基于计算机代数系统平台的理工科民族预科.doc

基于计算机代数系统平台的理工科民族预科高等数学教学改革研究与实践膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿蚆肁芅莅蚅螁肈芁蚄袃芄虿蚄肆肇薅蚃膈莂蒁蚂袈膅莇蚁羀莀芃蚀肂膃薂蝿螂荿蒈螈袄膁莄螈羇莇芀螇腿膀蚈螆衿肃薄螅羁芈蒀螄肃肁莆螃螃芆节袂袅聿薁袂羇芅蒇袁肀肇蒃袀衿芃荿衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆荿莆薃羈膂芁薂肁莈薀薁螀膁薆薀羃蒆蒂薀肅艿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿蚆肁芅莅蚅螁肈芁蚄袃芄虿蚄肆肇薅蚃膈莂蒁蚂袈膅莇蚁羀莀芃蚀肂膃薂蝿螂荿蒈螈袄膁莄螈羇莇芀螇腿膀蚈螆衿肃薄螅羁芈蒀螄肃肁莆螃螃芆节袂袅聿薁袂羇芅蒇袁肀肇蒃袀衿芃荿衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆荿莆薃羈膂芁薂肁莈薀薁螀膁薆薀羃蒆蒂薀肅艿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿蚆肁芅莅蚅螁肈芁蚄袃芄虿蚄肆肇薅蚃膈莂蒁蚂袈膅莇蚁羀莀芃蚀肂膃薂蝿螂荿蒈螈袄膁莄螈羇莇芀螇腿膀蚈螆衿肃薄螅羁芈蒀螄肃肁莆螃螃芆节袂袅聿薁袂羇芅蒇袁肀肇蒃袀衿芃荿衿羂膆蚈袈肄莁薄袇膆膄蒀袇袆荿莆薃羈膂芁薂肁莈薀薁螀膁薆薀羃蒆蒂薀肅艿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿蚆肁芅莅蚅螁肈芁蚄袃芄虿蚄肆肇薅蚃膈莂蒁蚂袈膅莇 基于计算机代数系统平台的理工科民族预科高等数学教学改革研究与实践朝 鲁（内蒙古工业大学，呼和浩特市，010062）摘要：本文探讨了理工科数学教学改革的必要性和困难，论述了计算机代数系统（数学软件）平台的涵义和功能，研究了平台对高等数学教学改革的重要性与可行性。具体的教学实践实践给出了较满意的结果。关键词： 理工科数学教学改革 计算机代数系统平台 民族预科教学一、理工科数学课程教学改革的必要性数学不仅广泛应用于自然科学和理工科技术中，而且已广泛渗透到社会科学，生命科学及国民经济的各个领域。数学被认为是“整理宇宙秩序的科学”，而与自然科学、社会科学并列为当代科学的三大领域1-3。大量科技问题的最终解决，很大程度上依赖于建立合理有效的数学模型和借助计算机获得其解答。数学的广泛应用，又促进了数学本身的发展。泛涵分析，近世代数和拓扑学，已经取代经典数学中的数学分析、高等几何、高等代数，成为现代数学的三大基础。数学内容近一个世纪有了质的发展，而我们讲授的绝大多数是十七世纪中叶的内容。陈旧的教学内容与落后的教学方式、方法既未能反映数学本身的发展，也难以体现数学的广泛应用对人才数学素质的要求。这就是数学必须进行改革的动因。近几年，我国数学教改力度不小也推出了不少新教材。新教材起点较高，内容也有不同程度的更新。但是，增加了新内容，舍不得传统内容，学时又有限，这就出现了新矛盾。加之扩招后学生的入学水平参差不齐，又增加了教学改革的困难。数学教学改革的必要性及其困难，作者提出了论文题所示的教学改革思路与方案。二、计算机代数系统平台的涵义与功能 计算机代数系统是集成化的计算机软件系统。它的主要功能包括三个方面：符号演算、数值计算和图形。例如它可以做多项式的各种运算(四则运算、展开、因式分解等)、有理式的各种计算；它可以求多项式方程、有理式方程和超越方程的精确解和近似解；做数值的或一般表达式的向量和矩阵各种计算(含逆)；还可以作一般函数表达式的极限，导数，积分、幂级数展开及求解某些微分方程；判断和求解矩阵的各种秩、线性方程组的解空间、向量组的最大无关组；进行概率统计中的许多计算。