数学建模与合理计税问题.doc

合理计税问题摘要本方案是解决个人年纳税额最小且年收入分配（月工资与年终奖的分配）最优问题。其关键是在年收入一定的情况下，如何分配每月工资与年终一次性奖金，从而达到纳税总额最小的目的。根据问题给出的每月工资应纳税计算方案以及一次性奖金纳税计算方案，得到了一个年纳税金最小的优化模型。结合此数学模型，运用matlab编程，得出最优解（见表1、表2）。显然，当我们可以自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额时，表1才最佳选择，因为当A一定时，表1中对应的纳税额比表2中对应的纳额金小，有时很明显，从而建立年纳税额最小且年收入分配最优方案。再结合此方案充分分析该单位职工纳税的规律与特点，可以很直观地看出当年收入一定时，工资和年终奖的最优分配。对于问题1, 根据已建立的数学模型为表中5名职工制定合理的发放方案见正文表 3；对于问题2，通过分析该单位职工纳税的规律与特点，发放方案选择的要点在于更具自己的实际情况合理选择具体分析见正文。对于问题3，根据我国目前个人所得税制度中对分级税率和税级距的设定，通过数字模拟的方法计算合理的个税起征点。同时考虑到个税起点与劳动就业率、社会公平以及社会福利水平的相互关系，根据统计数据估算出我国城镇居民工薪收入分布函数，最终计算得出个税起征点为2800元到3200元。关键词：年纳税额最小 收入分配最优 最佳选择 税率和税级距 收入分布函数 个税起征点一、 问题重述便税收作为国家经济杠杆之一，具有调节收入分配、促进资源配置、促进经济增长的作用。 纳税是国家财政收入的主要来源，按照国家的税收制度交纳个人所得税是我们每个公民应尽的职责。现行的个人所得税率如表1：表1：个人所得税率表（工资、薪金所得适用）级数含税级距税率(%)速算扣除数说明1不超过500元的50本表含税级距指以每月收入额减除费用2000元后的余额。即现行的个人所得税的起征点是2000元。2超过500元至2,000元的部分10253超过2,000元至5,000元的部分151254超过5,000元至20,000元的部分203755超过20,000元至40,000元的部分2513756超过40,000元至60,000元的部分3033757超过60,000元至80,000元的部分3563758超过80,000元至100,000元的部分40103759超过100,000元的部分4515375现考虑某事业单位的个人所得税的计算问题。已知该单位职工的年收入是由每月的工资、每月的岗位津贴、年末一次性奖金三部分组成。根据国家政策，每月的工资和津贴之和按照上表的税率交税，而年末一次性奖金则单独计税，按照除以12再找表中税率最后减去速算扣除数的办法执行，比如某人的每月工资是1500元，每月岗位津贴2300元，年末1次性奖金是10000元，则一年中应缴纳的个人所得税累计为（因为10000/12833.3，故一次性适用税率为10%）：（5005%+130010%）12+1000010%-25=2835元在实际的执行过程中，每月的岗位津贴和年末一次性奖金实际上是放在一起结算给个人的，而具体每月发放多少岗位津贴和年末一次性发放多少奖金可以由职工本人在年初根据自己的需要进行选择。显然，不同的选择发放方式所缴纳的税是不同的，这就产生一个合理计税的问题。假定该事业单位一年中的津贴与奖金之和的上限是75000元，试解决下面三个问题：（1） 建立合理计税的数学模型，并为下列5名职工制定合理的发放方案。职工编号每月应税工资津贴与奖金总数每月岗位津贴发放数年末一次性奖金个人所得税198439030280648340312013199041409567605150426670（2）充分分析该单位职工纳税的规律与特点，然后写一篇不超过800字的通俗短文，谈谈发放方案选择的要点以便于该单位的所有职工都能得到很好的指导。（3）2011年3月1日的国务院常务会议上，原则通过了个人所得税法修正案草案，并确定了提高个人所得税起征点，以及调整级次级距的改革方向。目前该草案正报全国人大常委会审议尚未正式发布。现在请你结合当前我国公民的个人情况建立你认为合理的个税起征点模型并给出结果。二、 模型假设（1） 假设公司允许自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额；（2） 假设每月工资一定；（3） 假设起征点调整以后，收入分布函数是固定不变的；（4） 假设收入分布的概率密度函数为 ；（5） 假设起征点调整变化前后的税前工薪收入分布保持不变；（6） 假设有三类参与者：工人、厂商和政府；三、 符号说明（1）、A 年总收入（2）、x 每月工资；（3）、y 年终一次性奖金；（4）、f(x) 一年工资应纳税额；（5）、f(y) 年终一次性奖金应纳税额；（6）、F(x) 一年应纳税总额；（7）、起征点（8）、税前收入（9）、工人的生产率（10）补贴额（11）、的分布密度函数（12）、类型为的就业机会成本（13）、类型为的工作岗位提供的工资（14）、工人得到的效用（15）、工人人数（16）、就业率（17）、厂商提供的职位数量（18）、应缴税额（19）、工薪收入分布参数（20）、风险规避系数四、 数据准备根据中国城市（镇）生活与价格年鉴（2005、2006、2007）中“按收入等级分城镇居民家庭情况”的数据，估计了2005、2006和2007年城镇居民工薪收入分布情况，如图1所示。2005、2006、和2007年三年我国城镇工薪收入分布的参数依次是五、 问题一的模型建立与求解第一步：建立模型根据每月工资应纳税计算方案，对于问题1、2，我们建立一个以每月工资x为自变量，一年工资总税额为因变量的分段函数f(x)。同理，根据一次性奖金纳税计算方案，建立一次性年终奖税额对年终奖y的分段函数f(y)。 要使得年纳税总额最小，即f(x)+f(y)最小，又需满足12x+y=A. 