数学分析讲义论文.doc

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袃膂薂蒅袂芄莅螄羁羄薁蚀羀肆莃薆羀腿蕿薂罿莁蒂袀羈肁芅螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄肅肇芁螃肄腿蒇虿肃莂艿蚅肂肁薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈螅膀莄蒄螄芃薀螂螃羂莃螈螂膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿芄衿螀聿葿螅蝿膁节蚁袈芃蒈薇袇羃芀蒃袆肅蒆袁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂蒅袂芄莅螄羁羄薁蚀羀肆莃薆羀腿蕿薂罿莁蒂袀羈肁芅螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄肅肇芁螃肄腿蒇虿肃莂艿蚅肂肁薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈螅膀莄蒄螄芃薀螂螃羂莃螈螂膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿芄衿螀聿葿螅蝿膁节蚁袈芃蒈薇袇羃芀蒃袆肅蒆袁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂蒅袂芄莅螄羁羄薁蚀羀肆莃薆羀腿蕿薂罿莁蒂袀羈肁芅螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄肅肇芁螃肄腿蒇虿肃莂艿蚅肂肁薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈螅膀莄蒄螄芃薀螂螃羂莃螈螂膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿芄衿螀聿葿螅蝿膁节蚁袈芃蒈薇袇羃芀蒃袆肅蒆袁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂蒅袂芄莅螄羁羄薁蚀羀肆莃薆羀腿蕿薂罿莁蒂袀羈肁芅螆羇膃蒀袃膂薂蒅袂芄莅螄羁羄薁蚀羀肆莃薆羀腿蕿薂罿莁蒂袀羈肁芅螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄肅肇芁螃肄腿蒇虿肃莂艿蚅肂肁薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈螅膀莄蒄螄芃薀螂螃羂莃螈螂膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿芄衿螀聿葿螅蝿膁节蚁袈芃蒈薇袇羃芀蒃袆肅蒆袁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂蒅袂芄莅螄羁羄薁蚀羀肆莃薆羀腿蕿薂罿莁蒂袀羈肁芅螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄肅肇芁螃肄腿蒇虿肃莂艿蚅肂肁薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈螅膀莄蒄螄芃薀螂螃羂莃螈螂膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿芄衿螀聿葿螅蝿膁节蚁袈芃蒈薇袇羃芀蒃袆肅蒆袁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂蒅袂芄莅螄羁羄薁蚀羀肆莃薆羀腿蕿薂罿莁蒂袀羈肁芅螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄肅肇芁螃肄腿蒇虿肃莂艿蚅肂肁薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈螅膀莄蒄螄芃薀螂螃羂莃螈螂膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿芄衿螀聿葿螅蝿膁节蚁袈芃蒈薇袇羃芀蒃袆肅蒆袁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂蒅袂芄莅螄羁羄薁蚀羀肆莃薆羀腿蕿薂罿莁蒂袀羈肁芅螆羇膃蒀 蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄肅肇芁螃肄腿蒇虿肃莂艿蚅肂肁薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈螅膀莄蒄螄芃薀螂螃羂莃螈螂膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿芄衿螀聿葿螅蝿膁节蚁袈芃蒈薇袇羃芀蒃袆肅蒆袁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂蒅袂芄莅螄羁羄薁蚀羀肆莃薆羀腿蕿薂罿莁蒂袀羈肁芅螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄肅肇芁螃肄腿蒇虿肃莂艿蚅肂肁薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈螅膀莄蒄螄芃薀螂螃羂莃螈螂膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿芄衿螀聿葿螅蝿膁节蚁袈芃蒈薇袇羃芀蒃袆肅蒆袁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂蒅袂芄莅螄羁羄薁蚀羀肆莃薆羀腿蕿薂罿莁蒂袀羈肁芅螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄肅肇芁螃肄腿蒇虿肃莂艿蚅肂肁薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈螅膀莄蒄螄芃薀螂螃羂莃螈螂膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿芄衿螀聿葿螅蝿膁节蚁袈芃蒈薇袇羃芀蒃袆肅蒆袁袆芈艿螇袅蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄肅肇芁螃肄腿蒇虿肃莂艿蚅肂肁薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈螅膀莄蒄螄芃薀螂螃羂莃螈螂膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿芄衿螀聿葿螅蝿膁节蚁袈芃蒈薇袇羃芀蒃袆肅蒆袁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂蒅袂芄莅螄羁羄薁蚀羀肆莃薆羀腿蕿薂罿莁蒂袀羈肁芅螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄肅肇芁螃肄腿蒇虿肃莂艿蚅肂肁薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈螅膀莄蒄螄芃薀螂螃羂莃螈螂膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿芄衿螀聿葿螅蝿膁节蚁袈芃蒈薇袇羃芀蒃袆肅蒆袁袆芈艿螇袅莀薄蚃袄肀莇蕿袃膂薂蒅袂芄莅螄羁羄薁蚀羀肆莃薆羀腿蕿薂罿莁蒂袀羈肁芅螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄肅肇芁螃肄腿蒇虿肃莂艿蚅肂肁薅薁肁膄莈袀肀芆薃螆聿莈莆蚂聿肈薂薈螅膀莄蒄螄芃薀螂螃羂莃螈螂膅蚈蚄螂芇蒁薀螁荿芄衿螀聿葿螅蝿膁节蚁袈芃蒈薇袇羃芀蒃袆肅蒆袁袆芈艿螇袅 关于极限及其求法的探讨关于极限及其求法的探讨 一一 、极限的定义及性质极限的定义及性质 （一）（一） 、函数的极限、函数的极限 1. 时函数时函数 f(x) 的极限的极限 定义定义 1 设函数 f(x) 在的某一空心邻域内有定义，如果 当自变量 x 在内无限接近于时，相应的函数值无限接近 于常数 A ，则 A 为 时函数 f(x) 的极限，记作或 图 1图 2 由定义可见， 2 时函数时函数 f(x) 的极限的极限 定义定义 2 设函数 f(x) 在的右半邻域内有定义，当自变 量 x 在此半邻域内无限接近于时，相应的函数值 f(x) 无限接近于 常数 A，则称 A 为函数 f(x) 在处的右极限，记为或 或. 3. 时函数时函数 f(x) 的极限的极限 定义定义 3 设函数 f(x) 在的左半邻域内有定义，当自变 量 x 在此半邻域内无限接近于时，相应的函数值 f(x) 无限接近于 常数 A，则称 A 为函数 f(x) 在处的左极限，记为或 或. 定理定理 1 的充要条件是 4. 时函数时函数 f(x) 的极限的极限 定义定义 4 设函数 f(x) 在 | x |a 时有定义( a 为某个正实数)，如果 当自变量 x 的绝对值无限增大时，相应的函数值无限接近于常数 A ，则称 A 为时函数 f(x) 的极限，记为 或 . 由图 3 可知： 图 3 5. 时函数时函数 f(x) 的极限的极限 定义定义 5 设函数 f(x) 在 内有定义( a 为某个实数)，当自变 量 x 无限增大时，相应的函数值 f(x) 无限接近于常数 A，则称 A 为时函数 f(x) 的极限，记为或 由图 4 可知， 图 4 6 时函数时函数 f(x)的极限的极限 定义定义 6 设函数 f(x) 在 内有定义( a 为某个实数)，当自变 量无限变小(或 -x 无限变大)时，相应的函数值 f(x) 无限接近于常 数 A，则 A 称为时函数 f(x) 的极限，记 或 由图 4 可知： 不难证明，函数 f(x) 在时的极限与在 ，时 的极限有如下关系： 定理定理 2 的充要条件是. （二）（二） 、数列的极限、数列的极限 1 数列的概念数列的概念 自变量为正整数的函数 ，其函数值按自变量 n 由小到大排列成一列数 称为数列，将其简记为，其中为数列的通项或一般项 例如，相应的数列为 由于一个数列完全由其一般项所确定，故经常把数列 简称为数列 2 数列的极限数列的极限 定义定义 7 对于数列，如果当 n 无限增大时，通项无限接近于 某个确定的常数 A ，则称 A 为数列的极限，或称数列收敛 于 A，记为或 若数列没有极限，则称 该数列发散 定理定理 3 (单调有界原理) 单调有界数列必有极限 从几何图形上看，它的正确性是显而易见的由于数列是单调 的，因此它的各项所表示的点(图 5)在数轴上朝着一个方向移动，这 种移动只有两种可能，一种是沿数轴无限远移，另一种是无限接近 于一个定点 A，而又不可超越 A ，终于密集在 A 的附近但前一种 是不可能的，因为数列有界，所以只能为后者 换句话说，A 就是 数列的极限 (a)数列单调递增且有上界 A(b)数列单调递减且有下界 A 图 5 （三）（三） 、极限的性质、极限的性质 当时函数极限的性质： 性质性质 1 (惟一性) 若 ， ，则 A=B 性质性质 2 (有界性) 若 ，则存在的某一空心邻域 ，在 内函数 f(x) 有界 性质性质 3 (保号性) 若 且 A0 (或 A0 (或 f(x)M 成立，则称 f(x) 为时的无穷大量，简称无穷大，记为 二二 、极限的运算、极限的运算 （一）（一） 、 极限运算法则极限运算法则 设 x 在同一变化过程中（此处省略了自变量 x 的变化趋势， 下同）及都存在，则有下列运算法则： 法则法则 1 . 