使用计算机代数系统可以非常方便地作出以各种方式表示的一元和二元函数的图形，可以根据需要自由的选择画图的范围和精度。通过这些图形的观察，人们能够迅速地、形象地掌握对应函数的特征，这些特征仅从函数的符号表达式一般是很难认识的。目前的数学教学和方法还未能从分利用这些功能。 数学的基础是浩大的，从最底层开始学习打基础显然不可能，也是不必要。可以适当选择一个起点作为基础，在这个基础上构建我们的教学和应用内容，而起点以内所含的数学内容(又是一个浩大的数学体系)的来龙去脉则无须太多的考虑。如利用C语言解决问题时，无须知道汇编语言和机器码；学习在实数集起点上建立的微积分时，不必追究实数的构造和加法等是怎么来的，只须把这些基本事实公理化即可。“起点”与“公理化”就是数学平台的基本思想。 计算机的广泛使用与迅速发展是理工科数学教学改革的主要驱动力之一。计算机代数系统越来越完善的符号演算能力、快速计算能力、空间图形的显示能力，对传统数学教学内容、侧重点和训练手段都产生巨大的变革性作用。数学教学中长期以来存在着运算技能训练过多、技巧过强、过分枯燥的情况，利用计算机可以使之得到显著的改善，从而使概念、理论、方法(特别是数值计算和符号计算的方法)的教学得到强化。使学生在课堂上实际动手，解决一些有意义的数学问题成为可能。计算机代数系统作为平台引进高等数学教学，其重要作用之一就是使当前教学改革的困难得以突破。三、计算机代数系统对推进数学教学改革的的作用1、 计算机代数系统对理工科数学有重要的辅助作用计算机代数系统能够处理理工科数学中繁杂和技巧性很强的计算，推导和证明，故很多数学中的非本质问题可以交给计算机，由学生上机解决，从而腾出时间来加强本质性的东西。亦即，学生不必把大量时间化在没有普遍意义的计算题上，教师也无须将过多精力化在例题和作业的演算上。同时，一些繁难定理的陈述与证明，也可以选择地放在平台之内，不必一一从头道来，祥加证明和推导。这样就为较大幅度地精减传统内容，引进一些近现代内容创造了条件，也使教师有可能更多地关注数学思想、方法、思维方式等具有文化功能的问题，从而进一步提高学生和教师本人的素质。2、 计算机代数系统对数学理性不会喧宾夺主计算机代数系统对掌握数学概念、方法有极大的帮助。虽然计算机代数系统的计算能力(主要是符号计算能力)非常强，但要解决数学中的许多问题，系统并非直接给出答案，而是使用者须通过一些简短的(与其它语言比较短的多)程序来完成问题的解决。而编写程序过程本身是一个非常仔细和深入的学习过程。完成正确的编程过程之后，对所用到的数学概念和方法将有较全面的认识，深刻的理解与准确的掌握。3、计算机代数系统能提高学生的建模能力数学建模是数学素质教育的主要内容之一。建模本身，是利用数学知识解决实际问题的综合过程，其中将处理许多符号推理及数值计算等问题。而这些问题的解决将加速建模过程的合理性与准确性。对此，计算机代数系统将充当得力的助手。美国和我国每年的大学生数学模型竞赛中的主要工具也是计算机代数系统，由此可见该内容的重要性。数学建模的能力的提高，也从一个方面说明了上文所述计算机代数系统对数学理性的加强而非喧宾夺主作用。4、计算机代数系统的方法论意义和文化价值计算机代数系统的掌握是对未来人才的基本要求。计算机代数系统为分析问题和解决问题提供了革命性的手段，也是计算机科学发展的一个非常重要的方向。与普通CAI软件有本质的区别，普通CAI软件是帮助人们教和学，而解决不了其它问题，而计算机代数系统的功能比CAI广泛丰富得多。现代科学要求对处理的问题有更精确的描述，例如处理与非线性科学有关的复杂数学问题，靠手工推演和计算是勉为其难甚至是无能为力的，只能借助计算机代数系统，以提高效率和准确性。