八年级下册数学教案(全).doc

1 第 16 章 分式 16.1.1 分式的概念 教学目标： 1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式。 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式。 3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件， 渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学流程： 一、做一做 （1）面积为 2 平方米的长方形一边长 3 米，则它的另一边长为_米； （2）面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为_米； （3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是 _元； 二、概括： 形如(A、B是整式，且B中含有字母，B0)的式子，叫做分式.其中 A叫做分式的 B A 分子,B叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式，分式. 三、例题： 例 1下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）； （2）； （3）； （4）. x 1 2 x yx xy 2 3 3yx 解：属于整式的有：（2） 、 （4） ；属于分式的有：（1） 、 （3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分 式中，a0；在分式中，mn. a S nm 9 例 2当取什么值时，下列分式有意义？x （1）； （2）. 1 1 x32 2 x x 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母0，即1.1xx 所以，当1 时，分式有意义.x 1 1 x （2）分母 20，即-.3xx 2 3 所以，当-时，分式有意义.x 2 3 32 2 x x 四、练习： P5 习题 16.1 第 3 题（1） （3） 五、小结： 什么是分式？什么是有理式？ 六、作业： 2 P5 习题 17.1 第 1、2 题，第 3 题（2） （4） 板书设计: 分式的概念 形如(A、B是整式，且B中含有字母，B0)的式子， 例题: B A 叫做分式.其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母. 16.1.2 分式的基本性质(1) 教学目标: 掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义。 教学重点: 分式约分方法 教学难点: 分子、分母是多项式的分式约分 教学流程： 一复习导入 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示是： MB MA B A MB MA B A , （ 其中 M 是不等于零的整式） 。 与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分. 可类比分数的 基本性质来识记。 二 实践与探索 ： 例题 下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1） 2 2 xxyxy xx （2） 1 12 1 1 2 2 y yy y y （y1）. 特别提醒：对 2 2 xxyxy xx ，由已知分式可以知道 x 0 ，因此可以用 x 去除以分式的分 子、分母，因而并不特别需要强调 0x 这个条件，再如 1 12 1 1 2 2 y yy y y 是在已知分式的 分子、分母都乘以 y+1 得到的，是在条件 y+10 下才能进行的，所以，这个条件必须附加 强调。 例题：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。 （1） yx yx 3 2 2 1 3 2 2 1 ； （2） ba ba 2 . 0 5 . 03 . 0 .仔细观察分母 （分 子）的变化利用分式的基本性质来解题。深入理解。尝试解题。 例题：约分 （1） 4 32 20 16 xy yx ； （2） 44 4 2 2 xx x 解 （1） 4 32 20 16 xy yx 抽生补充 （2） 44 4 2 2 xx x 2 )2( )2)(2( x xx 2 2 x x . 3 说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分 解因式（即化成乘积的形式） ，然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我 们把这样的分式称为最简分式. 练习：约分 2 2 3 2 axy yax ； )(3 )(2 bab baa ； 3 2 )( )( ax xa ； yxy x 2 4 2 ； 2 2 3 9 mm m ； 2 991 98 。 先思考约分的方法，再解题，并总结如何约分：若分子和分母都是多项式，则往往需要 先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式） ，然后才能进行约分。约分后，分子与分母 不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式. 四 小结与作业 ：请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质，分式的约分运算，用到了哪些知 识？ 让学生发表，互相补充，归结为：（1）因式分解；（2）分式基本性质；（3）分式中 符号变换规律；约分的结果是，一般要求分、分母不含“” 。 ：作业：课本习题 1、2 板书设计 16.1 分式的基本性质（1） 分子分母是单项式 约分 的约分方法及例题讲解 分子分母是多项式 分式基本性质 16.1.2 分式的基本性质(2) 教学目标: 1进一步理解分式的基本性质以及分式的变号法则。 2使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤； 教学重点: 让学生知道通分的依据和作用，学会分式通分的方法。 教学难点: 几个分式最简公分母的确定。 教学流程: 一 复习导入 1分式 3 24 x x 中，当 x_ 时分式有意义，当 x_时分式没有意义，当 x _时分式的值为 0。 2分式的基本性质。 二实践与探索 、分式的的变号法则 例 1 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“”号： （1） a b 6 5 ； （2） y x 3 ； （3） n m 2 . 例 2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： （1） 2 1x x ； （2） 3 2 2 x x . 注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。 （2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“”号，括号内各项都变 4 号。 例 3 若 x、y 的值均扩大为原来的 2 倍，则分式 2 3 2 y x 的值如何变化？若 x、y 的值均变 为原来的一半呢？ 、分式的通分 （1） 把分数 6 5 , 4 3 , 2 1 通分。 解 12 6 26 16 2 1 ， 12 9 43 33 4 3 ， 12 10 62 52 6 5 （2）什么叫分数的通分？先独立思考再交流总结变号法则。 把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。 （3） 和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做 分式的通分。 通分的关键是确定几个分式的公分母。 讨论： （1）求分式 43223 6 1 , 4 1 , 2 1 xyyxzyx 的（最简）公分母。 分析：对于三个分式的分母中的系数 2，4，6，取其最小公倍数 12；对于三个分式的分 母的字母，字母 x 为底的幂的因式，取其最高次幂 x3，字母 y 为底的幂的因式，取其最高 次幂 y4，再取字母 z。所以三个分式的公分母为 。 （2） 求分式 2 24 1 xx 与 4 1 2 x 的最简公分母。 分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，把这两个分式的分母中所有的因式都取 到，其中，系数取正数，取它们的积，即 2x（x+2） （x-2）就是这两个分式的最简公分母。 请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤。 练习： ： 填空题 （1） zyxzyx 4323 122 1 ； （2） zyxyx 4332 124 1 ； （3） zyxxy 434 126 1 。 ：求下列各组分式的最简公分母： （1） 222 6 5 , 4 1 , 3 2 bccaab ； （2） ； 2 )3(2 1 , )3)(2( 1 , )2(3 1 xxxxx （3） 1 1 , 1 , 22 22 xxxx x 、例 3 通分 （1） ba2 1 ， 2 1 ab ； （2） yx 1 ， yx 1 ； 分析： 1取各分式的分母中系数最小公倍数； 2各分式的分母中所有字母或因式都要取到； 3相同字母（或因式）的幂取指数最大的； 4所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数） 即为最简公分母。 5 （3） 22 1 yx ， xyx 2 1 . 分析 ：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母 的分式。通分的关键是确定几个分式的公分母；要归纳出分式分式是多项式如何确定最简公 分母，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定分母。 练习 通分： （1） 2 3 1 x ， xy12 5 ；（2） xx 2 1 ， xx 2 1 （3） 4 , )2( 1 22 x x x 合作交流解法。板演 并互批。 四小结与作业 ：把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前 后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母 要乘以什么样的“适当整式” ，才能化成同一分母。确定公分母的方法，通常是取各分母所 有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ：课本相应的习题。 板书设计 16.1 分式的基本性质（2） 分子分母是单项式 约分（已讲） 的方法及例题 分子分母是多项式 分式基本性质 分母是单项式 通分 的方法及例题 分母是多项式 课后反思： 16.2 分式的运算 16.2.1 分式的乘除法 教学目标： 1、让学生通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行式的乘除法运算。 2、使学生理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方 运 算。 3、引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力 。 