[中考]中考几何综合题解析及方法训练.doc

基本图形和解题工具第1节 ：基本图形关系及性质与几何综合题的关系 基本的图形关系及图形性质是构建几何问题的基石，一些常见的基本图形通过简单地组合，就蕴含丰富的图形性质，形成复杂的几何问题，成为同学你眼中的难题。 下面简述2011年广州中考数学压轴题的形成：2011年广州中考第25题 （14分）如图7，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=450，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，点D在线段AC上。（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（00900）后，记为D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。简图演变如下：熟知以上演变过程，便可轻松解决问题。 下面从我们熟悉的平行线、等腰三角形开始，逐步逐级地累加图形，让我俩一起体会几何综合题是如何一步一步地形成的，最终目的提醒重视基础，注意对基础的落实和巩固。第2节 ：对线段中点的理解和认识在几何图形中，与线段中点有关的问题很多，中点问题是中考的必考题型，一般地说，遇到中点问题，我们主要从以下几方面进行解读。 1.还原中心对称图形（倍长中线、“8”字型全等） 由于线段本身是中心对称图形，而中点就是它的对称中心，所以遇到线段中点问题，依托中点借助辅助线还原中心对称图形，这样就能将分散的条件巧妙地集中起来，这是解决中点问题最常采用的方法。 2.构造中位线因为三角形中位线在位置关系和数量关系两方面将三角形中的有关线段沟通起来，能将三角形中分散的条件集中起来，或者使图形中隐藏的条件显露出来，所以借助三角形中位线也是解决中点问题的另一个有力武器。当图形中有中点时，常考虑三角形中位线，必要时还可以作辅助线构造三角形的中位线。 3.与等面积相关的图形变换 线段中点的本意，在研究三角形的面积问题时，往往提供了底边相等的条件。 4.等腰三角形形中的“三线合一” “三线合一”是初中阶段平面几何中一个非常重要的结论和解题工具，运用得好往往会使我们的思考过程“柳暗花明”。 5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其与圆的结合例1：已知如图所示在梯形ABCD中，ADBC，ABC=90.若BD=BC，F是CD的中点， 试问：BAF与BCD的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明。AFCBD例2：如图，D是ABC中AB边的中点，BCE和ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点.（1）求证：DMN是等边三角形；（2）连接EF，Q是EF中点，CPEF于点P. 求证：DPDQ.同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.变式题1：如图，在五边形中，为的中点 求证： 变式题2：已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC， 取EC的中点M，联结BM和DM（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ； （2）将图1中的ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 例3：如图所示，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，点F是AD的中点，CEAB。如果CEF=40； 求DFE的大小。 变式题1：如图所示，ABCD中，DEAB于E，BM=MC=DC。求证：EMC=3BEM 变式题2：如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AD的中点，CEAB，如果EMD=3MEA； 求证：AD=2ABM 变式题3：2012年广州中考（第25题-本小题14分） 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD中点，CEAB于点E， 设ABC= （1） 当时，求CE的长；（2） 当 是否存在正整数，使得EFD=AEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 连接CF，当取最大值时，求tanDCF的值.例3：如图所示，等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=BC，AC与BD交于点O，AOB=60， P、Q、R分别是OA、BC、OD的中点，求证：PQR是正三角形ADCBRQP变式题1：已知：中，中，,. 连接、，点、分别为、的中点. 图1 图2(1) 如图1，若、三点在同一直线上，且，则的形状是_，此时_；(2) 如图2，若、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；(3) 在图2中，固定，将绕点旋转，直接写出的最大值.变式题2：两块等腰直角三角板ABC和DEC如图摆放，其中ACB=DCE=90， F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点（1） 如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_和位置关系为_；（2） 如图2，若将三角板DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.ABDECHFG图3ABDECHFG图1图2ABDECHFG综合训练：1、在中，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且2、(“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，是内的一点，过作于，于，为的中点，求证 3、 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在中，为的中点，分别延长、到点、，使过、分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、 求证：(1) ； (2) 4、在ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得ABP=ACP过点P作PEAC于点E，PFAB于点F （1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当ABAC，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由 