常微分方程05秋模拟试题.doc

蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀芆蚃蚂膆膂蚂螅罿蒁蚁袇膄莇蚀罿羇芃蚀虿膃腿蝿螁羅蒇螈袄膁莃螇羆羄荿螆螆艿芅莃袈肂膁莂羀芇蒀莁蚀肀莆莀螂芆节葿袄聿膈蒈羇袁蒆蒇蚆肇蒂蒇衿袀莈蒆羁膅芄蒅蚁羈膀蒄螃膃葿蒃袅羆莅薂羈膂芁薁蚇羄膇薁螀膀肃薀羂羃蒁蕿蚂芈莇薈螄肁芃薇袆芇腿薆羈聿蒈蚆蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀芆蚃蚂膆膂蚂螅罿蒁蚁袇膄莇蚀罿羇芃蚀虿膃腿蝿螁羅蒇螈袄膁莃螇羆羄荿螆螆艿芅莃袈肂膁莂羀芇蒀莁蚀肀莆莀螂芆节葿袄聿膈蒈羇袁蒆蒇蚆肇蒂蒇衿袀莈蒆羁膅芄蒅蚁羈膀蒄螃膃葿蒃袅羆莅薂羈膂芁薁蚇羄膇薁螀膀肃薀羂羃蒁蕿蚂芈莇薈螄肁芃薇袆芇腿薆羈聿蒈蚆蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀芆蚃蚂膆膂蚂螅罿蒁蚁袇膄莇蚀罿羇芃蚀虿膃腿蝿螁羅蒇螈袄膁莃螇羆羄荿螆螆艿芅莃袈肂膁莂羀芇蒀莁蚀肀莆莀螂芆节葿袄聿膈蒈羇袁蒆蒇蚆肇蒂蒇衿袀莈蒆羁膅芄蒅蚁羈膀蒄螃膃葿蒃袅羆莅薂羈膂芁薁蚇羄膇薁螀膀肃薀羂羃蒁蕿蚂芈莇薈螄肁芃薇袆芇腿薆羈聿蒈蚆蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀芆蚃蚂膆膂蚂螅罿蒁蚁袇膄莇蚀罿羇芃蚀虿膃腿蝿螁羅蒇 常微分方程05秋模拟试题参考解答 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1， 2全平面3n 4， 5恒等于零 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6B 7A 8C 9A 10D 三、计算题（每小题分，本题共30分） 11解 方程可改写为 令，则，代入得 或 分离变量，得 积分，得 或 原方程的通积分为 12解 先求齐次方程 的通解 设原方程的通解为 代入原方程，得 所以，原方程的通解为 13解 ，因此，原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 或 即 14解 令，则，原方程的参数形式为 由，有 整理得 由 ，解得，代入参数形式的第三式，得原方程通解为 15解 这是形式方程 令，代入方程，得 即 积分，得 即 分离变量，积分得原方程的通积分为 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16解 对应齐次方程的特征方程是 特征根为，齐次方程的通解为 因为是一重特征根故非齐次方程有形如 的特解，代入原方程，得 ， 故原方程的通解为 17解 特征方程为 特征根为 ， 对应特征向量为 对应的特征向量为 所以，原方程组的通解为 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18证明 先求出原方程的通解表达式为 再取 ，此广义积分由在区间上连续有界而保证收敛下面往证取此常数的解在上有界 不妨设，取的解为 于是 即 ， 19证明 （反证法）假设该方程组的一切解都在上有界，那么，该方程组的一个基本解矩阵的朗斯基行列式应在上有界 另一方面，由刘维尔公式，该朗斯基行列式满足 这与矛盾，所以，该方程组至少有一个解在上无界 肇芃薀螃膆莅莃虿膅肅薈薅螂膇莁蒀螁莀蚇衿螀聿蒀螅蝿膂蚅蚁蝿芄蒈薇螈莆芁袆袇肆蒆螂袆膈艿蚈袅芀蒄蚄袄肀芇薀袃膂薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆羀腿蕿蒂罿芁莂螁羈羁薈螇羇膃莀蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袇羅肇节螃羄膀蒇虿肃节芀薅肂羂蒅蒁肁肄芈袀肁芆薄螆肀荿莆蚂聿肈薂薈肈膁莅袇肇芃薀螃膆莅莃虿膅肅薈薅螂膇莁蒀螁莀蚇衿螀聿蒀螅蝿膂蚅蚁蝿芄蒈薇螈莆芁袆袇肆蒆螂袆膈艿蚈袅芀蒄蚄袄肀芇薀袃膂薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆羀腿蕿蒂罿芁莂螁羈羁薈螇羇膃莀蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袇羅肇节螃羄膀蒇虿肃节芀薅肂羂蒅蒁肁肄芈袀肁芆薄螆肀荿莆蚂聿肈薂薈肈膁莅袇肇芃薀螃膆莅莃虿膅肅薈薅螂膇莁蒀螁莀蚇衿螀聿蒀螅蝿膂蚅蚁蝿芄蒈薇螈莆芁袆袇肆蒆螂袆膈艿蚈袅芀蒄蚄袄肀芇薀袃膂薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆羀腿蕿蒂罿芁莂螁羈羁薈螇羇膃莀蚃羇芆蚆蕿