教学重点： 分式的乘除法、乘方运算 教学难点： 分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定。 教学流程： 一、复习与情境导入 1、(1) ：什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？ 6 (2)：下列各式是否正确？为什么？ 2、尝试探究：计算： （1）； （2）. a b b a 3 2 2 3 2 b a b a 2 3 2 概括：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不 是最简分式，应该通过约分进行化简. 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式 相乘.（用式子表示如右图所示） 二、例题： 例 1 计算： （1）； （2）. xb ay by xa 2 2 2 2 22 2 22 2 xb yza zb xya 解 （1）=. （2）= xb ay by xa 2 2 2 2 xbby ayxa 22 22 3 3 b a 22 2 22 2 xb yza zb xya yza xb zb xya 2 22 22 2 =. 3 3 z x 例 2 计算：. 4 9 3 2 2 2 x x x x 解 原式. )2)(2( ) 3)(3( 3 2 xx xx x x 2 3 x x 三、练习：P8 第 1 题 四、思考 怎样进行分式的乘方呢？试计算： （1） （）3 （2） （）k （k是正整数） m n m n （1） （）3 =_； m n m n m n m n mmm nnn （2） （）k = 个k m n m n m n _. m n mmm nnn 仔细观察所得的结果，试总结出分式乘方的法则. 五、小结： 1、怎样进行分式的乘除法？ 2、怎样进行分式的乘方？ 六、作业： P10 习题 16.2 第 1 题 P7 练习：第 2 题：计算 板书设计： 分式的乘除法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简 分式，应该通过约分进行化简. 回忆：如何计算、 10 9 6 5 ？从中可以得到什么启示。 4 3 6 5 7 回忆：如何计算、 5 2 5 1 ， 6 1 4 1 从中可以得到什么启示？ 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 16.2.2 分式的加减法 教学目标： 1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母分式的加减 运算。 2、通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法则以 及分式通分，培养学生分式运算的能力。 3、渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的能力。 教学重点： 让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。 教学难点： 分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。 教学流程： 一、实践与探索 1、回忆：同分母的分数的加减法法则： 同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减。 2、试一试： 计算：（1）；（2） aa b2 aba 32 2 3、总结一下怎样进行分式的加减法？ 概括 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 二、例题 1、例 3 计算： xy yx xy yx 22 )()( 2、例 4 计算：. 16 24 4 3 2 xx 分析 这里两个加项的分母不同，要先通分.为此，先找出它们的最简公分母. 注意到=,所以最简公分母是16 2 x)4)(4(xx)4)(4(xx 解 16 24 4 3 2 xx )4)(4( 24 4 3 xxx)4)(4( 24 )4)(4( )4(3 xxxx x )4)(4( 24)4(3 xx x )4)(4( 123 xx x )4)(4( )4(3 xx x 4 3 x 三、练习：P10 第 1 题（1） （3） 、第 2 题（1） （3） 四、小结： 1、同分母分式的加减法：类似于同分母的分数的加减法； 2、异分母分式的加减法步骤： . 正确地找出各分式的最简公分母。 求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母为底的幂 的因式都要取；（3）相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。 . 准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。 8 . 用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。 . 公分母保持积的形式，将各分子展开。 . 将得到的结果化成最简分式（整式） 。 五、作业： P10 习题 16.2 第 2、3、4 题 板书设计： 分式的加减法 同分母分式的加减法：类似于同分母的分数的加减法； 异分母分式的加减法步骤： . 正确地找出各分式的最简公分母。 求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母为底的幂的因 式都要取；（3）相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。 . 准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。 . 用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。 . 公分母保持积的形式，将各分子展开。 . 将得到的结果化成最简分式（整式） 。 16.2.3 分式的混合运算 教学目标 能类比分数的混合运算探究出分式的混合运算法则. 会进行简单的分式四则混合运算。 能灵活运用运算律简便运算。 进一步培养学生严谨的治学态度，实事求是的精神。 教学重点 会进行简单的分式四则混合运算 教学难点 能灵活运用运算律简便运算。 。 一 复习导入 回忆：我们已经学习了分式的哪些运算？ 分式的乘除运算主要是通过 （ ）进行的，分式的加减法主要是通过（ ）什么进行的。 分数的混合运算法则是（ ，类似的，分式的混合运算法则是先算（ ） ，再算（ ） ， 最后算（ ） ，有括号先算（ ）里的。 二 典型例题探究 例 1：计算： 244 4 2 2 2 x x xxx x 分析：应先算括号里的。 例 2：计算 22 22 4 4 2 4 2 yx yx yx y yx 分析：本题应采用逐步通分的方法依次进行。 例 3： yx x yx yxx2 1 2 1 引导学生分析运算顺序，并说解法。指名板演。合作交流解法。代表板演。积极探求 简便解法。 分析：本题可用分配律简便计算。 9 例 4： babababa 1111 22 分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分。积极探求简便解法。 三同步训练 1、 1 1 2 x x x 2、 1 1 1 2 1 2 x x x 3、 )( 2 caba ab + )( 2 acba bc 4、 22 11 yx xy yxyx 三小结与作业 1、分数的混合运算法则是（ ，类似的，分式的混合运算法则是先算（ ） ，再 算（ ） ，最后算（ ） ，有括号先算（ ）里的。一些题应用运算律、公式简便运算。 作业： （） 12 1 12 1 1 1 1 2 2 x x xx xx 其中先化简再求值 板书设计： 分式混合运算 复习导入之问题出示及解答 例题讲解 练习及讲评 小结及作业 课后反思： 16.3 可化为一元一次方程的分式方程(1) 教学目标： 1、使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程. 2、使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根 的 方法. 3、使学生领会“ 转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方 程来解. 4、培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。 教学重点： 使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程. 教学难点： 使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方 法. 教学流程： 一、问题情境导入 轮船在顺水中航行 80 千米所需的时间和逆水航行 60 千米所需的时间相同.已知水流的 速度是 3 千米/时，求轮船在静水中的速度. 分 析 设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得 10 . （1） 3 60 3 80 xx 概 括 方程(1)中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. 思 考 怎样解分式方程呢？有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢？试 动手解一解方程（1）. 方程（1）可以解答如下： 方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约去分母，得 80（x-3）=60(x+3). 解这个整式方程，得 x=21. 所以轮船在静水中的速度为 21 千米/时. 概 括 上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方 程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 二、例题： 1、例 1 解方程：. 1 2 1 1 2 xx 解 方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得 x+1=2. 解这个整式方程，得 x=1. 解到这儿，我们能不能说x=1 就是原分式方程的解（或根）呢？细心的同学可能会发现， 当x=1 时，原分式方程左边和右边的分母（x1）与（x21）都是 0，方程中出现的两个 分式都没有意义，因此，x=1 不是原分式方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解. 我们看到，在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去 了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根） ，这种根通常称为增根.因此，在解分 式方程时必须进行检验. 2、例 2 解方程：. 7 30100 xx 解 方程两边同乘以x(x-7)，约去分母，得 100（x-7）=30x. 解这个整式方程，得 x=10. 检验：把x=10 代入x(x-7)，得 10（10-7）0 所以，x=10 是原方程的解. 三、练习：P16 第 1 题 四、小结： 、什么是分式方程？举例说明； 、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方 程解这个整式方程.