数学考点预测及题型示例.doc

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B. C. D. 分析：依题意画出文氏图，显然A、B、C均正确答案：D。考点2 函数命题趋势预测： 与映射与反函数的概念有关的试题，仍将以选择题或填空题的形式出现，属于容易题，在复习时不宜作过高要求。 选择题中将有可能涉及到与函数的单调性、奇偶性、周期性、图形的对称性等有关的小综合性试题。 在函数与其他知识的交汇点处命题，仍将是2007年高考命题的亮点之一，如与不等式、导数、数列、解析几何等有关综合题将会以解答题压轴题的形式出现，属于难题，复习时应加大这方面的训练。 单纯函数方面的应用题将不再是高考命题的热点。因为新教材中的线性规划、概率与统计的问题已取代传统高考中的函数应用题，因此，在函数应用题的复习方面不应花过多时间，但要掌握函数模型建立的基本方法，尤其要掌握用均值不等式或导数解决的简单的函数实际应用题。题型示例：例2 设集合，则从A到A的映射中满足的映射的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4分析：映射：共有4种，其中满足条件的3种映射分别是：答案：C。 例3 定义在R上的函数满足，当时，则（ ）ABCD分析：本题考查函数的单调性、奇偶性、周期性，属小综合题，在选择题中为难题。设则，由题意知，易知在上是偶函数，并且单调增，在单调减。 ， 。答案：D考点3 平面向量命题趋势预测：向量在高中数学中是连接代数与几何的桥梁。把向量、向量法渗透和融合到其他知识中命题，将是2007年新课程高考数学命题的又一亮点。选择题或填空题将重点考查平面向量共线与垂直的充要条件以及数量积的有关运算。这里既包括向量形式的运算，也包括坐标形式的运算。解答题将与三角函数、不等式、解析几何等知识综合交汇，难度中等。题型示例：例4 已知平面上直线的方向向量，点O（0，0）和A（）在上的射影分别是和，则，其中（ ） A. B. C. 2 D. 分析：由向量在已知向量上射影定义知：。答案：D 例5 已知是非零向量且满足：，则a与b的夹角是（ ）A. B. C. D. 分析：本题考查向量的数量积的运算。由题可知 考点4 不等式命题趋势预测：选择题或填空题主要考查不等式的基本性质以及一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式以及简单的无理不等式的基本解法。若考查指数不等式或对数不等式，则侧重于考查指数函数与对数函数性质的应用。在解答题中，讨论含有字母参数的不等式、证明不等式将与导数、数列、数学归纳法综合在一起考查。题型示例：例6 若，则下列结论中不正确的是（ ）A. B. C. D. 分析：本题考查不等式的性质，由题可知，则、为正，由不等式的性质易知：。答案：D 例7 已知则不等式的解集是 。分析：本题考查用分类讨论的思想解不等式。 当时，即，原不等式等价于，则； 当时，即，原不等式等价于恒成立，。综上可得， 原不等式的解集为。考点5 三角函数命题趋势预测：三角函数在高考中占有一定的比例，但试题难度不大，几乎每年都要考一道大题和一道小题，选择题或填空题主要考查三角函数的基本性质及其应用。例如：三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性以及函数图象的变换。解答题主要考查三角函数的求值问题。求值常考题型：求三角函数式的值，求最值问题，求字母参数，求角的大小。高考中重点考查的公式仍是两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的应用。解题技巧侧重于角的变换。题型示例：例8 若，则（ ）A. B. C. D. 分析：， ， 即。答案：A 例9 在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且。（1）求角B的大小；（2）若，求a的值。解析：（1）由正弦定理得，得代入，即 A+B+C= sin（B+C）=sinA 又 角B为三角形的内角 （2）将代入余弦定理，得 或考点6 数列、极限、数学归纳法命题趋势预测： 选择题或填空题仍以考查等差数列、等比数列的基本性质以及数列极限的计算为主，同时，也考查数列通项公式的求法。解答题主要考查数列的综合应用为主，可能考到的题型有：等差数列和等比数列的综合题，数列、极限、数学归纳法的综合题，同时注重在数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等知识网络的交汇点命制试题，具有较强的考查思维能力的功能。 数列中与的关系一直是高考命题的亮点。要掌握在如下三种递推关系下，数列通项公式的求法。即，（）。构造等差或等比数列是解决此类问题的有效方法。 