由于计算机代数系统不仅可以用于计算，而且可以进行逻辑判断和推理，因此该系统不仅可以用于数学而且可以推广用于其它学科。应用的普遍性表明该系统提供的方法具有方法论意义，而方法论显然已具有文化属性。计算机代数系统又是一门高度集成化的变成语言，与其它高级语言相比，具有容易掌握和操作的特点（掌握基本的功能和方法越20学时即可）。这样，该系统又具有容易普及的大众文化品格。学生在学习高等数学的同时，掌握了计算机代数系统就为他们掌握先进的计算机文化，打下了良好的基础。这也是素质教育所期望的。四、计算机代数系统平台用于民族预科数学教学的可行性1、计算机代数系统平台可以使经典内容与现代内容兼容在经典内容与现代内容之间，平台的设置是可变动的，视学生水平和实际需要而定。对潜力大的学生，可因材施教，指导他们学习平台内的内容便于进一步深造。同时，计算机代数系统本身，也是一个深入学习、研究的广阔天地。平台的可动性，是计算机代数系统引入民族预科教学的可行性基础。2、计算机代数系统平台有利于提高学生的学习积极性和主动性平台的设立，使复杂问题简单化，抽象问题形象化，这为基础较差的民族预科学生，提供了一个较易进入的学习环境，使他们能够在学习知识，解决问题时得心应手从而获得满足感与成功感，产生了学习兴趣，调动了学习的积极性和主动性。提高积极性和主动性（或“自主学习”）是素质教育的基本目标之一，而学会“自主学习”的过程，从根本上讲，要通过学习的实践，再好的教师也只能启发，诱导而不能“越俎代庖”。计算机代数系统平台本质上的实践性，为“自主学习”提供了良好的载体和机制。五、教学改革具体内容梗概我们用文中提出的思想，在民族预科班进行了教学实践（2000年和2003年级），取到了明显效果：大大地激发了学生学习数学的积极性，学习数学的态度大有改观；知识面扩大，用数学解决实际问题的能力有很大的提高；学生成绩有一定的提高，及格率升高了。 下面简略地陈述我们校改实践的具体内容。1、高等数学内容和课程结构的改革： (1)保留经典概念和结论，淡化某些运算技巧和理论性强的证明。淡化极限(一元、多元)的精确（）定义，用数值描述来过度对极限概念的理解；淡化幂级数和的精确计算和特殊类型微分方程求精确解（这些完全可以用计算机代数系统完成）；淡化隐函数存在定理，由方程组确定的隐函数求导公式的推导。淡化并不是这部分内容不讲，而是要精讲，突出思想简化过程，用优化的改进方法讲授。不要把很大精力放在这些技巧性强、应用性不强、无普遍意义及繁杂的内容上，而应教会学生在理解原理的基础上用计算机学习和解决这些问题。以便提高学生对数学思想方法的理解和悟性。(2)加强思想内容，增加现代意识和应用性：教学中应加强基本概念，突出微积分的辩证思想，基本方法和基本理论的训练，强调建模思想和方法。增加数值和符号计算内容（数学实验），如(重)积分的近似算法、微分方程的近似算法、求方程根的数值法等；引入向量值函数的概念为力学和物理打好基础。(3)优化课程结构：调整课程内容，使课程内容结构合理化。如引入映射概念统一函数概念，数列极限作为函数极限的特例处理；先讲定积分后讲不定积分可免去许多重复的内容。Fourier级数部分重点讲2为周期的展开内容，其余部分作为它的简单推广来讲。以元素法为主线讲授各种积分内容，体现微积分思想和建模思路。讲多元函数之前讲授向量的两个基本运算(数量积和向量积)，线性方程组Gram法则,用Gram法则讲授多元函数复合函数和隐函数求导法，而无须讲其公式。这样处理课程结构紧凑，效率高。并有利于高等数学和线线性代数的协调。函数极值与优化内容（以应用例子为主）结合讲，可以突出学科的应用性、现代性和作用。微积分，代数和数学实验相互渗透，使课程结构具有现代气息。（4）、安排数学实验课：教授高等数学过程中穿插数学实验课的讲授。