A