高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数i2_8函数与方程课件文北师大版

2.8 函数与方程,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,(1)函数零点的定义 函数yf(x)的图像与横轴的交点的 称为这个函数的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与 有交点函数yf(x)有 . (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间 内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解.,1.函数的零点,知识梳理,横坐标,x轴,零点,(a，b),对于在区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫作二分法.,2.二分法,f(a)f(b)0,一分为二,零点,3.二次函数yax2bxc (a0)的图像与零点的关系,(x1,0)，(x2,0),(x1,0),2,1,0,1.有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 2.三个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.( ) (2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)f(b)0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( ) (4)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点.( ) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点.( ),1.(教材改编)函数 的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,考点自测,答案,解析,f(x)是增函数，又f(0)1，f(1) ，,f(0)f(1)0，f(x)有且只有一个零点.,2.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A.ycos x B.ysin x C.yln x D.yx21,答案,解析,由于ysin x是奇函数； yln x是非奇非偶函数； yx21是偶函数但没有零点； 只有ycos x是偶函数又有零点.,3.(2016长春检测)函数f(x) ln xx 2的零点所在的区间是 A.( ，1) B.(1,2) C.(2，e) D.(e,3),答案,解析,所以f(2)f(e)0，,4.函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为_.,答案,解析,2,由上图知两函数图像有2个交点， 故函数f(x)有2个零点.,5.函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值 范围是_.,答案,解析,函数f(x)的图像为直线，由题意可得f(1)f(1)0，,题型分类 深度剖析,题型一 函数零点的确定,命题点1 确定函数零点所在区间 例1 (1)(2016长沙调研)已知函数f(x)ln x 的零点为x0，则x0所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),答案,解析,x0(2,3)，故选C.,(2)(2016济南模拟)设函数yx3与y( )x2的图像的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_.,答案,解析,(1,2),易知f(x)为增函数，且f(1)0， x0所在的区间是(1,2).,命题点2 函数零点个数的判断,答案,解析,例2 (1)函数f(x) 的零点个数是_.,2,当x0时，令x220，解得x (正根舍去)，,所以在(，0上有一个零点；,当x0时，f(x)2 0恒成立，,所以f(x)在(0，)上是增函数. 又因为f(2)2ln 20， 所以f(x)在(0，)上有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2.,(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是 A.多于4 B.4 C.3 D.2,答案,解析,由题意知，f(x)是周期为2的偶函数. 在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图像， 如图， 观察图像可以发现它们有4个交点， 即函数yf(x)log3|x|有4个零点.,思维升华,(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法. (2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图像的交点个数.,跟踪训练1 (1)已知函数f(x) log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4，),答案,解析,因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).,(2)函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7,答案,解析,由f(x)xcos x20，得x0或cos x20. 又x0,4，所以x20,16.,由于cos( k)0(kZ)，,而在 k(kZ)的所有取值中，,故零点个数为156.,题型二 函数零点的应用,例3 (1)函数f(x)2x a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是 A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2),答案,解析,因为函数f(x)2x a在区间(1,2)上单调递增，,又函数f(x)2x a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，,所以(a)(41a)0，即a(a3)0.所以0a3.,(2)已知函数f(x)|x23x|，xR，若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,(0,1)(9，),设y1f(x)|x23x|，y2a|x1|， 在同一直角坐标系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的图像如图所示. 由图可知f(x)a|x1|0有4个互异的实数根等价于y1|x23x|与y2a|x1|的图像有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，,消去y得x2(3a)xa0有两个不等实根， 所以(3a)24a0，即a210a90， 解得a9.