法则法则 2 . 法则法则 3 . （二）（二） 、两个重要极限、两个重要极限 1. 我们来证明上述重要极限： 作单位圆如图 6 所示， 图 6 取,于是有： . 由图得,即 除以 sin x ,有. 上述不等式是当时得到的,但因当用 x 代换x 时 都不变号,所以 x 为负时,关系式也成立. 因为,又 ,由极限的夹逼准则知介于它们之间的 函数当时,极限也是 1. 这样就证明了 . 注意,这个重要极限是型的,为了强调其形式,我们把它形象地写 成 (方框代表同一变量). 2. 列出的数值表(表 1)来,以观察其变化趋势. 表表 1 x12345101001000 10000 22.250 2.370 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718 从表 1 可看出,当 x 无限增大时,函数变化的大致趋势,可以 证明当 时, 的极限确实存在,并且是一个无理数,其值为 ,即 为了准确地用好这个极限,我们指出,它也有两个特征,一是它属于 型的极限；二是它可形象地表示为 (方框代表同一变量). （三）（三） 、 无穷小的比较无穷小的比较 定义定义 设某一极限过程中,与都是无穷小,且 （C 为常数） (1)若 C0，则称是比高阶的无穷小，记成(此时，也 称是比低阶的无穷小) (2)若，则称与是同阶无穷小，特别地，若 C1，则称 与是等价无穷小，记为 定理：定理： 证：证： 注意：等价代换是对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的 因式进行替换） ，而对分子或分母中“，“-“号连接的各部分不能 分别作替换. 例如,上例中,若 tan x 与 sin x 分别用其等价无穷小 x 替换,则有 这样就错了. 下面是常用的几个等价无穷小代换,要记熟. 当时,有 三、极限的求法三、极限的求法 1. 直接代入法直接代入法 适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为 例 1. 求 . 分析 由于 , 所以采用直接代入法. 解 原式= 2利用极限的四则运算法则来求极限利用极限的四则运算法则来求极限 为叙述方便，我们把自变量的某个变化过程略去不写，用记号 )(limxf 表示 )(xf 在某个极限过程中的极限，因此极限的四则运算法 则可确切地叙述如下： 定理 在同一变化过程中，设 )(lim),(limxgxf 都存在，则 （1） )()(limxgxf)(lim)(limxgxf （2） )()(limxgxf)(lim)(limxgxf （3）当分母 )(limxg 0 时，有 )(lim )(lim )( )( lim xg xf xg xf 总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、 差、积、商。 例 2.求1 1 lim 2 x x x 。 解1 1 lim 2 x x x ) 1(lim ) 1(lim 2 2 x x x x 3 1 3无穷小量分出法无穷小量分出法 适用于分子、分母同时趋于 ,即 型未定式 例 3 分析 所给函数中，分子、分母当 时的极限都不存在， 所以不能直接应用法则.注意到当 时，分子、分母同时趋于 ，首先将函数进行初等变形，即分子、分母同除 的最高次幂， 可将无穷小量分出来，然后再根据运算法则即可求出极限. 为什么所给函数中,当 时，分子、分母同时趋于 呢?以 当 说明：因为 ,但是 趋 于 的速度要比 趋于 的速度快，所以 . 不要认为 仍是 (因为 有正负之分). 解 原式 (分子、分母同除 ) （运算法则） （当 时， 都趋 于 .无穷大的倒数是无穷 小.） 4. 消去零因子法消去零因子法 适用于分子、分母的极限同时为 0,即 型未定式 例 4 分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是 0,不能直接使 用法则四,故采用消去零因子法. 解 原式= (因式分解) = (约分消去零因子 ) = (应用法则) = 5. 利用无穷小量的性质利用无穷小量的性质 例 5 求极限 分析 因为 不存在,不能直接使用运算法则, 故必须先 将函数进行恒等变形. 解 原式= (恒等变形) 因为 当 时, , 即 是当 时的无穷小,而 1, 即 是有界函数,由无穷小的性质：有界函数乘无穷 小仍是无穷小, 得 =0. 6. 利用拆项法技巧利用拆项法技巧 例6： ) ) 12)(12( 1 5 . 3 1 3 . 1 1 ( lim nn n 分析：由于 ) ) 12)(12( 1 nn = ) 12 1 12( 1 ( 2 1 nn 原式=2 1 ) 12 1 1 ( 2 1 ) 12 1 12 1 () 5 1 3 1 () 3 1 1( 2 1 lim lim nnn n n 7.7. 变量替换变量替换 例 7 求极限 . 分析 当 时,分子、分母都趋于 ,不能直接应用法则, 注意到 ,故可作变量替换. 解 原式 = = (令 ,引进新的变量,将原来的关 于 的极限转化为 的极限.) = . ( 型,最高次幂在分母上) 8.8. 分段函数的极限分段函数的极限 例 8 设 讨论 在点 处的极限是否存 在. 分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否 存在,必须从极限存在的充要条件入手. 解 因为 所以 不存在. 注 1 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 . 注 2 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 . 肄芈莇蚈螃肁芃蚇羆芆艿