圆的标准方程课堂实录教案.doc

圆的标准方程课堂实录（一）复习旧知师：前面我们学习了方程的曲线和曲线的方程，同学们还记得求曲线方程的方法吗？生：（沉默片刻，齐答）记得师：哪几步？生：建系、设点师：设哪个点？生：曲线上的任意一点师：好！第三步（示意学生继续回答）生：找等量关系师：第四步（话音刚落）生：列式、化简师：所得方程就是该曲线的方程。（强调）坐标系是求曲线方程的基本工具。师：（紧接着问）初中我们就学过了圆，圆是如何定义的？生回忆中师用手比划画圆的动作提示生：（答）到定点的距离等于定长的点的轨迹师：（补充）或点的集合师 ：第三个问题：两点间的距离公式又是怎样的？生：P1P2=(x1-x2)2+(y1-y2)2师在学生回答的同时写出公式。师：这些都是我们前面学过的知识，下面请同学们看一下我手里的这个模型。（二）引入新课师拿出一个类似圆拱型的桥洞模型和一个代替卡车的盒子，做卡车穿过圆拱的示范。师：卡车上装有较高的货物，那么，卡车能穿过吗？与那些因素有关？生：卡车的高和圆拱的高师：卡车的货物可以临时调整，但拱桥是事先修建好的，所以最重要的是了解圆拱的高。圆拱的高既是圆的（等待学生的回答）生：圆的直径。师：那么本节课我们就来研究圆的方程（板书课题）（这里创设的情境与本节课的直接系不是很大！未能体现出为什么要学习园的方程的必要性）（三）探求圆的标准方程1、让学生直观感知决定圆的要素师 ：请同学们拿出草稿本，画上直角坐标系，取1厘米为单位长度。然后，在你的坐标系中随心所欲的画上一个圆。（师巡视学生画圆的情况）师：同学们相互看一下，你们画的圆一样吗？生：不一样师：（疑惑地）为什么会不一样呢？生：（个别学生）因为人不一样 师：（微笑地）对呀，人不同画的圆就有不同，有的在左边，有的在右边，有的在上面，有的在下面，还有的在中间，在坐标轴上，有的大，有的小，等等（语速较快）。导致这些情况的根本原因是什么呢？生：圆心和半径师：（高兴地）非常好！圆心定位置，半径定大小 请同学们再画一个以（2，3）为圆心，2为半径的圆。师待学生画好后师：看一下，这次你们画出的圆一样吗？生：一样师：因为生：圆心和半径都确定了2、推导圆的标准方程师：由曲线的方程和方程的曲线的概念我们应该知道，既然这个圆已经确定了，那么，它的方程也是确定的，这个方程是什么呢？请大家马上求该园的方程。学生独自找探究求该圆的方程，师巡视了解学生情况。待学生完成，请学生作答学生甲：（x-2）2+(y-3)2=4师（追问）：怎么得到的？生口答推导过程，师将其板书在黑板上，并强调P(x，y)是圆上的任意一动点，用到了求曲线方程的基本步骤。师：上面是特殊情况，若我将圆心（2，3）改为（a，b），半径2改为r，此时的方程又是什么呢？生：（x-a）2+（y-b）2=r2师：该方程就称为圆的标准方程。大家看一下这个方程有什么特征，能帮助我们理解和记忆？生思考生1：左边是平方和，右边是r的平方。有点像勾股定理。生2：a，b是圆心的纵横坐标，r是圆的半径。生3：x ，y是变量，a、b、r是常数。师：大家观察的仔细，圆的方程确实有点相勾股定理的形式，但它并不是勾股定理。它的实质是两点间的距离公式。大家要明确方程中各个字母的含义。可根据圆的定义和推导的方法来记忆，现在大家闭上眼睛默记一下它的形式与特征。3、即学即练，熟悉圆的标准方程。师：已知圆的标准方程，我们就能够找出圆心和半径。请同学们马上完成练习1。学生练习，师巡视，待学生完成，抽学生作答。针对学生回答情况，师作强调和补充。师：已知圆的标准方程，能够找出圆心和半径；反之，我们能否写出圆的标准方程呢？学生练习2学生自评练习2，师强调，求圆方程的关键是找圆心和半径。4、层层深入，例题分析师：接下来我们再看一下如何根据已知条件求圆的标准方程。