所以可建立模型（1）： (1)式(1)为年纳税金最小优化模型。要求式(1)的最优值可利用模拟仿真的方法。若A为常数，每确定一个x值，则有唯一的y值与之对应来满足条件.由于数据量庞大，难以求解，不妨取， ；据工资应纳税计算方案和年终一次性奖金纳税计算方案有： (2) (3)再由12x+y=A,式(2)和(3)可以得到：当时， (4) 当时， (5) 第二步：模型求解对于式(4)及(5)，我们可用matlab编程求解，其程序见最后附录从两表对比下，可以很直观地看出当年收入一定时，工资和年终奖的最优分配.对于问题1, 5名职工制定合理的发放方案如下表职工编号每月应税工资津贴与奖金总数每月岗位津贴发放数年末一次性奖金个人所得税1984390302752.56000650.252806483403527.86006.4704.17312013199021665998682.8414095676042306000934.551504266702055.82000.4227.9六、 问题二的求解 显然，当我们可以自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额时，表1才最佳选择，因为当A一定时，表1中对应的纳税额比表1中对应的纳额金小，有时很明显。所以对表1进行分析，不难看出其中的规律：当工人年收入低于3000时，选择在自己的月工资在2000附近，自己的年终奖金尽量少，此时工人缴纳的个人所得税最少；当工人的年收入在3000054000范围内时，选择自己的年终奖金为6000时，所交的个人所得税最少；当工人的年收入在55000129000范围内时，选择自己的年终奖金为24000时，所交的个人所得税最少；当工人的年收入在130000144000范围内时，选择自己的年终奖金为46000时，所交的个人所得税最少；当工人的年收入在145000150000范围内时，选择自己的年终奖金为60000时，所交的个人所得税最少。当工人的年收入在150000以上时，根据自己的实际情况来选择。七、 问题三的模型建立与求解第一步：建立模型 （一）、设起征点用表示，工人的税前收入用表示。则收入在区间内的工人所缴税额为：，收入在区间内的工人所交个税为：收入的分档点分别为：5%10%15%20%25%30%35%40%45%（二）、工人类型的差异引起生产率不同,假设生产率为，分布密度为其中 ，且 。可支配收入为x的工人得到的效用为： （1）其中为风险规避系数 厂家给出的成本与长处能力的比例关系为： （2）（三）、厂商与工人匹配关系厂商提供一个类型为的就业机会成本为，匹配成功厂商获得利润为： （四）、政府、工人和厂商之间的博弈过程（1）、府制定税收政策，在本模型中就是确定的一个个税起征点（2）、厂商提供工作职位，工人决定是否去寻找工作（3）、工人和空缺岗位的匹配开始：若匹配成功，工人工作，双方经谈判确定该工作岗位的工资水平，政府按照税收政策对收入水平大于其正点的工人进行征税；如果匹配失败，该部分工人状态为失业，将接受政府的补贴。（4）、政府用征税的个人所得税去对不去找工作的人和找工作没有成功匹配的人进行补贴，并且满足预算约束，将接受政府的补贴。我们将依照上述各个步骤分别讨论政府的最优化问题、工作岗位的匹配过程和工资率的确定。1、 政府的行为政府的目标是社会总福利最大化，当工人的类型小于补贴值时，工人不寻找工作，的到，当工人的类型大于补贴值时，工人寻找工作。如果匹配成功，工人可支配收入为工资减去应缴税额，则社会总福利可示为： （3）政府的预算约束为： （4）所以政府的最优化问题就是找到一个合理的计税起点，使得在满足（4）的预算约束时，社会福利水平（即（3）式）达到最大。2、 工人和工作岗位的匹配过程按照前人的文献（见Blanchard and Diamond,1989或Pissarides,2001）,假设一个匹配，工人数量，职位数量，于是有： （5）若类型的人去找工作，则 ，（）对厂商来说，提供一个职位的期望回报为： 如果假设厂商为风险，且可自由进入市场和设置工作岗位，则均衡时厂商的期望利润为0，即： ，则有推出： （6）3、 确定工资水平的讨价还价过程工资的确定是一个讨价还价过程，参与的双方为厂商和工人，他们按照谈判能力分配剩余：当匹配成功时双方的剩余是：当匹配失败时工厂一无所得，工人得到补贴：当时，双方博弈结果取得最大 ： （7）其中表示工人的谈判能力，是指厂商的谈判能力。第二步：模型的分析与求解 （一）、改变起征点的影响1、起征点变化与补贴额的关系补贴额的大小取决于三方博弈的结果，求得的解应满足： 、 政府的预算约束，即（4）式，其中 、工人与厂商谈判的结果满足： &、考虑且起征点大于的情况 当时，所以 ，可得： （8）这个最大化问题的一阶条件为： ，可以得到： （9）由此可知该区间内的工资水平与起征点无关。 &、当时，在之间时有： 若则问题解决，若则考虑在区间内的解为： （10） 根据一阶条件可得： （11）按照上面的方法类推有：（12） 从（12）式由可知对任意，是的增函数，再结合政府的预算约束（4）式，可以判断与的关系，根据下面数据模拟结果，是的减函数，也就是起征点越高，补贴值就越低。2、就业率与起征点的关系 就业率为，现给定任意，是的增函数： 此时，起征点越高，就业率就越高。3、社会福利水平与的关系社会福利水平由（3）式给出，当时社会福利：最大此时，即，则有： （二）、数值模拟 根据前面建立的模型，通过数值计算的方法来量化调整整个税起征点的经济影响，寻找适合目前收入分布情况的最有个税起征点。假定公认的工资服从Gamma分布且在工作匹配方程（5）式中令，并假定厂商和工人的谈判能力相同即： 根据前面建立的模型生产能力为的工人匹配成功的概率为： 当时，匹配成功的概率可以简化为： （13）其中，2007年我国的经济活动人口为78645万人，而就业人员为76990万人，所以匹配成功率约97.9%，带入（13）式，可以估算出。