高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3_3 利用导数研究函数的最(极)值课件 文

第3讲 利用导数研究函数的最(极)值,考试要求 1.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，A级要求；2.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求,知 识 梳 理 1函数的极值 若在函数yf(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有 ，则称函数yf(x)在点xx0处取得极大值，记作 ；若在x0附近的所有点x，都有 ，则称函数yf(x)在点xx0处取得极小值，记作 ,f(x)f(x0),y极大值f(x0),f(x)f(x0),y极小值f(x0),2求函数极值的步骤： (1)求导数f(x)； (2)求方程f(x)0的所有实数根； (3)观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f(x)的符号如何变化，若f(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点,3函数的最值 若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的xI，都有 ，则称f(x0)为函数的最大值，记作ymax ；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的xI，都有 ，则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin ,f(x),f(x0),f(x0),f(x),f(x0),f(x0),4求函数yf(x)在区间a，b上的最值的步骤： (1)求f(x)在区间a，b上的极值； (2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值,诊 断 自 测 1判断正误(在括号内打“”或“”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 ( ) (2)函数的极大值不一定比极小值大 ( ) (3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件 ( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值 ( ),解析 (1)函数在某区间或定义域内极大值可以不止一个，故(1)错误，(3)对可导函数f(x)，f(x)0是x0为极值点的必要条件 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修11P34T8)函数f(x)x33x22在区间1，1上的最大值是_. 解析 f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2. f(x)在1，0)上是增函数，f(x)在(0，1上是减函数. f(x)maxf(x)极大值f(0)2. 答案 2,考点一 用导数研究函数的极值(多维探究) 命题角度一 根据函数图象判断极值 【例11】 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论：,函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)； 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)； 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)； 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) 其中一定成立的是_(填序号),解析 由题图可知，当x3，此时f(x)0；当22时，1x0，由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值 答案 ,若b1，c1， 则f(x)x22x1(x1)20，f(x)没有极值 若b1，c3， 则f(x)x22x3(x3)(x1) 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,规律方法 (1)求函数f(x)极值的步骤： 确定函数的定义域； 求导数f(x)； 解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根； 列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值 (2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同应注意，导数为零的点不一定是极值点对含参数的求极值问题，应注意分类讨论.,【训练1】 设函数f(x)ax32x2xc(a0) (1)当a1，且函数图象过(0,1)时，求函数的极小值； (2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围,考点二 利用导数求函数的最值 【例2】 (2017徐州模拟)已知函数f(x)(xk)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间0,1上的最小值,解 (1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex， 令f(x)0，得xk1. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表： 所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，),(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k， 当0k11，即1k2时， 由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减， 在(k1,1上单调递增， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1. 当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e. 综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k2时，f(x)min ek1；当k2时，f(x)min(1k)e.,规律方法 求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值,考点三 利用导数研究生活中的优化问题 【例3】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率) (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大,规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点,由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点 所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大,思想方法 1利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分 2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小 3可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同 4若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即