求和问题也是常见的试题。等差数列、等比数列以及可转化为等差、等比数列的求和问题应熟练掌握。另外，还应掌握一些特殊数列的求和方法，例如错位相减法、倒序相加法、裂项求和法。 数学归纳法的考查时隐时现，以考查用数学归纳法证明与正整数有关的不等式为主。题型示例：理例10 数列中，则=（ ）A. B. C. D. 分析：本题考查数列极限的求法，由题可知：， 。答案：C 例11 设正项等比数列的首项，前项和为，且。（1）求的通项；（2）求的前项和。思路分析：（1）巧妙使用已知条件和等比数列的性质。（2）把的前项和分成一个等差数列，一个等比数列，然后再求和。解：（1）由得即可得因为，所以解得，因而（2）因为是首项、公比的等比数列，故，则数列的前项和前两式相减，得 即点评：本题的关键在于求出公式，然后再求的通项公式，前项和。考点7 直线和圆的方程命题趋势预测： 关于直线的方程、直线的倾斜角、直线的斜率、两点间的距离公式、点到直线的距离公式，都属于基本要求，多以选择题或填空题的形式出现。 对称问题仍是2007年高考命题的亮点之一。要掌握两种基本对称：点关于点的对称，点关于直线的对称问题。把其他的对称问题转化为以上两种形式。 有关直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题目出现次数较多，此类题注重考查数形结合的思想。 线性规划属于新课程中的新增内容，由于应用性较强，在2007年的高考中将会有所涉及，但题目的难度不大，与课本中的题目相当，将会以选择题或填空题的形式出现。题型示例：例12 若过定点M（-1，0）且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（ ）ABCD分析：本题考查直线和圆的位置关系以及数形结合能力，圆：，圆心，r=3，当x=0时，有，则A（），则，所以，答案：A 例13 当满足不等式组时，目标函数k=3x-2y的最大值为 。分析：本题考查线性规则，目标函数k=3x-2y，可看作直线为该直线的截距。求k的最大值，即求的最小值，易知，当经过点（4，3）时截距最小，此时k最大。 k=6考点8 圆锥曲线方程命题趋势预测： 涉及圆锥曲线方程的试题，既有小综合也有大综合，小综合以选择题或填空题的形式出现，大综合以解答题压轴题的形式出现。 解析几何知识之间纵向联系的试题。此类题重点考查圆锥曲线的几何性质的综合应用，另外，此类题目，有时也以求轨迹的问题出现，题目中含有字母参数，需要依照字母参数的取值范围分类讨论，从而形成直线、圆、椭圆、双曲线或抛物线。 解析几何与其他知识之间横向联系的试题，即解析几何与三角函数、解析几何与平面向量、解析几何与数列等知识的综合题。此类题目以解析几何为主体，渗透了三角函数、平面向量、数列、不等式等知识。解答这类问题，首先要找准解题的突破口，便可迎刃而解。另外，平时要多做些这类综合性较大的试题。题型示例：例14 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。分析：解答本题第（2）问的关键是把用坐标表示，然后再结合韦达定理考虑。解答第（3）问的突破口是求出P或Q的坐标，然后代入。解：（1）由题意，可设椭圆的方程为由已知得，解得， 所求椭圆的方程为，离心率。（2）由（1）可得A（3，0）。设直线PQ的方程为。由方程组，得由题意得 设，则由直线PQ的方程有， 由得 所以直线PQ的方程为或（3），由已知得方程组 解得 ， 而 点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。考点9 直线、平面、简单几何体命题趋势预测：此部分内容每年高考，一般情况下都有23题。选择题或填空题主要考查线线、线面、面面位置关系的判定及其性质，重点考查平行与垂直。解答题一般有二至三问，题目一般先证明、后求解，通常是先证明平行或垂直问题，然后再求解有关角或距离的计算问题。解决此类问题，既可以用传统方法求解，也可以用向量的有关知识求解。由于近几年高考命题倾向于新教材的内容，因此，同一道立体几何综合题，利用空间向量求解比用传统方法求解相对较易，尤其是确定点的位置或探索性问题，利用空间向量的坐标形式求解更凸现其解法的优越法。常考的几何体有：长方体、正多面体、正三（四）棱锥、正三（四）棱柱以及球体。考点10 排列、组合、二项式定理命题趋势预测：每年高考都有12题与排列、组合、二项式定理有关的试题。从难易程度看，与二项式定理有关的试题相对较易，常以求展开式的某一项或某一项系数问题的形式出现，或求所有项、奇数项、偶数项系数和，或求其中的字母参数有关问题。排列、组合的应用题时难时易，且常考常新，有时与概率结合考查。常考题型有：数学问题，人或物的排列问题，选代表或选样品的问题，集合的子集个数问题，染色问题。有时也与平面几何或立体几何图形的性质结合考查。