恒成立，能成立，恰成立问题区别.doc

恒成立，能成立，恰成立问题探讨江西省崇仁县第一中学（344200）饶长根恒成立，能成立，恰成立问题是高中数学三个重点，难点，特别是三者的区别与联系更是许多考生难点！笔者在高三教学平时模拟考试中有一道这样的题：已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围。约有70%是这样解答的：（1） 从而的最小正周期为（2）当时，从而，所以，由题意只需，得错解分析：（2）中只要存在即可，而不是恒成立，只需，故答案为 本来这是一道比较容易的题目，但是很多同学没有注意到这是道能成立问题（存在性问题），这说明很多同学对这类问题的区别意识不强或者不知道它们的区别，本文就来通过几道例题来探讨它们的区别与联系。题1已知函数在与时都取得极值。（1）若时，恒成立，求实数的取值范围；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围。解：由题知的两根为和1，由韦达定理有： 于是，所以当时，； 当时，； 当时，所以当时，有极大值， 又， ， 所以时，的最大值是，最小值是（1）当时，恒成立，所以，解得或（2）存在，使成立，则只要的最小值小于，即，得小结： （1）恒成立问题的原理：设函数的定义域为区间若对恒成立或若对恒成立或常见处理方法：根据恒成立问题的原理，具体题目的方法有：可化为一次函数法，可化为二次函数法，分离常数法（转化成求最值问题），数形结合法等。（2）能成立问题的原理：设函数的定义域为区间若存在，使得对成立或若存在，使得对成立或常见处理方法：能成立即存在性问题，根据能成立问题的原理，通常进行转化为求最值问题（3）当题中出现“恒成立”，“对任意都有”等字样，可考虑利用恒成立问题来处理，当题中出现“存在成立”，“存在一个满足”等字样，可考虑利用存在性问题来处理，而且要注意它们有要本性的区别。题2已知函数，对任意（1）恒成立，求实数的取值范围内；（2）的值域是，求实数的取值范围。解：（1）显然是一个恒成立问题，由于，恒成立，又等价于时，的最小值大于等于0恒成立。 由于，即，所以从而的取值范围是（2）由分析是一个恰成立问题，即当时，的值域恰为，与（1）中不同的是，（1）问是在时，恒成立，因此允许时，的取值范围是，等等，即子集关系，而的值域是，则时，的取值恰好是。，当时，由于，则，这与的值域是矛盾，所以不能有当时，函数，在上的增函数，于是在上是最小值是，令，得变式：（1）已知函数的定义域是，求实数的取值范围思维误区：由题意可知，当时，都有成立，即，且，解得正确解法：由题意，问题可等价转化为不等式的解集为，记，作图形与，如图，只须过点，即，且，解得（2）.设函数，若函数的定义域为，求实数的取值范围解：由题意，不等式的解集是，设则即的解为，是方程的一根， （3）恰成立问题的原理：设函数的定义域为区间若不等式（）在区间恰成立（）的解集为常见处理方法：关键是审清题意，弄清楚是不是恰成立的问题，然后根据原理处理。 （2）对于（2）问应认真分析发现是恰成立问题，很具有隐蔽性，这个与我们以前讲过的在为增函数，与的单调区间为有明显的区别，前可看着恒成立问题（恒成立），后者可看着恰成立问题（的两根为）。（3）对于恰成立问题还可以这样来理解：若，在上恰成立，等价于在上最小值；在上恰成立，等价于在上最大值对于恰成立问题很多学生不是很熟，下面再举一个例子加强理解。题3（1）已知，不等式的解集是，则满足的关系是（ ）A BC D 的大小的关系不能确定解：（1），即的解集为，从而，的两根分别为0，（恰成立），可得答案C（2）已知 其中为实数，是任意整数，且，如当时有意义，求的取值范围。解：， 即(*)，因为在上都是增函数，所以在上也是增函数，所以，因此，（*）式等价于，即的取值范围是。小结：这两问都是可以看着是恰成立问题，具有一定的隐蔽性，学生应在平时做题中发现、总结。总之，恒成立，能成立，恰成立问题在解题时首先要弄清楚是哪种类型，关键要从题中意思来判断，这就要求学生在平时学习中要善于发现