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结 果不是 0，说明此根是原方程的根；若结果是 0，说明此根是原方程的增根，必须舍去 、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？ 五、作业： P16 习题 16.3 第 1 题（1） （2） 、第 2 题 11 板书设计： 可化为一元一次方程的分式方程 解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方 程解这个整式方程.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结 果不是 0，说明此根是原方程的根；若结果是 0，说明此根是原方程的增根，必须舍去 16.3 可化为一元一次方程的分式方程(2) 教学目标： 1、进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。 2、通过分式方程的应用教学，培养学生数学应用意识。 教学重点： 让学生学习审明题意设未知数，列分式方程 教学难点： 在不同的实际问题中，设元列分式方程 教学流程： 一、复习并问题导入 1、复习练习 解下列方程：（1） （2）2 1 4 1 3 x x x x 62 7 2 3 3 2 xx 2、列方程解应用题的一般步骤？ 概括：这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用。这节课，我们将学习 列分式方程解应用题。 二、实践与探索：列分式方程解应用题 例 3 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640 名学生的成绩数据分别由两位程 序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度 是乙的 2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成 绩？ 解 设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入 2x名学生的成绩，根据题意 得 . x2 2640 602 2640 x 解得 x11. 经检验，x11 是原方程的解.并且x11，2x21122，符合题意. 答：甲每分钟能输入 22 名学生的成绩，乙每分钟能输入 11 名学生的成绩. 强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意； 三、练习： 第 2、3 题 四、小结： 列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意； （2）设未知数（要有单位） ； （3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； （4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； （5）写出答案（要有单位） 。 五、作业：习题 16.3 第 1 题（3） （4） ，第 3 题 板书设计： 可化为一元一次方程的分式方程 列分式方程解应用题的一般步骤： 12 （1）审清题意； （2）设未知数（要有单位） ； （3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； （4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； （5）写出答案（要有单位） 。 16.3.3 可化为一元一次方程的分式方程复习 教学目标： 1、使学生能较熟练的列可化为一元一次方程的分式方程解应用题。 2、提高分析问题和解决问题的能力。 教学重点： 分析应用题中的数量关系，提高思维能力。 教学难点： 分析应用题中的数量关系，提高思维能力。 教学流程： 一 复习导入 1、某农场挖一条 960m 长的渠道，开工后每天比原计划多挖 20m，结果提前 4 天完成了 任务。若设原计划每天挖 xm，则根据题意可列出方程为（ ） 2、为了绿化江山，某村计划在荒山上种植 1200 棵树，原计划每天种 x 棵，由于邻村的 支援，每天比原计划多种了 40 棵，结果提前了 5 天完成了任务，则可以列出方程为（ ） A x 1200 40 1200 x =5 B 40 1200 x x 1200 =5 C 40 1200 x x 1200 =5 D x 1200 40 1200 x =5 二 创新例题讲解与练习巩固 例 1 购一年期债券，到期后本利只获 2700 元，如果债券年利率 12.5%，那么利息是 多少元? 解：(1)设利息为 x 元，则本金为(2700-x)元，依题意列分式方程为： 解此方程得 x=300 经检验 x=300 为原方程的根 答：利息为 300 元。 练习一组学生乘汽车去春游，预计共需车费 120 元，后来人数增加了4 1 ，费用仍不 变，这样每人少摊 3 元，原来这组学生的人数是多少个？ 分析 本题是策略问题，应让学生合作交流解法。注意分类讨论思想。合作交流解法 抽生解答，再讲评。 例 2：某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书。施工一天，需付甲 工程队工程款 1.5 万元, 乙工程队工程款 1.1 万元。工程领导小组根据甲、乙两队的投标书 测算： （1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成； （2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用 5 天； （3）若甲、乙两队合做 4 天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。 