高考数学大一轮复习第八章立体几何8_5直线平面垂直的判定与性质课件文新人教版

8.5 直线、平面垂直的判定与性质,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,(1)定义 如果直线l与平面内的 直线都垂直，则直线l与平面垂直.,1.直线与平面垂直,知识梳理,任意一条,(2)判定定理与性质定理,相交,a，b,abO,la,lb,平行,a,b,2.平面与平面垂直 (1)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.,直二面角,(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理,交线,垂线,重要结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)直线a，b，则ab.( ) (4)若，aa.( ) (5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直.( ),1.(教材改编)下列命题中不正确的是 A.如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面 B.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面平面，平面平面，l，那么l,考点自测,答案,解析,2.设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,若，因为m，b，bm， 所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab； 反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba， 但不能保证b，所以不能推出.,3.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则 A.若mn，n，则m B.若m，则m C.若m，n，n，则m D.若mn，n，则m,答案,解析,A中，由mn, n，可得m或m或m与相交，错误； B中，由m，可得m或m或m与相交，错误； C中，由m，n，可得mn，又n，则m，正确； D中，由mn，n，可得m与相交或m或m，错误.,4.(2016深圳模拟)在正四面体ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，下面的结论不正确的是 A.BC平面AGF B.EG平面ABF C.平面AEF平面BCD D.平面ABF平面BCD,答案,解析,易知点A在平面BCD上的射影在底面的中心，而中心不在EF上，所以平面AEF平面BCD错误，选C.,5.(教材改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心.,答案,解析,外,如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在RtPOA、RtPOB和RtPOC中， PAPCPB， 所以OAOBOC， 即O为ABC的外心.,(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.,答案,解析,垂,如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G. PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB， 又ABPO，POPCP， AB平面PGC， 又CG平面PGC， ABCG，即CG为ABC边AB上的高. 同理可证BD，AH为ABC底边上的高， 即O为ABC的垂心.,题型分类 深度剖析,题型一 直线与平面垂直的判定与性质,例1 (2016全国甲卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF ，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.OD . 证明：DH平面ABCD.,证明,几何画板展示,由已知得ACBD，ADCD.,因此EFHD，从而EFDH.,所以OH1，DHDH3. 于是DH2OH2321210DO2，故DHOH. 又DHEF，而OHEFH，且OH，EF平面ABCD， 所以DH平面ABCD.,思维升华,证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.,跟踪训练1 (2015江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E. 求证：(1)DE平面AA1C1C；,证明,(2)BC1AB1.,证明,又因为BC1平面BCC1B1， 所以BC1AC. 因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 因此BC1B1C. 因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC， 所以BC1平面B1AC. 又因为AB1平面B1AC， 所以BC1AB1.,题型二 平面与平面垂直的判定与性质,例2 如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点. (1)求证：CE平面PAD；,证明,方法一 取PA的中点H，连接EH，DH. 又E为PB的中点， 所以EH綊 AB. 又CD綊 AB， 所以EH綊CD. 所以四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH. 又DH平面PAD，CE平面PAD. 所以CE平面PAD.,方法二 连接CF. 因为F为AB的中点， 所以AF AB. 又CD AB，所以AFCD. 又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形. 因此CFAD，又CF平面PAD，AD平面PAD， 所以CF平面PAD.,因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA. 又EF平面PAD，PA平面PAD， 所以EF平面PAD. 因为CFEFF，故平面CEF平面PAD. 又CE平面CEF，所以CE平面PAD.,(2)求证：平面EFG平面EMN.,证明,引申探究,1.在本例条件下，证明：平面EMN平面PAC.,证明,2.在本例条件下，证明：平面EFG平面PAC.,证明,思维升华,(1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a，a). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,跟踪训练2 (2016江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1. 求证：(1)直线DE平面A1C1F；,证明,(2)平面B1DE平面A1C1F.,证明,题型三 直线、平面垂直的综合应用,例3 如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4 . (1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；,证明,AD2BD2AB2，ADBD. 又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD. 又BD平面MBD，平面MBD平面PAD.,(2)求四棱锥PABCD的体积.,解答,过P作POAD， 平面PAD平面ABCD， PO平面ABCD， 即PO为四棱锥PABCD的高. 又PAD是边长为4的等边三角形，PO2 . 在四边形ABCD中，ABDC，AB2DC， 四边形ABCD为梯形.,思维升华,垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.,跟踪训练3 (2016全国乙卷)如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G. (1)证明：G是AB的中点；,证明,因为P在平面ABC内的正投影为D， 所以ABPD. 因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE. 因为PDDED，PD，DE都在平面PED内， 所以AB平面PED，又PG在平面PED内， 故ABPG. 又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点.,(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.,解答,在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影. 