给出例1。例1：写出圆心在点（1，3），且与x轴相切的圆的方程 。请同学们先思考，并在草稿本上演算。片刻后，发现有的学生无从下手师提示：关键是找什么？生：半径师：大家在做题时别忘了作个图，利用图形帮助你分析生马上作出图形找到了半径，问题解决。师：这里我们利用图形帮我们很快找出了解题的思路，这就是我们经常要用到的一种重要的数学思想方法数形结合的思想。师：看图，若该圆与y轴相切，半径是多少？生：1师：OK!你看，圆要么与x轴相切，要么与y轴相切，都很特殊，如果是与任意的一条直线相切呢？出示变式题：变式：求以C（1，3）为圆心，和3x-4y-7=0相切的圆的方程。学生完成例1的变式题生：点到直线的距离即为圆的半径，所以圆的标准方程为（x-1）2+（y-3）2=（16/5）2 师：很好，那么根据圆心和切线，我们可以求出圆的标准方程，反过来，已知圆的方程，我能否求出切线的方程呢？比如下面的例2。例2、已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（3,4）的切线方程请大家先独立思考，找出思路，再和其他同学讨论一下，看谁找出的方法最多。学生思考讨论中，师巡视。师：很多同学都已经完成了，好，我们一起来分享大家的解法。（学生举手）生甲：可求直线OM的斜率，进而找到切线的斜率，再借助点斜式写出切线的方程。（师根据学生回答在黑板上板书过程）师：好的，不错。还有没有其它的解法？学生乙：设切线的斜率为K，写出切线方程，在用点到直线的距离等于半径列等量关系，求出K的值。师：这种方法称为生：待定系数法师：这也是我们经常用到的一种数学方法，还有没有其它方法？学生丙：还可以用向量师：向量怎么解？学生丙：切线上任取一点P（x,y），就有OMMP=0师：哦，所得方程就是切线方程，这种解法再次体现了我们求曲线方程的几个基本步骤。还有没有其它解法？生迟疑师在黑板上比划直角三角形。生：还可以用勾股定理建立等量关系师：前两法我们是待定系数求K，后两法主要依据求曲线方程的方法。对于前两法我们求K，是因为K存在，如果K不存在呢？你还求得出K吗？比如：将点M（3，4）变为点M（5，0），此时切线方程又是多少？学生作出图形，马上口答生：切线方程是x=5师：如M为（0，-5）呢？生：y=-5师：此时还需要求斜率K吗？生：不需要师：说明点M的位置很重要。好，我们现在将以上特殊情况推广到一般情况，即变式练习2，请同学们完成。变式练习：变式1 ：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（5,0）的切线方程。变式2 ：已知圆的方程是x2+y2= r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程。变式3 ：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（1,7）的切线方程。变式4 ：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（x0,y0）的切线方程学生思考变式练习2，师了解学生情况，给个别学生答疑。（大部分学生完成）师：找到切线方程没有？生：找到了师：是多少生丁：要分类，看斜率是否存在，斜率存在时就和例1一样，斜率不存在时就直接写出切线方程师：非常好！这里我们用到了分类讨论的思想，而分类的依据是因为点M的位置不确定，所以要看点M是否在坐标轴上。现在大家回顾整理一下本题的解题思路（给学生留片刻时间整理本题思路）师：我们刚才的点都是在圆上的，如果点M在圆外呢？这时，切线的方程又该怎样来找呢？请同学们下来思考例2的变式3和变式4，下节课我们再来解决这个问题。师：好，请同学们