随机信号答案.doc

1.1已知高斯随机变量X的概率密度，求它的数学期望和方差。解：根据数学期望与方差定义：令，代入上式并整理与前面以一样同样变换，即令，整理后查数学手册的积分表，可得：令及，利用上式的积分结果，可得可见高斯变量的概率密度分布由它的数学期望和方差唯一决定。1.2随即变量，其中为随机变量，、为常数且0，求与的相关系数解：根据数学期望的定义，若，则先求协方差，再求相关系数将，代入，并由概率密度性质，消去，得到同理，将，代入，并由概率密度性质，消去则有有前两式联立，解得，可见，当与呈线性关系，且0时，二者的相关系数即与是完全相关的。1.5 随机变量和满足线性关系，为高斯变量，、为常数，求的概率密度。解：设的数学期望和方差分别为和，的概率密度为因为和是严格单调函数关系，其反函数且即可得到得概率密度1.7已知二维随机变量的联合概率密度，求，之和的概率密度。解：设；先求随机变量，的反函数及雅克比行列式，即；二维随机变量的联合概率密度为利用概率密度性质，的边缘概率密度为最后，用和代替和，得这就是两个随机变量之和的概率密度。1.9随机变量，为相互独立的高斯变量，数学期望为零，方差为1。求的概率密度。解：已知数学期望为零、方差为1的高斯变量概率密度为先根据定义求，的特征函数由特征函数的性质，则可求得的概率密度：1.11求两个数学期望和方差不同且相互独立的高斯变量，之和的概率密度。解：设，可得两个相互独立的随机变量之和的概率密度为将，的概率密度代入上式利用欧拉积分显然，也是高斯变量，且数学期望和方差分别为； 习题：1.10 已知二维随机变量（X1,X2）的概率密度为，随机变量（X1,X2）与（Y1,Y2）随机变量的关系有下式唯一确定，证明证：因为，所以又和，和可得，所以习题1.17 已知高斯随机变量X的数学期望为0，方差为1，求的概率密度已知XN(0,1)，所以由得到2.1若随机过程为，式中A为在(0,1)上分布的随机变量，求EX(t)及RX(t1,t2)式中为在上均匀分布的随机变量，求及解：由于与之间有确定的时间函数关系，故二者的概率分布函数相等，即考虑到故有2.2设复随机过程为，式中，An(n=1,2,.N)是相互独立的实正态随机变量，其均值为0，方差为；求复随机过程Z(t)的均值、自相关函数和协方差函数。解：由欧拉公式可知因为的实部和虚部均为正态随机变量的线性组合，故有它们也都是正态的。所以，由定义式可分别求得均值、自相关函数和自协方差函数为2.4设随机信号，均值5，方差1，设随机信号，求Y(t)的均值、自相关函数、自协方差函数。解：E(V)=5,D(V)=1,于是相应的，可求出的均值、自相关函数分别为：另外，有随机过程积分的数学期望和相关函数运算法则，可求得的均值，自相关函数分别为：可得的协方差为2.5证明由不相关的两个任意分布的随机变量A,B构成的随机过程是宽平稳而不一定是严平稳的。式中，w0为常数，A,B的数学期望为零，方差相同。证：由题意知：,首先，证明是宽平稳的。令，则有,0故是宽平稳的。其次，证明非严平稳。可见，的三介矩与t有关，所以非严平稳。58页 联合宽平稳随机过程 性质1证明：根据互相关函数定义，有证毕。同理可得2.10两个平稳随机过程和，试问是否平稳相依，是否正交、不相关、统计独立解：因为平稳随机过程和的互相关函数为故这两个过程是平稳相依的。由于，仅在时为0，这时和的取值才是正交的。而对于其他值，和是互不正交的。又因为和的均值分别为故得到协方差函数由于仅在等于0，此时，随机过程、的状态才是不相关的；而在时，故从整体来看，随机过程和是相关的，因而它们是统计不独立的。2.11 。A、B是相互独立的正太随机变量，且有、，求X(t)的一、二维概率密度t)解：由于是一正态过程，为了求其概率密度，只要求出其均值和方差即可因为随机变量A与B统计独立，所以有这时，这样，便可求得的均值、方差为，由上面分析可知，正态过程是平稳的，它的一维概率密度与t无关，即为了确定平稳正态过程的二维概率密度，只需求出随机变量与的相关系数，这里令，容易求得则二维概率密度为2.12 通过一十字路口的车流是一泊松过程。设1分钟内没有车辆通过的概率为0.2，求2分钟内有多于一辆车的概率解：以表示在区间0,t内通过的车辆数，设是泊松过程，则故，则2.13设有三个状态1,2,3的马氏链，其P=1/2 1/4 1/4;1/3 1/3 1/3;1/4 1/2 1/4，试问何时此链具有遍历性？解：(1)显然，m=1时，有P(1)=P，因P中所有元素均大于0，所以m=1时，该链具有遍历性，即（2）求在时可列出方程组，有题设条件解上述方程组，得到，习题2.14 设X(t)雷达发射信号，与目标后返回接收机的微弱信号是aX(t-1)，a远小于1，噪声为N(t)，全信号为Y(t)= aX(t-1)+ N(t),(1)若X(t) 、N(t)各自联合平稳，求互相关函数RXY(t1,t2),(2)在(1)条件下，假如N(t)均值为0，且与N(t)相互独立，求RXY(t1,t2)（1）因为、是各自平稳且联合平稳所以，所以令，（2），且习题2.17 设复随机过程，AiN(0, ),求Z(t)，t=0的均值函数和相关函数解：令，则,(1) (2) 令m=k,则习题2.22 设马尔科夫链的一步转移概率P=1/2 1/3 1/6;1/3 1/3 1/3;1/3 1/2 1/6，试问（1）几个状态？是遍历？求二步转移矩阵。（2）求Pj解：（1）共有3个状态，因为（对一切i,j）,所以是遍历的=5/12 13/36 2/9;7/18 7/18 2/9;7/18 13/36 1/4（2） 得到，3.1 已知正弦随相过程，求X(t)的功率谱密度及其平均功率解：含有周期分量，引入函数可得表示X(t)的功率谱密度在处的函数，功率集中在处随机过程的平均功率为该过程的均方值，即90页随机过程功率谱密度性质2 是w的实函数，满足证明：性质3 是偶函数，满足证明：对于实随机过程X(t)的截断函数的频谱有推到代入式中则有96页互功率谱密度性质5 若X(t)、Y(t)不相关，且分别具有常数均值，则，证：（1）因为X(t)、Y(t)不相关，所以，又，所以（2），因为X(t)、Y(t)不相关，所以同理可证，所以习题：3.18 已知平稳随机过程，证明 证：因为皆为平稳且相互正交所以，3.20 随机过程W(t)=AX(t)+BY(t), X(t)和Y(t)是宽联合平稳过程 (1)W(t)功率谱密度(2) X(t)和Y(t)不相关，W(t)功率谱密度（3）求互功率谱密度（1）（2）若X(t)、Y(t)不相关，则所以（3）同理可得 ,所以, 习题 3.22 设随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，求证以及证：因为X(t)和Y(t)联合平稳，所以,且所以，所以，解析过程性质3 证：令，则同理可证其他性质4 证：令，则窄带随机过程的性质性质5 证因为，所以同理可证明 因此性质7 证：因为，所以同理，可以证明对比两式，得，其他同理可得。习题4.1 设X(t)为实函数，证明（1）X(t)为t的奇函数，希尔伯特