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本章是相量法分析正弦稳态电路的继续。首先介绍耦合电感的电路模型、含有耦合电感电路的分析；然后讨论空心变压器和理想变压器的分析；最后介绍相关工程中利用耦合电感原理制成的实际设备。,耦合电感电路,第7章,章节内容,7. 1 互感现象及耦合电感元件,7. 2 含有耦合电感的电路,7. 3 空心变压器,7. 4 理想变压器,7. 5 应用,学习要点,互感、同名端、具有互感电路的计算；,空心变压器电路分析和反映阻抗；,理想变压器和折合阻抗，实际变压器的模型。,了解同名端的物理意义以及判断方法；充分掌握两个具有互感的线圈连接在稳态正弦交流电路中电路的电量、功率等的分析计算；掌握空心变压器的分析方法充分掌握理想变压器的电压、电流、阻抗、功率等分析计算。,提示,7.1 互感现象及耦合电感元件,7.1.1 耦合现象产生感应电压,载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为磁耦合 .,当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2。当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。,u11称为自感电压，u21称为互感电压。,1、相近的两个线圈一个通电,1）、 ：磁链 (magnetic linkage)，,回顾一些电磁感应定律知识, =N ,2）、 ：磁通（ magnetic flux）, I 即与电流成正比,例：图中电流1产生的两种磁链,两种磁链, i1,3）、楞次定律,当i1、u11、u21方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：,同理，当线圈2中通电流i2时会产生磁通22，12 。 i2为时变时，线圈2和线圈1两端分别产生感应电压u22 ， u12 。,可以证明：M12= M21= M。,2、相近的两个线圈另一个通电,3、相近的两个线圈同时通电,当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压（1）,当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压（2）注意方向,4、相近的两个线圈耦合现象的两个问题,（1）、与自感系数类似的互感系数 M 有什么特点？,（2）、与互感系数 M 联系的互感电压的方向因施感电流方向不同而不确定，有无方法让之明确？,线圈两端的电压包含自感电压和互感电压。 表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。,7.1.2.同名端与耦合电感,前面的分析得知可见绕线方向的情况时,线圈两端的电压包含自感电压和互感电压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。,对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。,引入同名端可以解决这个问题。,同名端,同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入 ，其所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。,*,*,同名端标记：,对于两个有耦合的线圈各取一个端子，用相同的符号（如用“ ”或“*”）标记，称这一对端子为同名端。当一对施感电流i1和i2都是从同名端流入或流出各自线圈时，互感就起“增强”作用。例如，图中标记的1和2为同名端，图中是用小圆点标出的。或者1和3 为同名端。,3,同名端表明了线圈的相互绕法关系。,两个耦合线圈的同名端可以根据它们的绕向和相对的位置来判别，也可以用实验的方法确定。,确定同名端的方法：,(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电流产生的磁场相互增强。,*,*,*,*,例.,注意：线圈的同名端必须两两确定。,确定图示电路的同名端,同名端的实验测定：,*,*,电压表正偏。,当闭合开关S时，i 增加，,当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。,(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。,当断开S时，如何判定？,有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。,耦合电感电路模型,由同名端及u,i参考方向确定互感线圈的特性方程,时域形式：,在正弦交流电路中，其相量形式的方程为,受控源模型,注意：,有三个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每对耦合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。,(1) 一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系；,(2) 互感电压的符号有两重含义。,同名端； 参考方向；,互感现象的利与弊：,利 变压器：信号、功率传递,弊 干扰, 合理布置线圈相互位置减少互感作用。