[工学]第四章 随机变量的数字特征.pptVIP

第四章 随机变量的数字特征,本章学习内容 R.V.的期望: 定义,性质,和常见随机变量的期望,R.V.函数的方差. R.V.的方差: 定义,性质,和常见R.V的方差; R.V.的协方差和相关系数: 定义,性质.,第一节.随机变量的期望,离散型R.V.期望的定义 Def1. 设离散型R.V.X的分布律为 pi=P(X=xi), i=1,2, 若级数 ixipi 绝对收敛,则称R.V.X的数学期望存在,且称该 级的和为R.V.X的数学期望(expectation),记 为EX, EX也称为X的均值(mean).,例1. 某个人的五次考试成绩如下, 60, 70,70, 80,60,求其平均成绩. 解: 平均成绩为: ( 60+70+70+80+60)/5 =60X2/5+70X 2/5+80X 1/5 =68. 另外一种理解:,2. 连续型R.V.的期望的定义 Def.2. 设连续型R.V. X的p.d.f. 为f(x), 如果积分,绝对收敛,则称R.V.X的期望存在,且称该积分为R.V.的数学期望,记为EX.,R.V.的数学期望,也称为R.V.的均值. 它揭示了一个随机变量取值的集中的位置, 是R.V. 取值中心位置的一种度量.,例2. 甲乙两名射手在相同的条件下进行射击,其命中的环数分别为X和Y. 由历史记录得到X和Y的分布律如下:,试评价甲和乙两名射手的技术优劣.,解: EX=0x 0+5x 0.05+6x0.05+7x 0.1+8x 0.1+9x0.2+10x0.5=8.85. EY=0x0.2+5x 0.2+6x0.2+7x 0.1+8x 0.1+9x0.1+10x 0.1=5.6. EXEY, 说明什么?,下面计算一些离散型分布的期望值。,1) (0-1)分布 设X服从(0-1)分布，分布律为,P(X=1)=p,P(X=0)=1-p, 0p1,X的数学期望为 EX=1p+0(1-p)=p,例:设R.V.X的分布律为:,练习：某种疾病人群中患病率为p(很小)， 社区普查时采用一种验血新技术：k个人 一组验血一次，若呈阴性验血结束；若呈 阳性，则该组中的每一个人需再验一次。 求每个人平均验血次数EX.,下面计算常用连续型变量的数学期望：,则,它恰是区间a,b的中点。,因此柯西分布的数学期望不存在.,练习 求伽玛分布的数学期望。,随机变量函数的数学期望公式:,练习 Xe(),求E(e-X),特殊情况：g(x,y)=x, and g(x,y)=y,有,练习：求EY,例6 设X,Y相互独立同服从N(0,1), 求EmaxX,Y,均值的性质:,(1) E(c)=c; (c为常数),(2) E(cX)=cE(X);( c为常数),(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4) 设X,Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y);,(5) |E(XY)|2E(X2)E(Y2)(许瓦尔兹不等式),例1. 二项分布的均值的计算:,设Xb(n,p), X表示n次独立重复试验中A发生 的次数，引入Xi(i=1, 2, , n),例2 将n个编号为1-n的球随机放入编号为1-n 的n个盒子，若球号与盒号相同，称为一个匹 配。X表示匹配数，求EX.,两次课的作业：1 3 9 11 13 16 21 22 25 31 34,2. 方差,若X为离散型r.v.其分布律为PX=xk=pk, k=1,2, 则,方差的计算公式:,1. X服从(0-1)分布, 则,EX=0(1-p)+1p=p,故 D(X) =E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).,E(X2)=02(1-p)+12p=p,下面计算一些常见分布的方差,2 求伽玛分布的方差,练习：,1 求几何分布g(p)的方差,方差的性质:,1 设C是常数, 则D(C)=0;,2 C是常数, 则有 D(CX)=C2D(X);,3 设X, Y是两个相互独立的随机变量, 则有 D(XY)=D(X)+D(Y);,4 D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C, 即 PX=C=1.,D(XY)=D(X)+D(Y);,因为X和Y相互独立,所以,X-EX和Y-EY也独立;,例1 设XB(n,p),分解X求其方差DX.,X1,X2,Xn独立同服从(0-1)分布，因此,切比雪夫不等式:,练习 XB(100, 1/2),估计P(40X60),4. 协方差和相关系数,Cov(X,Y)和量纲有关，其大小没有意义，但其符号有意义。如Cov(X,Y)0,表明X和Y有相同的变化趋势的可能性大，即，当X大于EX时，Y通常也大于EY；反之，若Cov(X,Y)0,则表明X和Y相对于各自均值变化趋势相反的可能性大。,展开可得计算公式: Cov(X, Y)=EX-EXY-EY =EX*(Y-EY)-EEX*(Y-EY) =E(XY)-E(X)E(Y).,由方差性质证明知对于任意的X和Y, 有 D(XY)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y).,协方差的性质:,1 Cov(X, Y)=Cov(Y, X);,2 Cov(aX, bY)=abCov(X,Y), a, b是常数;,3 Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y);,6 |Cov(X, Y)|2D(X)D(Y);,5 若X, Y相互独立, 则Cov(X, Y)=0.,4 Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=DX,a为常数;,例，求X,Y的协方差,例1.(X, Y)服从二维正态分布,求X和Y的相关系数.,2 求相关系数,公式：Cov(aX+bY,cX+dY) =acDX+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdDY,例2 XN(2003,1),YN(2004,1),且X与Y独立， 求3X-Y与X+Y的相关系数。,解：由于X，Y独立，则 Cov(3X-Y,X+Y)=3DX+2Cov(X,Y)-DY=2,D(3X-Y)=9DX+DY=10 D(X+Y)=DX+DY=2,作业：35 38 39 42 43,5. 矩、协方差矩阵,一. 定义: 设X和Y是随机变量,显然, E(X),E(Y)为一阶原点矩, D(X),D(Y)为二阶中心 矩, cov(X,Y)为二阶中心混合矩.,(1) 若E(Xk), k=1, 2, 存在, 则称它为X的k阶原点矩.,(2) 若EX-E(X)k, k=1, 2, 存在,则称它为X的k阶中心矩.,(3) 若EXkYl, k, l=1, 2, 存在, 则称它为X和Y的k+l阶混合矩.,(4) 若EX-E(X)kY-E(Y)l, k, l=1, 2,存在, 则称它为X和Y的k+l阶中心混合矩.,二维随机变量(X1,X2) 由四个二阶中心矩，分 别记为,将它们排成矩阵形式,称这个矩阵为(X1,X2)