又由图像得a0，09.,几何画板展示,引申探究,本例(2)中，若f(x)a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是_.,答案,解析,作出y1|x23x|，y2a的图像如图：,当x0或x3时，y10，,思维升华,已知函数零点情况求参数的步骤及方法 (1)步骤：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；解不等式(组)，即得参数的取值范围. (2)方法：常利用数形结合法.,跟踪训练2 (1)(2016枣庄模拟)已知函数f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为_.,答案,解析,(2,0),ax2x在(0,1)上有解，,函数yx2x，x(0,1)的值域为(0,2)， 0a2，2a0.,(2)(2015湖南)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.,答案,解析,(0,2),由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b. 在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图像，如图所示.,则当0b2时，两函数图像有两个交点， 从而函数f(x)|2x2|b有两个零点.,几何画板展示,题型三 二次函数的零点问题,例4 已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.,解答,方法一 设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)， 则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10， 由根与系数的关系，得(a2)(a21)10， 即a2a20，2a1. 方法二 函数图像大致如图，则有f(1)0， 即1(a21)a20，2a1. 故实数a的取值范围是(2,1).,思维升华,解决与二次函数有关的零点问题： (1)利用一元二次方程的求根公式； (2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系； (3)利用二次函数的图像列不等式组.,跟踪训练3 (2016临沂一模)若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两 个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_.,答案,解析,典例 (1)若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_. (2)若关于x的方程22x2xaa10有实根，则实数a的取值范围为_.,(1，),利用转化思想求解函数零点问题,思想与方法系列4,答案,解析,思想方法指导,(1)函数零点个数可转化为两个函数图像的交点个数，利用数形结合求解参数范围. (2)“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域解决.,几何画板展示,(1)函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，即方程axxa0有两个根， 即函数yax与函数yxa的图像有两个交点. 当0a1时，图像如图所示，此时只有一个交点.,当a1时，图像如图所示，此时有两个交点. 实数a的取值范围为(1，).,课时作业,1.设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,f(1)ln 11210， f(1)f(2)0， 函数f(x)ln xx2的图像是连续的， f(x)的零点所在的区间是(1,2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016潍坊模拟)已知函数 则函数f(x)的零点为,答案,解析,当x1时，由f(x)2x10，解得x0；,又因为x1，所以此时方程无解. 综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.已知三个函数f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零点依次为a，b，c，则 A.abc B.acb C.bac D.cab,答案,解析,故f(x)2xx的零点a(1,0). g(2)0，g(x)的零点b2.,方法二 由f(x)0，得2xx； 由h(x)0，得log2xx，作出函数y2x， ylog2x和yx的图像(如图). 由图像易知a0,0c1，而b2，故acb.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.方程|x22x|a21(a0)的解的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,(数形结合法) a0，a211. 而y|x22x|的图像如图， y|x22x|的图像与ya21的图像总有两个交点.,5.已知函数 则使方程xf(x)m有解的实数m的取值范围是 A.(1,2) B.(，2 C.(，1)(2，) D.(，12，),答案,解析,当x0时，xf(x)m，即x1m，解得m1；,当x0时，xf(x)m，即x m，解得m2，,即实数m的取值范围是(，12，).故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.已知xR，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f(x) a(x0) 有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是_.,答案,解析,f(x)x2axb的两个零点是2,3. 2,3是方程x2axb0的两根，,f(x)x2x6. 不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.已知函数f(x) 若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_.,答案,解析,(0,1),画出函数f(x) 的图像，如图.,由于函数g(x)f(x)m有3个零点， 结合图像得0m1，即m(0,1).,9.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)2 015xlog2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,3,函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)0， 当x0时，f(x)2 015xlog2 015x在区间(0， )内存在一个零点， 又f(x)为增函数， 因此在(0，)内有且仅有一个零点. 根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解， 从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.(2016衡水期中)若a1，设函数f(x)axx4的零点为m，函数g(x)logaxx4的零点为n，则 的最小值为_.,答案,解析,1,设F(x)ax，G(x)logax，h(x)4x， 则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m0，n0). 因为F(x)与G(x)关于直线yx对称， 所以A，B两点关于直线yx对称. 又因为yx和h(x)4x交点的横坐标为2， 所以mn4.又m0，n0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,(1)作出函数f(x)的图像；,如图所示