点线面距离公式毕业论文.docx

目 录摘 要1关键词11 引言12 空间点到直线距离公式的探析与应用12.1 点到直线的距离公式及证明12.2 直线方程的转换32.3 点到直线距离公式的应用43 两直线间的距离探析与应用53.1异面直线间的距离公式及证明63.2 异面直线距离公式的应用74 点到平面距离的探析与应用84.1 点到平面距离公式的证明84.1.1 一般化证法84.1.2 体积法的形象证明94.2 点面公式的应用10参考文献12谢辞13 德州学院 数学科学学院 2016届 数学与应用数学专业 毕业论文 点、直线、平面间距离公式的探析与应用（德州学院数学科学学院，山东德州 253023） 摘 要: 根据两向量的向量积、点与平面间的离差、向量的射影、向量积和混合向量积的几何意义及平面的法式方程等给出了空间几何中点到直线的距离、两异面直线间的距离、点到平面的距离公式以及对公式的多种推导方法.关键词: 向量;距离;点与平面的离差;公垂线;平面的法式方程1 引言在空间几何中，关于点、直线与平面的位置的讨论一直成为大家研究的焦点.并且主要围绕着点到直线距离、点到平面距离、两异面直线间距离的计算出现了多种思路与公式证法：对于点线距离我们可以借鉴的就有向量内积或外积法、平面束法、离差外积结合法；对于空间异面直线我们可以利用公垂线，也可以利用空间几何图形来求证；点面距离公式存在多种证明如利用平面的向量式方程来推导、利用离差与法式方程证明和利用距离公式法.因此经过多方查证与参考，本文主要利用向量积、离差与射影、空间几何图形和法式方程等方法对点线距离、点面距离与异面直线距离的公式及证明进行了一定的整理并加以应用，从而使大家更清晰的理解该重点内容.2 空间点到直线距离公式的探析与应用点到直线距离是几何的重点内容之一，在高中的平面解析几何乃至大学空间解析几何中均有重点体现.点与直线的位置关系有两种,即点在线上与点不在线上.当点不在线上时,我们来求点到直线距离.那么什么是点到直线距离呢?我们给出定义:一点与空间直线上点之间的最短距离叫做该点与空间直线的距离.同时,下面我们给出距离的两种公式及证明.2.1 点到直线的距离公式及证明 定理1 空间点到直线L:的距离为. 其中，为直线上一点，向量为直线方向向量.图1证明 首先，我们考虑以与直线方向向量为邻边构成的平行四边形.它的面积为.设点到直线的距离记为，则也是该平行四边形底边上的高.这个平行四边形的面积也等于底边与高的乘积，即,所以.定理2 已知空间点与直线L:,则其距离为. 其中 .证明 已知平面，由点向平面引垂线，垂足为Q，那么向量在平面的单位法向量上的射影叫做点与平面间的离差，记作，即.可知，对于平面上任意一点，.设为平面的法化因子，则任意一点对平面的离差是,所以.设方程为，是的法向量，是的法化因子，则与相交于L.对于L上任意一点，与的离差，且.已知直线的方向向量为，其中，那么根据向量的双重外积计算公式可以推出，因为，平面的单位法向量所以，那么,其中是平面的法式化因子，为点与平面间的离差.同时由定理1得,所以 . 2.2 直线方程的转换 我们在解题中要想直接利用已知的公式一般是不太可能的，经常需要进行一定的转化，达到我们所利用的条件.所以为了更便捷的使公式帮助我们解决问题，我们在这里给出直线公式的转换.我们设直线的一般方程为记，则，.如果，则取,得则直线方程化为标准方程.2.3 点到直线距离公式的应用例1 求点M(2,3,-1)到直线的距离.解 ，取得， .则直线一般方程转化为标准方程为，由公式 .并且代入点M得 .所以通过对定理1的应用我们求出点M到直线的距离为. 例2 求点到直线的距离. 解 由题意可知平面的法式方程为，所以单位法向量.的法式方程为，所以单位法向量.点、带入公式 .得 .所以通过对定理2可知点到直线的距离为.3 两直线间的距离探析与应用空间两直线的相关位置有异面和共面两种情况,当两直线共面时对于求两直线的距离我们在中学时候已经了解了，这里我们主要探讨空间直线异面的情况.首先我们给出两直线距离定义：空间两直线上的点之间的最短距离，叫做这两条直线之间的距离.在求距离之前要先会判断两直线是否异面,我们设两直线和的方程为，.那么两直线和异面的充要条件为.3.1异面直线间的距离公式及证明 定理3 设两直线与的方程为，那么两异面直线与之间的距离计算公式为 . 图2证明 证法一 直线由点和向量决定,直线由和向量决定.由三向量构成一个平行六面体,以两直线的方向向量为底边,可知道底面面积为,又因为六面体体积为,所以两异面直线的距离d为三向量构成的六面体上以为底的高，而这个高为.所以.证法二 与两条异面直线都垂直相交的直线,叫做两异面直线的公垂线,两个交点之间的线段长叫做公垂线的长.设异面直线与公垂线的交点为.分别为直线与上任意一点.于是公垂线的长为所以由直线间距离定义知两异面直线间的距离等于它们公垂线的长.