,图中，已知电流,计算电压 u1 和 u2,解 根据耦合电感的电压-电流关系，有,说明直流 电流不产生互感电压和自感电压。,例7-1,已知条件同例7-1,计算耦合线圈中的磁链 ， ， ， ， ， .,解 根据本节相关公式，计算如下,本题说明直流电流 产生自感磁链和互感磁链,例7-2,7.1.3 耦合系数,耦合系数 (coupling coefficient)k,k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。,可以证明，k1。,采用M与其最大值的比值来定义耦合系数,在工程中，耦合系数是定量描述两个线圈的耦合紧疏程度的指标，它与两个线圈的结构、相互位置、周围磁介质等因素有关。,事实上两者的相互位置对于耦合系数影响较大。在L1L2一定时，耦合系数减小或增大，会引起互感M的减小或增大。,全耦合:,F11= F21 ，F22 =F12,互感有一个上界 （可以不讲）,能量法证明,耦合电感的模型（时域形式）中，首先假设所有的电流和电压均为零，因此该网络中初始存储的能量也为零。然后，将右边22 开路，从零开始增大i1，在t=t1时增加到某个直流值I1，在此过程中，左边输入网络的能量为,现在使i1 = I1保持不变（即电源保持连接而不是开路），在t = t1时，i2由零逐渐增大，在t = t2时增大到某个定值I2。在此过程中，右边输入的能量为,而这段时间内，虽然i1不变，但是左边的电源却也给网络输入了能量，即,则此时网络存储的总能量为,同理，将上述的过程反过来，即先使i2从零增大到I2，保持I2不变，然后让i1由0增大到I1。得出的能量为,（7-7）,证毕！,由于网络的初始能量一样，而最终的状态也一样，所以两个能量应该一样。于是得出,如果取的异名端模型时，则得出的能量公式为,（7-8）,式（7-7）或式（7-8）中，显然式（7-8）中的能量要小一些。因为实际中能量输入不可能为负，所以,有上界,例7-3,计算耦合线圈的耦合系数k 。,解 利用式（7-10），可得耦合系数,图中，已知电流,含有耦电感电路称为互感电路，对于该类型的电路分析时，涉及到运用结点法、回路法等方法列写电路方程，也会用到戴维南、叠加等定理。本章也基本只讨论正弦稳态电路，所以可以采用相量法分析。,7.2 含耦合电感电路,7.2.1 串/并联电路,一、互感线圈的串联,1. 顺串,2. 反串（逆串）,互感不大于两个自感的算术平均值。,例7-4,图所示电路中，已知R1 = 3 ，R2 =5 ， =7.5 ， =12.5 ， =8 ，电压源U = 50 V。试计算：（1）耦合系数k；（2）各个支路所吸收的复功率 和,解（1）耦合系数k为,（2）根据图的电路，先求得支路的电流和阻抗，再计算支路的复功率。支路的阻抗分别计算得,1. 同名端在同侧,i3 = i1 +i2,时域u, i的关系：,二、互感线圈的并联,忽略两个电感的电阻,相量的关系：,2. 同名端在异侧,i = i1 +i2,时域u, i的关系：,忽略两个电感的电阻,相量的关系：,3. 同名端在同侧与同名端在异侧并联的比较,合成电感的大小一目了然,4. 思考题：下面3个图的端口等效电感大小顺序是？,7.2.2 去耦等效电路互感消去法,1. 去耦等效(两电感有公共端并联电路),(a) 同名端接在一起,(b) 非同名端接在一起,等效电路的特点：,去耦等效电路简单，等值电路与参考方向无关，但必须有公共端；,记住下面的图形：,有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的相量分析的的方法均适用。只需注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。,例 1、列写下图电路的方程。,7.2.3 含耦合电感电路的分析,支路电流法：,完毕！,回路电流法：,(1) 不考虑互感,(2) 考虑互感,注意: 互感线圈的互感电压的的表示式及正负号。,含互感的电路，直接用节点法列写方程不方便。,例 2.列写支路电流方程。,支路法：,整理，得,整理得:,此题可先作出去耦等效电路，再列方程(一对一对消):,图所示电路中，已知R1 = 3 ，R2 =5 ， =7.5 ， =12.5 ， =8 ，电压源U = 50 V。,两支路所吸收的复功率为,例7-5,试计算各个支路所吸收的复功率 和,解 根据图的电路 ,设电压 ，由式（7-14）得,例7-7,求图7-9(a)中ab端口的戴维南等效电路。已知电源频率 ，L1 =1 H，L2 =2 H，M =1 H，R =10 ，电源电压有效值为10 V。,求内阻：Zi,（1）加压求流：列回路电流方程,（2）去耦等效：,变压器是电工、电子技术等领域中常用的电气设备。本书将介绍两类变压器，它们都可以用含有互感的模型来表示。本节介绍和分析空心变压器（或称线性变压器），这种变压器通常用于高频的场合。,7.3 空心变压器,图7-10 空心变压器电路,图7-10所示为一个空心变压器的电路连接情况，采用相量形式，并给出了两个回路电流。,电路模型,图中，L1和L2表示变压器的初级和次级线圈的自感，R1和R2表示两组线圈的自身电阻。,所谓的线性变压器，指的是两组线圈的周围不含有磁性材料，或者说两个有耦合的线圈绕制所依靠的托架为空心的情况。,电路分析,Z11=R1+j L1， Z22=(R2+R)+j( L2+X),因为两个回路没有直接的导线连接，故可以分为两个回路分别研究，只要考虑其间的互感影响即可。