[理学]第六章 几个典型方程的定解问题.ppt

第二篇 数学物理方程,Tips： 1. 请做好课前准备工作, 制作“学案”.,2. 请做好课后复习, 根据自己的学习状况， 做学习笔记、做例题 或者 做习题.,数学物理方程 绪论, 常微分方程: 一个自变量的函数满足的方程., 若函数的自变量为2个或更多, 函数随其中一个 自变量的变化为其偏微分. 例如函数 u (x, t),例如方程,全微分：,偏微分：,例：写出方程 和 的通解?, 数学物理方程: 多个变量的函数满足的偏微分方程。,例如一维波动方程：,例如： , 其解不可叠加., 线性方程: 函数及其各阶导数均为 1 次, 可作叠加., 可叠加性 + 齐次性,例如：线性算子 ：,常见的线性算子，例如： 等。,若 ui 满足,则 ui 的线性组合 满足,本篇主要考虑二阶线性偏微分方程., 什么是线性？,对线性方程 有 叠加原理：, 非线性方程,量与量之间成直线关系.,齐次线性方程 的通解为： 其中 ui (i = 1,2, ,n) 为方程所有线性无关的解。,相应的非齐次线性方程 的通解为： 其中，v 为满足非齐次方程的一个特解。,知识回顾：线性方程解的结构,注：倒三角是哈密尔顿引入的一个算符，叫Nabla。Nabla本意是一种竖琴。 “del” 这种读法是较流行的，最直接的读法。,1. 矢量的散度: , 其结果为标量,知识回顾：Hamilton 算子 (读作Nabla)相关的运算：,定义：,意义：散度表示矢量场的发散程度.,例如，静电场高斯定理,用散度表示，即为,由散度的定义，得散度定理(Gauss定理) ：,为S包围的体积.,2. 矢量的旋度: , 其结果仍为矢量,定义：,意义：旋度表示矢量场环流的强弱.,为回路 L 包围面积.,由旋度的定义，得旋度定理(Stocks定理) ：,例如，稳恒磁场安培环路定理,用散度表示，即为,3. 标量的梯度: , 其结果为矢量.,意义：梯度方向为 f 变化最快的方向,方向导数 为 f 在 方向的变化率.,4. 直角坐标系中，散度、旋度和梯度的计算.,梯度为标量 f 各方向导数的最大值,散度：,旋度：,梯度：,例：,第六章 几个典型方程的定解问题,6.1 几个典型方程的导出,一.弦振动方程 张紧轻弦的微小横振动,1. 建立模型：什么是弦？什么是横振动？,横波/纵波: 弦长方向为纵.,2. 采取近似：弦的微小振动,即, 振动中弦的伸长不变.,弦: 细、轻、均匀.,将 代入，,由 ，得 F2 =F1,由胡克定理, 弦上张力不随时间改变， 即:,在水平方向(纵向) ：,3. 振动方程：考察竖直方向(横向)，弦的受力.,弦上张力也不随位置改变，即：,两边同除以x，并取x 0，则：,即,其中，,单位长度、单位质量 的弦所受外力,f = 0, 弦不受外力, 作自由振动；否则为受迫振动。,:一维波动方程,考察薄膜振动，则为二维波动方程：,考察电磁波的波动，则为三维波动方程：,Nabla算子,Laplace算子,dAlembert算子,Nabla算子既有矢量的特性，又有算符的特性,二.热传导方程 温度u (x, y, z, t)满足的方程,1.热传导中的几个物理量,. 热流强度 q : 单位时间垂直通过单位面积的热量,傅里叶实验定律：,. 比热 c：单位时间、 单位质量物体温度升高1度所需的热量,. 热源强度 ：单位时间、 单位体积的热源产生的热量,其他相近概念: 能量密度 (单位体积中存储的能量),其他相近概念：能流密度、电流密度,2. 热传导中的能量守恒,a. 