13 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 练习 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔 300 枝以上， （不包括 300 枝） ，可以按批发价付款，购买 300 枝以下， （包括 300 枝）只能按零售价付款。小明来该店 购买铅笔，如果给八年级学生每人购买 1 枝，那么只能按零售价付款，需用 120 元，如果多 购买 60 枝，那么可以按批发价付款，同样需要 120 元， （1）这个八年级的学生总数在什么范围内？ （2）若按批发价购买 6 枝与按零售价购买 5 枝的款相同，那么这个学校八年级学生有 多少人？ 三小结 列分式方程解应用题的一般步骤：列方程解应用题注意分析题目中的数量，分清哪些是 未知数，哪些是已知数，再找出这些数量间的关系，尽量找出多的数量关系，一般地，其中 一个用来设立未知数，另一个用来立方程。 课后反思： 16.4 零指数幂与负整指数幂 16.4.1 零指数幂与负整指数幂 教学目标： 1、使学生掌握不等于零的零次幂的意义。 2、使学生掌握（a0，n是正整数）并会运用它进行计算。 n n a a 1 3、通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。 教学重点、难点： 不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点 也是难点。 教学流程： 一、复习并问题导入 问题 1 在 13.1 中介绍同底数幂的除法公式时，有一个附加条件：mn， nmnm aaa 即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m = n或mn时， 情况怎样呢？ 二、探索 1：不等于零的零次幂的意义 先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式： 5252，103103，a5a5(a0). 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 525252-250，103103103-3100，a5a5a5-5a0(a0). 另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于 1. 概 括: 由此启发，我们规定：50=1，100=1，a0=1（a0）. 这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于 1. 三、探索 2：负指数幂 我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式： 5255， 103107， 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 525552-55-3， 103107103-710-4. 另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为 零的零次幂零的零次幂 没有意义！没有意义！ 14 5255 103107 5 2 5 5 32 2 55 5 3 5 1 7 3 10 10 43 3 1010 10 4 10 1 概 括： 由此启发，我们规定： 5-3， 10-4. 3 5 1 4 10 1 一般地，我们规定： (a0，n是正整数) n n a a 1 这就是说，任何不等于零的数的n （n为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数. 四、例题： 1、例 1 计算：（1）3-2； （2） 1 0 10 3 1 2、例 2 用小数表示下列各数： （1）10-4； （2）2.110-5. 解（1）10-40.0001. 4 10 1 （2）2.110-52.12.10.000010.000021. 5 10 1 五、练习： 练习：1 六、探 索 现在，我们已经引进了零指数幂和负整指数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数.那 么，在 13.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢？与同学们讨论并交流一下，判 断下列式子是否成立. （1）； （2）(ab)-3=a-3b-3； )3(232 aaa （3）(a-3)2=a(-3)2 (4) )3(232 aaa 七、小结： 1、引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立。 同底数幂的除法公式aman=am-n (a0,mn)， 当m = n时，aman = 当m 0 时,y 随 x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升； 2当 k0? 四、课堂练习 P45 页练习 l、2 五、小结：一次函数 ykxb 有哪些性质? 六、作业 P47 页习题 18.3 8、9(1) 板书设计： 一次函数的性质 1. 画出一次函数 y x1 的图象 3.练习及评讲 2 3 观察分析其图像的变化规律 2. 归纳总结一次函数的性质 4.小结与作业 第 11 课时 一次函数的性质(二) 教学目标： 1使学生理解待定系数法. 2. 能用待定系数法求一次函数的解析式 教学重难点 重点：能用待定系数法求一次函数解析式. 难点：理解待定系数法并能熟练应用. 