图1 图25、已知，如图四边形中，、分别是和的中点，、的延长线分别交于、两点 求证： 【点评】“题中有中点，莫忘中位线”与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来平移也有类似功效6、(2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试)已知：在中，动点绕 的顶点逆时针旋转，且，连结过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、 如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论(不需证明) 当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明7（本小题满分14分）如图，已知四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，点F在边CB的延长线上，且BE=BF，连接EF（1）若取AE的中点P，求证：BP=CF；（2）在图中，若将绕点B顺时针方向旋转（003600），如图，是否存在某位置，使得？，若存在，求出所有可能的旋转角的大小；若不存在，请说明理由；（3）在图中，若将BEF绕点B顺时针旋转（000），则CAB：ACB= 。分析与解：因为MA=MB=MC，所以，点A、B、C在以点M为圆心，MA长为半径的圆上，如图2。设BMA=x，则BMC=kx。由圆周角定理得CAB=BMC=kx，ACB=BMA= x，CAB：ACB=k：。例2 求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。已知：如图3，在ABC中，BM=CM，且AM=BC，求证：BAC=90。分析与解：由已知得BM=CM =AM，故此，点B、C、A在以BC为直径的M上，如图4，根据直径所对的圆周角为直角得BAC=90。例3 （2008年广东省中考题）（1） 如图5，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC，求AEB的大小；（2）如图6，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小。分析与解：（1）由题意知AO=BO=CO=DO，故此，点A、B、C、D在以点O为圆心，线段AD为直径的圆上，根据图7所示，得BCA=AOB=30，CBD=DOC=30，AEB=ACB+CBD=60。（2）类比（1）得，点A、B、C、D在以点O为圆心的圆上，连结AD，根据图8所示，ADB=AOB=30，CAD=COD=30，AEB=ADB+CAD=60。评析：本题隐含着点共圆的条件，注意到这一特征，问题的求解就变得简单多了。2、 直角型 90的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，这点成为由直角联想到辅助圆的依据。简称“有直角想直径”。例3 （2008年天津中考试题）在平面直角坐标系中，已知点A（-4，0）、B（2，0），若点C在一次函数y=-x+2的图象上，且ABC为直角三角形，则满足条件的点C有 （A）1个 （B） 2个 （C）3个 （D）4个分析与解：ABC为直角三角形，并没有明确哪个角是直角，故此，需分三种情况讨论，即CAB、CBA、ACB各为直角。在图9中，当CAB、CBA为直角时，易求点C的坐标分别为C1（-4，4）、C2（2，1）。下面探究ACB为直角的情形。由直径所对的圆周角是直角，联想到在图10中，以AB为直径作P，则P半径为3，点P坐标为（-1，0）。直线EF上是否存在点C，满足ACB为直角，则转化为考察P和直线EF（点E、F分别为直线y=-x+2和x、y轴的交点）的位置关系问题。过点P作PDEF于点D，连接OE。在RtCOE中，OE=3，PDOE（事实上，点D和点E重合，即OEEF），PD3，即 PDr，因此，P和直线EF相交，交点为C3、C4，根据直径所对圆周角为直角，得A C3B=AC4B=900。综上，满足条件的点C有4个。评析：当考察ACB是否为直角时，以 AB为直径作圆，则转化为直线和圆的位置关系即直线和圆的交点个数来考虑，体现了以数化形的思想。练习：1（2010年鄂州中考）如图，四边形ABCD中，ABACAD，E是BC的中点，AECE，BAC3CBD，BD66，则AB ABCDD第2题图2如图，和的半径分别为1和2，连接，交于点，若将绕点按顺时针方向旋转，则与共相切_次3如图，矩形ABCG（）与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，的顶点P在线段BD上移动，使为直角的点P的个数是 【 】 A0 B1 C2 D34.如图，已知OA=OB=OC，且AOB=BOC，则ACB是BAC的( ) A倍 B是倍 C D 5（2010济南中考）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有ABCDPE第5题图A2个 B3个 C4个 D5个6.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，QON=30.公路PQ上A处距离O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为A.12秒. B.16秒. C.20秒. D.24秒.7（2010年潍坊中考题满分11分）如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，分别在上，且将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结（1）求证：（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.8.（2012年广州中考（第25题-本小题满分14分）如图9，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的 坐标；（3）当直线l过点，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形 有且只有三个时，求直线l的解析式.9. （2003年广州中考）已知ABC中，AC5，BC12，ACB90，P是AB边上的动点（与点A、B不重合）Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）（1）如图10，当PQAC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说