因此两个回路方程分别为 ：,1、原边单独分析,Zl= Rl+j Xl：副边对原边的引入阻抗。,负号反映了付边的感性阻抗 反映到原边为一个容性阻抗,这说明了副边回路对初级回路的影响可以用引入阻抗来考虑。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。,从能量角度来说 :,不论变压器的绕法如何，,恒为正 , 这表示电路电阻吸收功率，它是靠原边供给的。,电源发出有功 = 电阻吸收有功 = I12(R1+Rl),I12R1 消耗在原边；,I12Rl 消耗在付边，由互感传输。,2、副边单独分析,同样可解得：,原边对副边的引入阻抗？,副边吸收的功率：,空心变压器副边的等效电路，同样可以利用戴维南定理求得。,副边等效电路,副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压。,（1）电流 、 ；,图7-10所示电路中，R1 =R2 =0，L1=5 H，L2=1.2 H，M=2 H，ZL=RL=3 ，电压源 。,试计算：,（2）原边电路的复功率及负载ZL所吸收的有功功率。,例7-8,解：（1）由图7-11可得,（2）原边电路吸收的复功率为,副边ZL吸收的有功功率为:,原边消耗的有功功率等于副边电阻元件消耗的有功功率,补例a： 已知 US=20 V , 原边引入阻抗 Zl=10j10.,求: ZX 并求负载获得的有功功率.,此时负载获得的功率：,实际是最佳匹配：,解：,补例b： L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20W , R2=0.08W ,RL=42W , w =314rad/s,法一：回路法（略）。,法二：空心变压器原边等效电路。,又解：副边等效电路,7.4 理想变压器,理想变压器是一种紧耦合变压器，认为其耦合系数k等于1。在上一节的空心变压器模型中，令电阻R1 =R2 =0，取原边和副边的电感L1、L2趋于无穷大，根据耦合系数k的定义，可知其互感M也为无穷大。,n为一个正的实数。这样就得到仅有一个参数的理想变压器模型，如图7-12(a)所示，其中同名端的标记仍然保留，而空心变压器的5个参数R1、R2、L1、L2、M均不再保留。,当L1 ,M, L2 ，L1/L2 比值不变 (磁导率m ) , 则有,理想变压器 (ideal transformer)：,理想变压器的元件特性,理想变压器的电路模型,电路模型,(a) 阻抗变换性质,理想变压器的性质：,(b) 功率性质：,由此可以看出，理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。,故不能把它看成是一个动态元件,已知电源内阻RS=1k，负载电阻RL=10。为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比n。,当 n2RL=RS时匹配，即,10n2=1000, n2=100， n=10 .,补例1,方法1：列方程,解得,补例2,方法2：阻抗变换,方法3：戴维南等效,求R0：,R0=1021=100,戴维南等效电路：,变阻抗,求在正弦稳态条件下，图7-13(a)所示电路的等效阻抗和图7-13(b)所示电路的最大功率匹配条件。,(a) 等效阻抗 (b) 最大功率匹配 图7-13 例7-9图,解 图7-13(a)的等效阻抗为,说明在副边接入的阻抗，在原边等效成一个乘以系数n2的阻抗。对单个R、L、C元件，其原边等效阻抗为n2R、n2L和C/ n2。,Why?,图7-13(b)的利用图7-13(a)的结果和最大功率传输定理，得匹配条件为:,例7-9,图7-14(a)所示电路中，正弦电源有效值为100 V，Z1=4-j4 ，Z2=1-j1 。试计算阻抗ZL为多少时，其消耗的功率最大，并求最大功率 。,(a) (b) 图7-14 例7-10图,解 可以先计算ab左侧的戴维南等效电路，如图7-14(b)所示。,设电源电压为,例7-10,变压器的原理本质上都是互感作用，实际上有习惯处理方法。,空心变压器：电路参数 L1、L2、M, 储能。,理想变压器：电路参数n, 不耗能、不储能、变压、变流、变阻抗，等值电路为：,小结,互感式电工仪表,1钳形电流表,图7-15 互感器式钳形电流表外形结构,图7-16 互感器式钳形电流表电路,互感器式钳形电流表，其外形结构如图7-15所示。它主要由“穿心式”电流互感器和带整流装置的磁电系电流表组成，如图7-16所示。,7.5 应用,1钳形电流表,图7-15 互感器式钳形电流表外形结构,图7-16 互感器式钳形电流表电路,互感器式钳形电流表，其电流互感器的铁心呈钳口形，当捏紧扳手时铁心可以张开，如图7-15中虚线所示，这样被测载流导线不必断开就可以穿过铁心张开的缺口放入钳形铁心中。然后松开扳手使铁心闭合，这样通有被测电流的导线就成为电流互感器的初级绕组N1。,2电度表（电能表）与节电装置,图7-17 电度表,图7-18 节电装置示意图,工作原理：当用户没有负载时，可以看到，VS的两端无电压（电势差），所以VS是断开的，因此L1中无电流，没有功率损耗。当用户用电时，交流电在电流回路中可以顺利通行，但是会在二极管的两端产生2 V左右的电势差，从而使VS的控制极获得控制信息而导通，这样电流和电压线圈均有电流流通，其产生的磁场推动铝盘转动，进行电量计量，同时实现了用户没有负载而不耗电的目的。,节电装置示意图如图7-18所示。在电压线圈L