教学流程: 一、问题情境导入 已知弹簧的长度 g(厘米)在一定的限度内是所挂重物质量 x(千克)的一次函 数现己 测得不挂重物时弹簧的长度是 6 厘米，挂 4 千克质量的重物时，弹簧的长度是 7.2 厘米求 这个一次函数的关系式 分析:已知 y 与 x 的函数关系式是一次函数，则关系式必是 ykxb 的形式所以要求 的就是系数 k 和 b 的值，而两个已知条件就是 x 和 y 的两组对应值，也就是当 x6 时, y6；当 x4 时,y7.2可以分别将它们代入函数式，进而求得 k 和 b 的值 提问： 1确定一次函数的表达式需要几个条件? 2确定正比例函数的表达式需要几个条件?举例说明。 待定系数法：先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数)，再根据条件列出方程式方 程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。 二、范例 31 已知一次函数 ykxb 的图象经过点(1，1)和点(1，5)，求当 x5 时，函数 y 的 值。 提问：1这里的已知条件是否给出了 x 和 y 的对应值? 2题意并没有要求写出函数关系式，解题中是否应该求出?该如何人手。 让学生认真思考以上问题并回答。 三、课堂练习：P46 页练习 l、2，阅读 P48 页内容。 四、小结：1什么叫做待定系数法? 2用待定系数法求正比例函数表达式需要几个条件? 3用待定系数法确定一次函数表达式需要几个条件? 五、作业 ：P47 页习题 183 8、9、10。 板书设计： 一次函数的性质 1. 导入之问题出示及讲评 3.例题讲解 2. 新授之用待定系数法求函数解析式 4. 练习评讲及小结 课后反思： 184 反比例函数 第 12 课时 反比例函数 教学目标 1经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力。 2理解反比例函数的概念，会列出实际问题的反比例函数关系式。 教学重难点 重点 反比例函数的含义及能结合实际问题列出关系式. 难点 理解反比例函数的概念及能结合实际问题熟练的列出反比例函数关系式. 教学流程: 一、复习 1什么是正比例函数? 2复习小学已学过的反比例关系，例如 (1)当路程 s 一定，时间 t 与速度 v 成反比例，即 vt=s(s 是常数) (2)当矩形面积一定时，长 a 和宽 b 成反比例，即 abs(s 是常数) 3创设问题情境 问题 1：小华的爸爸早晨骑自行车带小华到 15 千米外的镇上去赶集，回来时让小华乘 坐公共汽车，用的时间少了。假设自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找 出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系。 分析：和其他实际问题一样，要探索两个变量之间的关系，应先选用适当的符 号表示 变量，再根据题意列出相应的函数关系式。 设小华乘坐交通工具的速度是 v 千米时，从家里到镇上的时间是 t 小时，因为在匀 速运动中，时间路程速度，所以 t_(1) 问题 2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为 24 平方米的 矩形饲养场。设它的一边长为 x(米)，求另一边的长 y(米)与 x 的函数关系。 根据矩形面积可知 xy24 即 y_(2) 提问： 1.以上(1)和(2)这两个函数有什么共同点? 让学生观察、分析后回答：这两个函数都具有 y= (k 是常数)的形式)。 2.自变量的取值范围有什么限制? 二、反比例函数的意义 32 1.反比例函数定义：形如 y (k 是常数，k0)的函数叫做反比例函数。 k x 说明：反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例函数 y=kx，即 k，k 是 y x 常数，且 k0;反比例函数 y ，则 xyk，k 是常数，且 k0。可利用定义判断两个量 x k x 和 y 满足哪一种比例关系， 2，下列函数中，哪些是反比例函数(x 为自变量)?说出反比例函数的比例系数： y xy x5y 3 x 1 4 分析：函数 y (k 是常数，k0)叫做反比例函数。若一个函数可写成 y (k 是常 k x k x 数，k0)的形式，则它是反比例函数；若 y 与 x 成反比例，则 y 可以写成 y(k0，k 是 常数)，一个函数是否是反函数反比例函数，可以据此确定。 三、课堂练习 1P50 页练习 1。 2补充：当 m 为何值时，函数 y y是反比例函数，并求出其函数的解析式。 4 4 x x2 2m m2 2 四、小结： 形如 y (k 是常数，k0)的函数叫做反比例函数。在实际问题中，要探求两个变量之 k x 间的关系，应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式对反比例函 数概念的理解，可与正比例函数进行比较，从本质上加以区别。 五、作业 P52 页习题 18.4 第 1 题及补充作业 板书设计： 反比例函数 1.复习导入之问题出示及解答 3.例题 2.反比例函数的意义及解析式 4.练习评讲及小结 第 13 课时 反比例函数的图象和性质 教学目标： 1、使学生会画出反比例函数的图象。 2、经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质。 教学重难点 重点：反比例函数图像的画法及函数的性质。 难点：学生能结合反比例函数图像理解记忆其性质。 教学流程: 一、复习 1什么是反比例函数? 2反比例函数定义要注意什么? (1)常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；(2)自变量 x 次数是-1;x 与 y 之积为一非零常 数；(3)不含其他项。 二、提出问题，解决问题 问题 1：对于一次函数 ykxb(b0)，我们是如何研究的? 