所以,并且根据两异面直线,的方向向量 与可求出向量积,显然向量积与公垂线平行.因此我们就知道了公垂线的一个方向向量.那么有 .坐标形式为 .3.2 异面直线距离公式的应用例3 已知两直线方程为 .求两直线之间的距离.解 直线过点，方向向量为.直线过点，方向向量为.因为，所以两直线和异面.由两直线方向向量可求出它们公垂线的方向向量为,所以由公式可求两直线的距离为.所以我们可利用异面直线公式求得两直线的距离为.4 点到平面距离的探析与应用图3空间中点与平面的位置关系存在点在平面上和点不在平面上两种情况，在我们的空间几何课程中对点到面的距离描述为：点与平面上的点之间的最短距离，叫做点与平面之间的距离.4.1 点到平面距离公式的证明定理4 已知平面和给定空间点，点到平面的距离为 . 其中是点在平面上的投影.4.1.1 一般化证法证明 过原点O作平面的垂线，垂足为，设，则点的向径，其中为平面由原点指向平面的单位法向量，点为平面上任意一点.设，那么由点和法向量决定的平面方程为 . 当时，则得到平面的法式方程 . 图5图4已知点与平面，若，.那么根据离差定义及图4、图5得 ,因为点在平面上，所以，从而得到点与平面的离差为.当时我们可以得到离差为 ,对于平面其法向量， ,其中D0时取“-”，D0时取“+”.所以到的离差为 ,所以平面到给定空间点的距离为 . 4.1.2 体积法的形象证明大体思路为依据平面的两个方位向量和利用平面上的一个已知点与面外点建立的向量组成平行六面体，再根据平行六面体体积公式求得高为点到面的距离.证明 设平面的方程为向量式参数方程，为参数；为平图6面的方位向量并且，分别为点M,P的径矢(M为平面上一点). 首先我们先将移到M位置，连接MP，则MP的向量为，那么我们就组成了为底面为棱的平行六面体，它的高正好是点P到平面的距离.体积为 ，因为六面体体积又为 所以 将带入平面方程可得为常数，那么距离公式为.4.2 点到平面距离公式的应用例4 计算平面的距离为20的平面方程.解 设所求方程为,那么已知平面方程上任意一点到所求平面方程距离均为20,若平面方程上点为将其代入公式.得.所以解得和. 由点面距离公式我们可以轻易求得该题到面的距离为20的平面方程为和. 结束语： 关于点线距离、点面距离和异面直线距离计算一直是我们在学习空间几何中时的重点与难点，在解决此类问题时我们要学会变通.在点线距离中我们注意所给直线方程形式再利用公式，真正理解所用公式推理，知其然知其所以然.同时本文通过抽象和具象两种形式对点面距离、异面直线距离公式进行了推导，方便大家理解.参考文献：1 吕林根,许子道.解析几何M.北京：高等教育出版社，2006:96-130.2 杨瑜.空间点到直线距离公式探析J.高师理科学刊.2011,3：31.3 陆世标，朱家荣.点到平面距离公式的七种推导方法探讨J.广西民族师范学院学报，2012，5:11-12.4 刘德金.点到平面距离公式的多种推导J.高等数学研究.2010,3：19.5 石明.点到直线距离的探究及其应用J.黔南民族师范学院学报，2002,3:566 焦曙光.点到直线距离J.高等数学研究.2003,3：8.7 同济大学数学教研室.高等数学(第四版)上册M.上海: 同济大学出版社, 1996:432. 8 高级中学课本平面解析几何必修版M.人民教育出版社出版, 2000:45.9 Naz R，Mahomed F M，Mason D PComparison of different approaches to conservation laws for some partial differential equations in fluid mechanicsJAppl Math comput，2008（205）：212-230Points, Lines, and Application of the Distance between the Plane of the FormulaYang shuquan(College of Mathematical sciences, Dezhou University, Dezhou Shandong 253023)Abstract:According deviation vector projective vector product of two vectors, points and planes, in addition to the use of French equation learned geometrical meaning and plane geometry, etc. are given space to the midpoint of the straight line distance between two straight