高等数学函数部分讲完之后，开始介绍软件，让学生上机探讨函数的形态，取得对软件内容和使用方法的初步认识。每讲授完一段高等数学的内容之后，对应地讲授一次数学软件知识，有针对性地布置适当的实验题目，让学生上机完成，以复习和巩固学过的内容。这种做法贯穿于整个高等数学教学。实验的过程中学生不仅掌握计算机知识，更重要的是学习数学。安排数学实验课是教学改革的重要内容，笔者将另文中祥加论述。2、教学方法和手段的改革：教学时注重传授数学思想方法的外，要特别强调用启发式教学，激发学生的积极性和主动性，提高学数学、做数学、用数学的兴趣和意识。要用现代化教学手段提高讲课效率，加大课堂信息量。课上、课后给学生留给充分思考和动手的时间和空间。教学要与计算机密切相结合，以小论文或小报告形式完成作业。 经典内容精简和合理安排后，减少一定学时。但同时考虑到新增加内容（包括近代内容与计算机代数系统基本知识与上机实验）的量和难度，又要增加一些学时。故综合起来，约270学时内完成预科高等数学课程的讲授内容，其中数学实验约占40学时。3、作业与习题课的改革：（1）作业的标准化。根据教学内容顺序和进度印刷题目，并留有答题空间的作业称之为标准化作业。这有利于学生和教师的交流，按教学进度学生先独立完成作业，然后教师批改，作业返回之后学生再修改自己的错误，达到再次巩固复习的目的；标准化有利于教师作记录，随时注意了解学生的学习和对教学内容的掌握情况；减轻学生和教师的抄题工作量；学生有机会做各种类型的习题，习题范围加大； （2）习题课上教师结合作业中存在的问题先归纳复习讲过的主要内容后讲解作业中的问题和一些针对性题目，然后让学生现场做一些题目，教师观察学生做题情况，最后教师简要地给出这些题的解题思路和结论，让学生自己去总结。及时解决问题，不积累问题。讲解学生出现问题的原因，使学生对数学概念、结论和方法在实践中有更深刻的体会；（3）在一定阶段之后总结复习，通过小考试（本作业中的题目为主）等手段检查学生掌握知识的情况，教师及时补充和调整教学内容和方法。阶段考试成绩占学生期末考试成绩的一定比例；4、结业考试的改革：平时成绩（作业），期末笔试（参加学校统考和单独考试）和上机实验相结合的方式，全面反映学生的综合数学素质。六、“抓点提串，循序渐进，再实践”的教学法配合上面谈的教学模式，根据教学改革实践经验，我们总结出一种预科高等数学教学方法，称该教法为“抓点提串，循序渐进，再实践” 教学法，采用该教学法，教学效果良好。具体内容简述如下：注重直观教学、启发式教学、渐进式教学及实践教学有机结合的方式。如我们讲授高等数学中讲授新内容时，一定要用直观，易懂的实例进行解释说明。每一个概念和结论，再从一个概念或结论得到启发，引导学生思考更广而深入的问题，从而对数学概念和结论有深刻的理解（我们称这种教学为抓点）；讲授新内容之前回忆复习上节的主要内容，课堂结束前，总结该节的内容，并预示下一节的内容；一段内容结束（如一章内容）之后，整体上再总结归纳这一大段中的主要内容，突出重点，加强影响，前后内容连贯起来。教师的这种往复式（循序渐进式）的有效总结和归纳对学生培养良好学习习惯是非常重要的（我们称这一过程为提串），这一过程应贯穿教学整个过程。理论总结的同时针对每一个概念、结论和针对作业中存在的问题，做大量的具体题目的讲解，及时解决问题和给予提醒。再加强学生的作业质量，要求学生独立，足量完成。这部分工作主要在习题课和作业里完成。一些主要概念和方法可以通过做实验的方式进行；整个高等数学课结束之后，再进行一次总复习，这部分主要用课堂教学，完成综合性比较好的数学实验题目的结合进行（这两部分是实践教学）。这样学生不仅能巩固已学过的高等数学内容，提高了学生高等数学水平，还为锻炼他们的科学