工人的效用函数为：，是我们要确定的参数，根据施建淮和珠海婷在研究我国城市居民的预防性储存问题时的估计结果，经过处理后得到的估计值大约为0.00025。 此外克雷普斯在他的教材管理者微观经济学也提出了一个的估算值为:0.000019.经过计算可以发现取值在0.00001到0.00003范围内变动时，计算结果没有显著变化。则所用参数值总结如下：数值模拟结果：1、 在预算平衡约束下，每个起征点都会对应着一个补贴点，采用迭代算法，结果如图1所示（图1）有计算及图像可知的估算不会影响到就业率与补贴点的估算，但会影响到最有个税起征点。2、根据补贴点和起征点之间的关系，进一步计算出没种类型的工人工资水平、缴纳所得税以及找到工作的概率，于是就得到社会的就业水平和社会水平，结果如（图2）和（图3），两图的横轴均为个税起征点，（图2）的纵轴表示就业率，（图3）的纵轴表示社会福利水平。（图2）（图三）从（图3）可以看出，社会福利随着起征点的提高而增加，若将起征点由800元提高到1600元，那么社会福利或得到较大的改善。但是起征点超过2000元时，提高起征点引起的社会福利变化倾于平缓。当起征点超过3200元时，提高起征点几乎不会增加社会福利。因此在现行的收入结构下，我国设定起征点在2800元至3200元比较合适。八、 模型的评价及改进对问题1和问题2模型的建立与求解过程中，运用了多种数学软件计算,严格地对其求解,具有科学性。并且建模的方法和思想对其他类似的问题适用,尤其是合理还贷模型很有实用性。但是由于模型求解时数据量庞大,所以没有把所有可能数据都求解出来,只限于对问题的求解；在模型中使用的假设较多；建模单一，没有再建立其他模型解决问题。对问题三的模型建立与求解过程中，结合了前人的研究成果，进一步进行计算，并考虑到了各种对个税起征点影响的主要因素。考虑的范围全面，并且该模型是用于其他人合同类似的模型。但是该模型使用的数据及数据库比较古老，不能精确的反映现在中国的居民收入情况。九、 参考文献1 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003；2 韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005；3徐金明，MATLAB使用教程，北京：清华大学出版社 北京交通大学出版社，2005。4财经网：个税起征点拟上调至2000元/月5封建强：我国职工工资收入分布函数的模拟与估计，预测，2000年第十一期。6克雷普斯【著】赵英军【译】，管理者微观经济学，中国人民出版社，2006年7月7施建淮，朱海婷，（2004），中国城市居民预防性储蓄及预防性动机强度：19992003，经济研究，2004年第10期 8中国统计年鉴，1996年2010年，中国统计出版社8中国城市（镇）生活与价格年鉴（2006年、2007年、2008年、2009年、2010年），中国统计出版社2006年、2007年、2008年、2009年、2010年各版。 十、 附录附录一：对于1题(4)程序附录二：对于1题(5)程序附录三：对（4）程序与（5）程序用Excel处理得到的表格附录四：分布估计图像附录一：对于1题(4)程序如下：for A=30000:1000:150000; /A从30000每隔1000到150000循环 x=0:0.1:2000; /x的范围 y1=zeros(size(x); y2=zeros(size(x); y3=zeros(size(x); y4=zeros(size(x); N=length(x); for k=1:N if x(k)=(A-152000)/11&x(k)=(A-62000)/11&x(k)=(A-26000)/11&x(k)=(A-8000)/11&x(k)=A/11 y4(k)=-0.55*x(k)+0.05*A-100; end endy=y1+y2+y3+y4; /y表示F(x) Ymin,t=min(y); /求F(x)的最小值Ymin，t表示其位置 Ymin x(t) /每月工资最优分配额end附录二，对于1题(5)程序如下：for A=30000:1000:150000; /A从30000每隔1000到150000循环x=2000:0.1:A/12; /x的范围y1=zeros(size(x);y2=zeros(size(x);y3=zeros(size(x); y4=zeros(size(x);y5=zeros(size(x);y6=zeros(size(x); y7=zeros(size(x);y8=zeros(size(x);N=length(x); for k=1:N if x(k)=2000 y1(k)=0.6*x(k)-1200; elseif x(k)2500 y2(k)=1.2*x(k)-2700; elseif x(k)4000 y3(k)=1.8*x(k)-4100; elseif x(k)7000 y4(k)=2.4*x(k)-8500; endendhold on;for k=1:N if x(k)A/12-12500 y5(k)=-2.4*x(k)+0.2*A-375; elseif x(k)=A/12-5000 y6(k)=-1.8*x(k)+0.15*A-125; elseif x(k)=A/12-2000 y7(k)=-1.2*x(k)+0.1*A-25; elseif x(k)=A/12-500 y8(k)=-0.6*x(k)+0.05*A; endy=y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8; /y表示F(x)plot(x,y,g) /画出F(x)关于x的图像Ymin,t=min(y); /求F(x)的最小值Ymin，t表示其位置Yminx(t) /每月工资最优分配额end 附录三对（4）程序与（5）程序求得结果经Excel处理后如下表： 最优分配 