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文档简介
9.6 双曲线,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.双曲线定义 平面内与两个定点F1,F2的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ,两焦点间的距离叫做 . 集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c为常数且a0,c0. (1)当 时,P点的轨迹是双曲线; (2)当 时,P点的轨迹是两条射线; (3)当 时,P点不存在.,知识梳理,距离的差的绝对值,双曲线的焦点,双曲线的焦距,2a|F1F2|,2a|F1F2|,2a|F1F2|,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或xa,yR,xR,ya或ya,坐标轴,原点,(1,),2a,2b,a2b2,巧设双曲线方程,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到点F1(0,4),F2(0,4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)方程 (mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.( ),1.(教材改编)若双曲线 (a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为,考点自测,答案,解析,由题意得b2a,又a2b2c2,5a2c2.,答案,解析,由题意知(2m)(m1)0,解得m1或m2,故选D.,A.m1 B.m1或m2,3.(2015安徽)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是,答案,解析,由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上,不合题意; C、D项双曲线焦点均在y轴上,但D项渐近线为y x,只有C符合,故选C.,答案,解析,答案,解析,双曲线的一个顶点坐标为(2,0),,题型分类 深度剖析,例1 已知圆C1:(x3)2y21和圆C2:(x3)2y29,动圆M同时 与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_.,题型一 双曲线的定义及标准方程,命题点1 利用定义求轨迹方程,答 案,解析,几何画板展示,如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件, 得|MC1|AC1|MA|, |MC2|BC2|MB|, 因为|MA|MB|, 所以|MC1|AC1|MC2|BC2|, 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2, 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6.,又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小), 其中a1,c3,则b28.,命题点2 利用待定系数法求双曲线方程,解答,设双曲线的标准方程为,b6,c10,a8.,(2)焦距为26,且经过点M(0,12);,解答,双曲线经过点M(0,12),M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a12. 又2c26,c13,b2c2a225.,设双曲线方程为mx2ny21(mn0).,解答,命题点3 利用定义解决焦点三角形问题,例3 已知F1,F2为双曲线C:x2y22的左,右焦点,点P在C上,|PF1|2|PF2|,则cos F1PF2_.,答案,解析,由双曲线的定义有|PF1|PF2|,引申探究,1.本例中将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”,则F1PF2的面积是多少?,解答,不妨设点P在双曲线的右支上, 则|PF1|PF2|2a2 ,,在F1PF2中,由余弦定理,得,不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|PF2|2a2 ,,解答,所以在F1PF2中,有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2, 即|PF1|2|PF2|216, 所以|PF1|PF2|4,,思维升华,(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程; (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|PF2|2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的联系. (3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值,如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为 (0),再由条件求出的值即可.,跟踪训练1 (1)已知F1,F2为双曲线 的左,右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线上,则|AP|AF2|的最小值为,答案,解析,几何画板展示,由题意知,|AP|AF2|AP|AF1|2a, 要求|AP|AF2|的最小值,只需求|AP|AF1|的最小值, 当A,P,F1三点共线时,取得最小值,,答案,解析,题型二 双曲线的几何性质,答案,解析,A.mn且e1e21 B.mn且e1e21 C.mn且e1e21 D.mn且e1e21,由题意可得m21n21,即m2n22, 又m0,n0,故mn.,(2)(2015山东)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1: (a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x22py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为_.,答案,解析,OAB的垂心为F,AFOB,kAFkOB1,,思维升华,答案,解析,题型三 直线与双曲线的综合问题,例5 (2016兰州模拟)已知椭圆C1的方程为 y21,双曲线C2的左,右焦点分别是C1的左,右顶点,而C2的左,右顶点分别是C1的左,右焦点. (1)求双曲线C2的方程;,解答,则a2413,c24, 再由a2b2c2,得b21.,解答,由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得,设A(x1,y1),B(x2,y2),,思维升华,(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时,用判别式来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验.,跟踪训练3 若双曲线E: y21(a0)的离心率等于 ,直线ykx1与双曲线E的右支交于A,B两点. (1)求k的取值范围;,解答,故双曲线E的方程为x2y21. 设A(x1,y1),B(x2,y2),,得(1k2)x22kx20. (*) 直线与双曲线右支交于A,B两点,,解析,整理得28k455k2250,k2 或k2 ,,x1x24 ,y1y2k(x1x2)28.,点C是双曲线上一点.,直线与圆锥曲线的交点,现场纠错系列11,(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题,要考虑变形的条件. (2)“判别式0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.,错解展示,现场纠错,纠错心得,典例 已知双曲线x2 1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点?,返回,解 设点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段AB的中点为(x0,y0), 若直线l的斜率不存在,显然不符合题意. 设经过点P的直线l的方程为y1k(x1), 即ykx1k.,得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20). ,当k2时,方程可化为2x24x30. 162480,方程没有实数解. 不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P(1,1)是线段AB的中点.,返回,课时作业,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,A.11 B.9 C.5 D.3,由双曲线定义|PF2|PF1|2a,|PF1|3, P在左支上,a3, |PF2|PF1|6, |PF2|9,故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,(m2n)(3m2n)0,解得m2n3m2,由双曲线性质,知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距), 焦距2c22|m|4,解得|m|1,1n3,故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,A.16 B.20 C.21 D.26,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由双曲线定义|AF1|AF2|BF1|BF2|2a8, |AF1|BF1|AF2|BF2|1621, ABF1的周长为|AF1|BF1|AB| 21526. 故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,解得x5或x1,又a3,故c5,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016北京)已知双曲线 (a0,b0)的一条渐近线为2xy0,一个焦点为( ,0),则a_;b_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,由2xy0,得y2x,,解得a1,b2.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016浙江)设双曲线x2 1的左,右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|PF2|的取值范围是_.,答案,解析,如图,由已知可得a1,b ,c2,从而|F1F2|4,由对称性不妨设P在右支上, 设|PF2|m, 则|PF1|m2am2, 由于PF1F2为锐角三角形,,解得1 m3,又|PF1|PF2|2m2,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.已知双曲线 (a0,b0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值 为_.,答案,解析,要求e的最大值,即求cosF1PF2的最小值,,由定义,知|PF1|PF2|2a. 又|PF1|4|PF2|,,在PF1F2中,由余弦定理,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O且所成的角为60的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|A2B2|,其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 _.,答案,解析,由双曲线的对称性知,满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线,故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围大于30且小于等于60,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|2 ,椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比为37. (1)求这两曲线方程;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,由已知c ,设椭圆长半轴长,短半轴长分别为a,b, 双曲线实半轴长,虚半轴长分别为m,n,,解得a7,m3.b6,n2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若P为这两曲线的一个交点,求cosF1PF2的值.,解答,不妨设F1,F2分别为左,右焦点,P是第一象限的一个交点, 则|PF1|PF2|14,|PF1|PF2|6, |PF1|10,|PF2|4.又|F1F2|2 ,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,双曲线方程可化为2x2y22a2. 设直线l的方程为yxm.,4m24(m22a2)0, 直线l一定与双曲线相交. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,则x1x22m,x1x2m22a2.,消去x2,得m2a2.,x1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m) 2x1x2m(x1x2)m2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,m24a23, m1,a21,b22.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,又a2b2c2,解得a2,b1,,(2)若直线l:ykxm与双曲线C相交于A,B两点(A,B均异于左,右顶点),且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.,证明,
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