题型示例：例16 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目播入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）A. 504 B. 210 C. 336 D. 120分析：在排好的6个节目中，增加3个节目，不同的安排方法有：例17 若的展开式中的常数项为84，则n 。分析：本题考查二项式定理的应用。展开式中的第项为：，由， ，又。 n=9，r=6考点11 概率命题趋势预测：概率是新课程高考每年必考内容，每年12题，一道小题或一道大题，重点考查五种事件的概率，即随机事件的概率、等可能事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验恰好发生次的概率。求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求值；二是求此事件A的对立事件的概率，然后利用公式可得。为了将较复杂事件分解为若干彼此互斥事件或正确找出其对立事件，需准确理解题意，特别留心“至多”、“至少”、“不超过”、“不少于”等词语的含义。题型示例：例18 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为。（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率。分析：由于甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，因此可直接代入公式P（AB）=P（A）P（B）进行计算。理解清这一点是解决本题的关键。对于本题第（2）问的解答可通过对立事件求解。解：（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件。由题设条件有 即由、得，代入得解得或（舍）将分别代入，可得，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，。（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为。点评：本题主要考查独立事件以及对立事件的概率计算问题，同时侧重考查用方程的思想解决概率问题。考点12 概率与统计命题趋势预测：这部分内容，由于它的应用性较强，取代了传统高考中的函数应用题。每年高考必有一道小题或一道大题。由于文、理科在此内容要求不同，高考所考查的重点也不同，文科重点考查概率的计算及三种抽样方法的识别，理科重点考查离散型随机变量的分布列及其期望和方差的应用。这部分高考试题，难度与课本题相当。因此，对于这部分内容的复习，要切实做好课本中的题目，尤其是总复习参考题。题型示例：例19 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直到取得正品为止所需次数的概率分布：（1）每次取出的产品不再放回去；（2）每次取出的产品仍放回去；（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中。解析：（1）由于总共有3件次品，7件正品，所以的可能的取值为1，2，3，4，而其相应的概率为： 的概率分布为1234P（2）由于每次取出的产品仍放回去，下次取时产品总数不变，所以的可能取值是1，2，k，相应的取值概率是 所以的概率分布为123P（3）与情况（1）类似，的可能取值是1，2，3，4，而其相应概率为 所以的分布列为1234P点评：解答本题要注意“产品放回”与“产品不放回”的区别。例20 设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：（1）的概率分布列及；（2）停车时最多已通过3个路口的概率。分析：解答本题的关键是准确理解随机变量的含义。由于表示停车时已经通过的路口数，因此的所有可能取值为0，1，2，3，4。当=0时表示第一个路口就遇到红灯；当=1时表示第一个路口遇到绿灯，第二个路口遇到红灯；当=2表示第一、二两个路口都遇到绿灯，第三个路口遇到红灯，依次类推。解析：（1）的所有可能值为0，1，2，3，4。用表示“汽车通过第个路时不停（遇绿灯）”，则，且独立。故 的分布列为01234P （2） 停车时最多已通过3个路口的概率为。点评：本题主要考查相互独立事件、对立事件以及随机变量的分布列、数学期望等概念。考点13 导数及其应用命题趋势预测：导数由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。高考在此部分有可能考到题型为： 复合函数的求导问题以及导数几何意义的应用，即求与曲线切线的倾斜角、斜率有关的问题。 应用导数求函数的单