最优分配年收入（元）最小税额（元）月工资（元）年终奖（元）最小税额（元）月工资（元）年终奖（元）300003002000600030020006000310003502083.45999.267520007000320004002166.75999.677520008000330004502250600087520009000340005002333.45999.2975200010000350005502416.75999.6107520001100036000600250060001175200012000370007002583.45999.21275200013000380008002666.75999.61375200014000390009002750600014752000150004000010002833.45999.215752000160004100011002916.75999.616752000170004200012003000600017752000180004300013003083.45999.218752000190004400014003166.75999.619752000200004500015003250600020752000210004600016003333.45999.221752000220004700017003416.75999.622752000230004800018003500600023752000240004900019003583.45999.236252000250005000020003666.75999.637752000260005100021003750600039252000270005200022003833.45999.240752000280005300023003916.75999.642252000290005400024004000600043752000300005500027752583.423999.245252000310005600028752666.723999.6467520003200057000297527502400048252000330005800030752833.423999.249752000340005900031752916.723999.6512520003500060000327530002400052752000360006100033753083.423999.254252000370006200034753166.723999.6557520003800063000357532502400057252000390006400036753333.423999.258752000400006500037753416.723999.6602520004100066000387535002400061752000420006700039753583.423999.263252000430006800040753666.723999.6647520004400069000417537502400066252000450007000042753833.423999.267752000460007100043753916.723999.6692520004700072000447540002400070752000480007300056254083.423999.2722520004900074000577542502300073752000500007500059254166.724999.675252000510007600060754333.423999.2767520005200077000622544167-453004782520005300078000637545002400079752000540007900065254583.423999.281252000550008000066754666.723999.6827520005600081000682547502400084252000570008200069754833.423999.285752000580008300071254916.723999.6872520005900084000727550002400088752000600008500074255083.423999.2118252000610008600075755166.723999.612025200062000870007725525024000122252000630008800078755333.423999.2124252000640008900080255416.723999.612625200065000900008175550024000128252000660009100083255583.423999.2130252000670009200084755666.723999.613225200068000930008625575024000134252000690009400087755833.423999.2136252000700009500089255916.723999.613825200071000960009075600024000140252000720009700092256083.423999.2142252000730009800093756166.723999.6144252000740009900095256250240001462520007500010000096756333.423999.21482520007600010100098256416.723999.615025200077000102000997565002400015225200078000103000101256583.423999.215425200079000