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实变函数第三章期末复习题解答一、 填空题1. 有界可测集和无界可测集统称为（可）测集2. 点集 为可测集的充要条件是 为（可）测集.3. 任何开集，闭集都是（可）测集.4. 任何波雷尔集都是（可）测集5. 任何可测集必是一个波雷尔集与一个测度为零的可测集的（并集和差集）6. 如果，则 的任何子集也可测且测度为（零）二、单选题1. 至少有一个内点的可测集的测度一定（A）零A B C D 以上答案都不对2. 中任何可测集都可表为至多可列个互不相交的有界可测集的（ B）A 交集 B 并集 C 交集的补集 D 并集的补集3. 设E是有限点集或可列点集，则=（ A ）A 0 B 1 C D e4. 可列个外侧度为零的集合的并集的外侧度为（ A ）A 0 B 1 C 2 D 不存在5. 若（C ）0，则E为可测集。A B C D 6. 设A和B均可测，且.若)=0,则（ C ）A B C D 三、证明题或计算题1. .设 都是 中的点集， 其中 是可测集，并且 .试证 也是可测集. 证 因 可测， ，所以由卡拉皆屋独利条件，得 因为 . 所以 . 由习题3中的第6题可知 是可测集. 由此可知 是可测集.2. 证明若为有界集，则 证 因为 为有界集，故存在 中的长方体 ，使 由外测度的单调性，可知 ，但 ，所以 3. 设E0，1，且=0.求的值.解：令E为0，1中所有有理数集合，则=0，但由于=0，1，故=0，1=14. 证明0，1中的无理数集可测且测度为1.证明：设0，1中的有理数集为，0，1中的无理数集为，则， 且0，1=. 由于为可测集，故可测且侧度为0，又因为=0，1- ， 且0，1和都是可测集，故可测.于是从0，1= ，及测度的可加性得0，1=，因此=1.5. 设均为可测集，且+，则证明:因为，所以. 由题设条件+，于是=.故6设是0，1 中的一列可测集，且对任意正整数，有1-.求证 （）=1.证明：由于，所以，于是（）0，1=1.另一方面，由于对任意自然数，有1-，故1-（），.因此，令，得 1（）.总之（）=1. 7设是互不相交的可测集，.证明. 证明：由
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