考察空间中体积为V 的物体，t1 t2时间内， 温度由 u1变为 u2 ，所需热量为：,b. 通过V 的表面向外传递热量,c. 内部热源产生热量,由 Q = Q2 Q1 得:,t1, t2, V 均为任意, 故,热传导方程： (输运方程),其中， ， f 与热源有关.,一维：,二维：,三.位势方程稳定场方程,若热传导达到平衡状态, 温度不随时间变化 即： ，则得稳定场方程：,此即泊松(Poisson)方程。,若无热源，则变为Laplace方程：,例如：静电场中电势满足的方程：,柱坐标系下的Laplace算符：,球坐标系下的Laplace算符：, 其他方程， 例：薛定谔方程, 非线性方程，例如孤子方程,令 ，则：, 双曲型 抛物型 椭圆型,四.两个自变量二阶线性偏微分方程的分类,对偏微分方程 也可以作类似分类 .,对二次方程,可以证明，作变量代换后, 方程分类性质不变。,对方程作变换：,则有：,证明：,本节以下内容仅作补充知识,变量代换后，二阶求导项为：,其中：,即, 变量代换后, 两个自变量的二阶线性偏微分方程的性质不变。,(4),若令 ，代入方程(3):,此时, 即令 为以下方程的解：,(1),(2),(3),即得特征方程：,(5),若A11和A22均为0，则方程二阶求导项得到简化。,解之, 得 f (x) 。,即为所求变换。,6.2 定解条件和定解问题,从微分方程出发, 可以给出问题的通解.,定解问题 = 微分方程（泛定方程）+ 定解条件,例如：两端固定的均匀弦的自由振动的定解问题,通解中含有待定常数, 需要由已知条件确定.,一.初始条件,初始条件：函数在初始时刻的取值.,例：泛定方程中，若只含对时间的一阶导数， 则只需 1个 初始条件：,若泛定方程含对时间的二阶导数, 则需 2个 初始条件：,或者,二.边界条件,1. 第一类边界条件(狄利克莱条件),2. 第二类边界条件(诺依曼条件),3. 第三类边界条件(罗宾条件),若 f 0, 为齐次边界条件; 否则为非齐次边界条件.,函数在边界上 的方向导数.,函数在边界上的取值.,混合边界条件,二.定解问题,1. 初值问题(柯西问题),泛定方程 + 初值条件,2. 边值问题,泛定方程 + 边值条件,3. 初边值问题 (混合问题),泛定方程 + 初值条件 + 边值条件,此时，定解问题为不含时问题。 根据边界条件，称为狄利克莱、诺依曼或罗宾问题。,此时，所求解问题可近似为无界区域.,三. 解的适定性,实际问题,定解问题(数学模型),解是否 存在、唯一、稳定？,No,定解问题适当、确定,Yes,补充知识：正交曲线坐标系,对一般曲线坐标系中,其三个坐标为 u1, u2, u3,h1，h2，h3 称为尺度因子,沿这三个方向的单位矢量为,设三个方向的线元:,则，体积元,球坐标系,例: 柱坐标系,球面元：,立体角元:,体积元：,体积元：,在正交曲线坐标系中, 对标量 f , 和矢量 , 有一般公式：,梯度：,散度：,旋度：,例如，在柱坐标系中：,在球坐标系中：,以下为草稿,推导柱坐标系下的拉普拉斯算子,推导球坐标系下的拉普拉斯算子,以下来自周明儒先生的习题答案,推导球坐标系下的拉普拉斯算子 （下面是个笨方法）,法一，以直角坐标为中间变量。,法二，以球坐标为中间变量。,直接计算出 下面以法二为例。,1. 计算出,2. 从第1步的表达式中，计算出,若直接用球坐标系，要方便些：,Tips:,务必记清楚，中间变量是什么。,习题 6.2 第1题：长为l的均匀弦，两端x=0 和x=l固定，弦中的张力为 FT，在点 x=h 处,以横向力 F 拉弦，