104000102756666.723999.615625200080000105000103757000.120998.815825200081000106000104757000.121998.816025200082000107000105757000.122998.816225200083000108000106757000.123998.816425200084000109000108757083.423999.216625200085000110000110757166.723999.6168252000860001110001127572502400017025200087000112000114757333.423999.217225200088000113000116757416.723999.6174252000890001140001187575002400017625200090000115000120757583.423999.217825200091000116000122757666.723999.6180252000920001170001247577502400018225200093000118000126757833.423999.218425200094000119000128757916.723999.6186252000950001200001307580002400018825200096000121000132758083.423999.219025200097000122000134758166.723999.6192252000980001230001367582502400019425200099000124000138758333.423999.2196252000100000125000140758416.723999.619825200010100012600014275850024000200252000102000127000144758583.423999.2202252000103000128000146758666.723999.62042520001040001290001487587502400020625200010500013000015075700046000208252000106000131000152257000.146998.8210252000107000132000153757000.147998.8212252000108000133000155257000.148998.8214252000109000134000156757000.149998.8216252000110000135000158257000.150998.8218252000111000136000159757000.151998.8220252000112000137000161257000.152998.8222252000113000138000162757000.153998.8224252000114000139000164257000.154998.8226252000115000140000165757000.155998.8228252000116000141000167257000.156998.823025200011700014200016875700058000232252000118000143000170257000.158998.8234252000119000144000171757000.159998.8236252000120000145000173757083.459999.2238252000121000146000175757166.759999.624025200012200014700017775725060000242252000123000148000179757333.459999.2244252000124000149000181757416.759999.624625200012500015000018375750060000248252000126000 表1 表2附录四：分布估计 根据图像观察，和对过去文献的估计，用伽玛分布来做近似分布函数。近似估计伽玛分布密度 根据数据画出各个收入区间的人数所占比例，如下图然后，对某组数据给定的参数，画出伽玛分布在对应收入区间累计积分值，作为在该分布下相应区间的人数比例的理论值，例如在时可以得到下面是赠送的中秋节演讲辞，不需要的朋友可以下载后编辑删除！谢谢中秋佳节演讲词推荐中秋,怀一颗感恩之心老师们，同学们：秋浓了，月圆了，又一个中秋要到了!本周日，农历的八月十五，我国的传统节日中秋节。中秋节，处在一年秋季的中期，所以称为“中秋”，它仅仅次于春节，是我国的第二大传统节日。中秋的月最圆，中秋的月最明，中秋的月最美，所以又被称为“团圆节”。金桂飘香，花好月圆，在这美好的节日里，人们赏月、吃月饼、走亲访友无论什么形式，都寄托着人们对生活的无限热爱和对美好生活的向往。中秋是中华瑰宝之一，有着深厚的文化底蕴。中国人特别讲究亲情，特别珍视团圆，中秋节尤为甚。中秋，是一个飘溢亲情的节日;中秋，是一个弥漫团圆的时节。这个时节，感受亲情、释放亲情、增进亲情;这个时节，盼望团圆、追求团圆、享受团圆这些，都已成为人们生活的主旋律。同学们，一定能背诵出许多关于中秋的千古佳句，比如“举头望明月，低头思故乡”、“但愿人长久，千里共婵娟”、“海上生明月，天涯共此时”这些佳句之所以能穿透历史的时空流传至今，不正是因为我们人类有着的共同信念吗。中秋最美是亲情。一家人团聚在一起，讲不完的话，叙不完的情，诉说着人们同一个心声：亲情是黑暗中的灯塔，是荒漠中的甘泉，是雨后的彩虹中秋最美是思念。月亮最美，美不过思念;月亮最高，高不过想念。中秋圆月会把我们的目光和思念传递给我们想念的人和我们牵挂的人，祝他们没有忧愁，永远幸福，没有