理由如下： 由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB， 所以EFPA，EFPC，PCPAP，PC与PA 都在平面PAC中，因此EF平面PAC，即点F 为E在平面PAC内的正投影. 连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.,由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD CG. 由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，,由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2 . 在等腰直角三角形EFP中， 可得EFPF2，,典例 (12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点. 求证：(1)AN平面A1MK； (2)平面A1B1C平面A1MK.,立体几何证明问题中的转化思想,思想与方法系列17,规范解答,思想方法指导,(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.,返回,证明 (1)如图所示，连接NK. 在正方体ABCDA1B1C1D1中， 四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形， AA1DD1，AA1DD1， C1D1CD，C1D1CD. 2分 N，K分别为CD，C1D1的中点， DND1K，DND1K， 四边形DD1KN为平行四边形， 3分,KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN， 四边形AA1KN为平行四边形，ANA1K. 4分 A1K平面A1MK，AN平面A1MK， AN平面A1MK. 6分 (2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中， ABC1D1，ABC1D1. M，K分别为AB，C1D1的中点， BMC1K，BMC1K， 四边形BC1KM为平行四边形，,MKBC1. 8分 在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C， BC1平面BB1C1C，A1B1BC1. MKBC1，A1B1MK. 四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C. 10分 MKB1C. A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1CB1， MK平面A1B1C. 又MK平面A1MK， 平面A1B1C平面A1MK. 12分,返回,课时作业,1.已知直线m，n和平面，若，m，要使n，则应增加的条件是 A.n且mn B.n C.n且nm D.n,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,由面面垂直的性质定理知选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A.若，m，n，则mn B.若，m，n，则mn C.若mn，m，n，则 D.若m，mn，n，则,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.(2016包头模拟)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是 A.CC1与B1E是异面直线 B.AC平面ABB1A1 C.AE与B1C1是异面直线，且AEB1C1 D.A1C1平面AB1E,答案,解析,A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线； B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC平面ABB1A1； C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线； D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1平面AB1E不正确，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.正方体ABCDABCD中，E为AC的中点，则直线CE垂直于 A.AC B.BD C.AD D.AA,答案,解析,连接BD， BDAC，BDCC， 且ACCCC， BD平面CCE. 而CE平面CCE， BDCE. 又BDBD，BDCE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：BCPC；OM平面APC； 点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是 A. B. C. D.,答案,解析,对于，PA平面ABC，PABC， AB为O的直径，BCAC，BC平面PAC， 又PC平面PAC，BCPC； 对于，点M为线段PB的中点，OMPA， PA平面PAC，OM平面PAC，OM平面PAC； 对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.如图，BAC90，PC平面ABC，则在ABC和PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_.,答案,解析,AB、BC、AC,AB,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可),答案,解析,DMPC(或BMPC等),由定理可知，BDPC. 当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD， 而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论： AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC. 其中正确结论的序号是_.,答案,解析,由题意知PA平面ABC，PABC. 又ACBC，且PAACA， BC平面PAC，BCAF. AFPC，且BCPCC， AF平面PBC， AFPB，又AEPB，AEAFA， PB平面AEF，PBEF. 故正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个.,答案,解析,2,若，换为直线a，b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题； 若，换为直线a，b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题； 若，换为直线a，b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.(2016四川)如图，在四棱锥P-ABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCD AD. (1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；,解答,取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下： 连接BM，CM.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以BCAM，且BCAM， 所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB. 又AB平面PAB，CM平面PAB. 所以CM平面PAB. (说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点),(2)证明：平面PAB平面PBD.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,由已知，PAAB，PACD.,所以直线AB与CD相交， 所以PA平面ABCD， 从而PABD. 又BCMD，且BCMD. 所以四边形BCDM是平行四边形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,又ABAPA，所以BD平面PAB. 又BD平面PBD， 所以平面PAB平面PBD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.(2016北京)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC. (1