[工学]第四章 随机变量的数字特征.ppt_第1页
[工学]第四章 随机变量的数字特征.ppt_第2页
[工学]第四章 随机变量的数字特征.ppt_第3页
[工学]第四章 随机变量的数字特征.ppt_第4页
[工学]第四章 随机变量的数字特征.ppt_第5页
已阅读5页,还剩67页未读 继续免费阅读

VIP免费下载

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第四章 随机变量的数字特征,本章学习内容 R.V.的期望: 定义,性质,和常见随机变量的期望,R.V.函数的方差. R.V.的方差: 定义,性质,和常见R.V的方差; R.V.的协方差和相关系数: 定义,性质.,第一节.随机变量的期望,离散型R.V.期望的定义 Def1. 设离散型R.V.X的分布律为 pi=P(X=xi), i=1,2, 若级数 ixipi 绝对收敛,则称R.V.X的数学期望存在,且称该 级的和为R.V.X的数学期望(expectation),记 为EX, EX也称为X的均值(mean).,例1. 某个人的五次考试成绩如下, 60, 70,70, 80,60,求其平均成绩. 解: 平均成绩为: ( 60+70+70+80+60)/5 =60X2/5+70X 2/5+80X 1/5 =68. 另外一种理解:,2. 连续型R.V.的期望的定义 Def.2. 设连续型R.V. X的p.d.f. 为f(x), 如果积分,绝对收敛,则称R.V.X的期望存在,且称该积分为R.V.的数学期望,记为EX.,R.V.的数学期望,也称为R.V.的均值. 它揭示了一个随机变量取值的集中的位置, 是R.V. 取值中心位置的一种度量.,例2. 甲乙两名射手在相同的条件下进行射击,其命中的环数分别为X和Y. 由历史记录得到X和Y的分布律如下:,试评价甲和乙两名射手的技术优劣.,解: EX=0x 0+5x 0.05+6x0.05+7x 0.1+8x 0.1+9x0.2+10x0.5=8.85. EY=0x0.2+5x 0.2+6x0.2+7x 0.1+8x 0.1+9x0.1+10x 0.1=5.6. EXEY, 说明什么?,下面计算一些离散型分布的期望值。,1) (0-1)分布 设X服从(0-1)分布,分布律为,P(X=1)=p,P(X=0)=1-p, 0p1,X的数学期望为 EX=1p+0(1-p)=p,例:设R.V.X的分布律为:,练习:某种疾病人群中患病率为p(很小), 社区普查时采用一种验血新技术:k个人 一组验血一次,若呈阴性验血结束;若呈 阳性,则该组中的每一个人需再验一次。 求每个人平均验血次数EX.,下面计算常用连续型变量的数学期望:,则,它恰是区间a,b的中点。,因此柯西分布的数学期望不存在.,练习 求伽玛分布的数学期望。,随机变量函数的数学期望公式:,练习 Xe(),求E(e-X),特殊情况:g(x,y)=x, and g(x,y)=y,有,练习:求EY,例6 设X,Y相互独立同服从N(0,1), 求EmaxX,Y,均值的性质:,(1) E(c)=c; (c为常数),(2) E(cX)=cE(X);( c为常数),(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4) 设X,Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y);,(5) |E(XY)|2E(X2)E(Y2)(许瓦尔兹不等式),例1. 二项分布的均值的计算:,设Xb(n,p), X表示n次独立重复试验中A发生 的次数,引入Xi(i=1, 2, , n),例2 将n个编号为1-n的球随机放入编号为1-n 的n个盒子,若球号与盒号相同,称为一个匹 配。X表示匹配数,求EX.,两次课的作业:1 3 9 11 13 16 21 22 25 31 34,2. 方差,若X为离散型r.v.其分布律为PX=xk=pk, k=1,2, 则,方差的计算公式:,1. X服从(0-1)分布, 则,EX=0(1-p)+1p=p,故 D(X) =E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).,E(X2)=02(1-p)+12p=p,下面计算一些常见分布的方差,2 求伽玛分布的方差,练习:,1 求几何分布g(p)的方差,方差的性质:,1 设C是常数, 则D(C)=0;,2 C是常数, 则有 D(CX)=C2D(X);,3 设X, Y是两个相互独立的随机变量, 则有 D(XY)=D(X)+D(Y);,4 D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C, 即 PX=C=1.,D(XY)=D(X)+D(Y);,因为X和Y相互独立,所以,X-EX和Y-EY也独立;,例1 设XB(n,p),分解X求其方差DX.,X1,X2,Xn独立同服从(0-1)分布,因此,切比雪夫不等式:,练习 XB(100, 1/2),估计P(40X60),4. 协方差和相关系数,Cov(X,Y)和量纲有关,其大小没有意义,但其符号有意义。如Cov(X,Y)0,表明X和Y有相同的变化趋势的可能性大,即,当X大于EX时,Y通常也大于EY;反之,若Cov(X,Y)0,则表明X和Y相对于各自均值变化趋势相反的可能性大。,展开可得计算公式: Cov(X, Y)=EX-EXY-EY =EX*(Y-EY)-EEX*(Y-EY) =E(XY)-E(X)E(Y).,由方差性质证明知对于任意的X和Y, 有 D(XY)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y).,协方差的性质:,1 Cov(X, Y)=Cov(Y, X);,2 Cov(aX, bY)=abCov(X,Y), a, b是常数;,3 Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y);,6 |Cov(X, Y)|2D(X)D(Y);,5 若X, Y相互独立, 则Cov(X, Y)=0.,4 Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=DX,a为常数;,例,求X,Y的协方差,例1.(X, Y)服从二维正态分布,求X和Y的相关系数.,2 求相关系数,公式:Cov(aX+bY,cX+dY) =acDX+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdDY,例2 XN(2003,1),YN(2004,1),且X与Y独立, 求3X-Y与X+Y的相关系数。,解:由于X,Y独立,则 Cov(3X-Y,X+Y)=3DX+2Cov(X,Y)-DY=2,D(3X-Y)=9DX+DY=10 D(X+Y)=DX+DY=2,作业:35 38 39 42 43,5. 矩、协方差矩阵,一. 定义: 设X和Y是随机变量,显然, E(X),E(Y)为一阶原点矩, D(X),D(Y)为二阶中心 矩, cov(X,Y)为二阶中心混合矩.,(1) 若E(Xk), k=1, 2, 存在, 则称它为X的k阶原点矩.,(2) 若EX-E(X)k, k=1, 2, 存在,则称它为X的k阶中心矩.,(3) 若EXkYl, k, l=1, 2, 存在, 则称它为X和Y的k+l阶混合矩.,(4) 若EX-E(X)kY-E(Y)l, k, l=1, 2,存在, 则称它为X和Y的k+l阶中心混合矩.,二维随机变量(X1,X2) 由四个二阶中心矩,分 别记为,将它们排成矩阵形式,称这个矩阵为(X1,X2)

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论