问题 2：对于反比例函数的研究，能否象一次函数那样进行研究呢? 问题 3：上节课我们已经学习了反比例函数的定义，接下去将要研究什么问题? 33 问题 4：:对于般的反比例函数 y= (k0，k 是常数)的图象的研究，采取什么方法 k x 为好? 例：画出函数 y= 的图象。 6 x 分析：画出函数图象一般分为列表，描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量 x0。 解:1 列表：这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出 x 与 y 的对 应值； 2描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各个点。 3连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图 象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到 图象的另一分支。这两个分支合起来，就是反比例函数的图象，如 图所示。这种图象通常称为双曲线。 提问:这两条曲线会与 x 轴、y 轴相交吗?为什么? 画出函数 y 的图象。 6 x 让学生动手画反比例的函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤；教师注意指导画函数 图象有困难的学生，并评析。 三函数性质 让学生结合上面图像讨论、交流以下问题； 1、这个函数的图象在哪两个象限?和函数 y 的图象有什么不同? 6 x 2、反比例函数 y 图象在哪两个象限?由什么确定? k x 3、联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中，随着自变量 x 的增加，函数 y 将怎样变化?有什么规律? 在充分讨论、交流后达成共识： (1)当 k0 时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就 是在每个象跟内 y 随 x 的增加而减小; (2)当 k2 时，函数值 y 始终大于零。 小结：在 x 轴上方的函数图象，任意一点的纵坐标都大于 0，反映在函数解析式上，就 是函数值大于 0，在 x 轴下方的函数图象，任意一点的纵坐标都小于 0，反映在函数解析上， 就是函数值小于 0。提问：当 x 取什么值时，函数值 y 始终小于零?当 x 取什么值时， 函数值 y 小于 3?当 x 取何值时，0y3? 二、想一想: 由上例，想想看，一元一次方程 x+30 的解，不等式 x+30 的解集与函数 y x+3 3 2 3 2 3 2 的图象有什么关系?说说你的想法，并和同学讨论交流 在学生讨论、交流和发表意见后，教师加以引导，最后归纳. 三、课堂练习：P55 页练习 l、2 四、小结： 本节课，通过作函数图象、观察函数图象，并从中初步体会一元一次不等式、一元一次 方程与一次函数的内在联系，使我们感受到不等式、方程、函数是紧密联系着的一个整体， 今后，我们还要继续学习并研究它们之间的内在联系。 五、作业 P57 页习题 18、5 3、4 板书设计: 实践与探索 1.复习 2 例题讲解 第 16 课时 实践与探索(三) 教学目标： 1、经历进行近似计算和修正建立函数关系式的过程，发展学生的估算能力。 2、能根据实际问题，求出近似的函数关系式，提高学生数学应用能力。 教学流程: 一、创设问题情境 为了研究某合金材料的体积 V(cm3)随温度 t()变化的规律，对一个用这种合金制成的 圆球测得相关数据如下： 能否据此求出 V 和 t 的函数关系? 二、分析问题，解决问题 分析：将这些数值所对应的点在坐标系中 作出(如何选取 y 轴长度单位?)我们发现，这 些点大致位于一条直线上，可知 V 和 t 近似地符合一次函数关系，我们可以用一条直线去尽 可能地与这些点相符合，求出近似的函数关系式。 如图所示的图象就是这样的直钱，较近似的点应该是(10，1000.3)和(60， 1002.3)， 请你动手试一试，求出函数关系式。 36 你也可以将直线稍稍挪动一下，不取这两点，换上更适当的点，请你自己试一试，再和 同学讨论、交流，并发表你的意见。 说明：1要求学生要选取更适当的两点，不是任意取两点。 2教师在学生动手、动脑的同时，要适时加以引导，并加以评析。 提问；17.3 阅读材料中，小明计算鞋子的尺码时所用的方法，和这一个问题是否相仿? (小明计算鞋子的尺码时所用的方法，和这个问题相仿) 三、课堂练习 ：P56 练习 1。 四、小结 现实生活中的数量关系是错综复杂的，在生产和科技研究等实践中得到一些变量的对应 值，有时很难精确地判断它们是什么函数，需要我们根据经验分析，也需要近似计算和修正， 建立比较接近的函数关系进行研究，以便解决实践中遇到的现实问题。 五、作业： P57 5、P6110、11。 板书设计: 实践与探索 1.复习 2 讲解例题: 课后反思： 回顾与思考 第 17 课时 回顾与思考(一) 教学目标: 1、通过复习，使学生进一步深刻理解函数的概念以及平面上的点与有序实数对成一一 对应关系。 2、熟练地列出函数关系式以及求函数的自变量的取值范围。 3、能看懂函数的图象，从图象上获取信息，培养学生灵活运用知识解决问题的能力。 教学流程: 一、知识回顾 1函数的概念 变量：变化过程中可以取不同数值的量。 常量：变化过程中保持不变的量。 函数：如果在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于工的每一个值，y 都有 惟一的 值和它对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，y 是 x 的函数。 2、如何求函数的自变量取值范围 考虑两个方面，其一是分母不等于 0，其二是开偶次方的被开方数为非负数，对于实际 问题，应根据具体情况而定。