安徽省马鞍山市2017届高三第三次模拟数学理试卷含答案.doc

2017年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测理科数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟考生注意事项： 1答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号 2答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3答第卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效 4考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合，则（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【命题意图】本题考查集合基本运算，难度：简单题（2）已知向量，若实数满足，则（ ）（A）5 （B）6 （C）7 （D）8【答案】B【命题意图】本题考查平面向量相等的定义及坐标运算，难度：简单题（3）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中对应的点位于（ ）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】C【命题意图】本题考查复数，三角函数的基本知识，难度：简单题（4）已知命题函数是奇函数，命题函数在区间上单调递增.则下列命题中为真命题的是（ ）（A）（B）（C）（D） 【答案】A【命题意图】本题考查简易逻辑，难度：中等题（p真q假）（5）执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的整数（ ）开始n=0,S=0输入p结束np?是否第5题图输出S（A）（B）（C）（D）【答案】B【命题意图】本题考查程序框图，中等题（6）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）（A） （B）（C）（D）【答案】A【命题意图】本题考查二项式定理，难度：中等题（7）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20)， 20，22.5)， 22.5,25)，25，27.5)，27.5，30. 根据直方图，若这200名学生中每周的自习时间不超过小时的人数为164，则的值约为（ ）第7题图（A） （B）（C） （D）【答案】B【命题意图】本题考查统计的基础知识，难度：中等题（8）已知等比数列的前项和（），则等于（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【命题意图】本题考查数列的基础知识，难度：中等题（提示：等比数列前n项和的一般形式为 ）（9）已知实数x, y满足，若的最大值为1，则m的值为（ ） （A）（B）2（C）1（D）【答案】A【命题意图】本题考查线性规划的基本知识，难度：中等题（10）已知的顶点都在半径为的球的球面上，球心到平面的距离为，则球的体积是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】 C【命题意图】本题考查球的有关计算，难度：中等题（提示：球半径为2）（11）过双曲线（）的右焦点作直线的垂线，垂足为，交双曲线的左支于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）（A）（B）2（C）（D）【答案】C【命题意图】本题考查双曲线的基本运算，难度：中等题（提示：，由中点公式得在双曲线上）（12）定义在的函数的导函数满足，且，则不等式的解集为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【命题意图】本题考查函数与导数、不等式的综合知识，难度：较难题（提示：由条件知，令，则，故在上是增函数，又，从而，即.第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请在答题卡上答题（13）过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，若AB的中点M到该抛物线准线的距离为5，则线段AB的长度为 .【答案】10【命题意图】本题考查抛物线的基础知识，难度：简单题（14）一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 .第14题图第15题图【答案】【命题意图】本题考查三视图，难度：中等题（15）已知函数（，）的部分图象如上图所示，则 .【答案】【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，中等题（提示：由图象，又,再由）（16）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”. 将数列1，2进行 “扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；. 设第次“扩展”后所得数列为，并记，则数列的通项公式为 .【答案】【命题意图】本题考查数列的综合，较难题（提示：.）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知的内角所对的边分别为，且.（）若为锐角三角形，求的取值范围；（）若，求的面积. 【命题意图】本题考查解三角形的基础知识与基本运算，难度：简单题【解】（）由正弦定理可得， .2分因为为锐角三角形，所以， .4分进而可知，即的取值范围是； .6分（）由（）可知，所以，由余弦定理可知，即，为锐角，解得，所以， .10分从而的面积为. .12分（由结合正弦定理求得亦可）（18）（本小题满分12分）某理财公司有两种理财产品和这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品 产品（其中）投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概 率投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概 率（）已知甲、乙两人分别选择了产品和产品进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围；（）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，在产品和产品之中选其一，应选用哪个？【命题意图】本题考查概率的计算，随机变量的分布列与期望难度：中等题【解】（）记事件为 “甲选择产品且盈利”，事件为“乙选择产品且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，所以 ，所以. 4分又因为，所以.所以. 6分（）假设丙选择产品进行投资，且记为获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：40则. 8分假设丙选择产品进行投资，且记为获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：Y20则. 10分当时，选择产品和产品一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品和产品中任选一个；当时，选择产品一年后投资收益的数学期望大，应选产品； 当时，选择产品一年后投资收益的数学期望大，应选产品. 12分（19）（本小题满分12分） 如图，四棱柱中，底面，四边形为梯形，且，为的中点，过三点的平面记为.（）证明：平面与平面的交线平行于直线； （）若，求平面与底面所成二面角的大小.【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系，空间想象能力，空间角的计算问题难度：中等题【解】（）如图，延长,交于点，因为，且，所以，又为的中点，所以三点共线，此时平面与平面的交线为，又平面平面，根据面面平行的性质定理可得，平面与平面的交线平行于直线；6分（）在梯形中，由题意可计算出，进而可计算，说明梯形是等腰梯形，所以有，进一步可知为等边三角形，连接、，则，又，所以，此时就是平面与底面所成二面角的平面角，在直角中，所以，即平面与底面所成二面角的大小为.6分（20）（本小题满分12分）平面直角坐标系中，过椭圆：（）焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为9.（）求的方程；（）是的左、右顶点，是上的两点，若，求四边形面积的最大值.【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系，运算求解能力的培养难度：中等题【解】（）设，则，由此可得，因为，所以，又由题意知，的一个焦点为，故.因此，所以的方程为.5分（）由题意可设直线的斜率为，所以直线的方程为，联立方程组可得，所以有，进而可得，所以，7分同理可计算出，所以四边形面积，9分设，令（），所以，此时，当且仅当时取得等号，所以四边形面积的最大值为.12分（21）（本小题满分12分）已知函数（）.（）当时，判断函数的零点个数；（）若，求的最大值.【命题意图】本题考查函数与导数的综合应用难度：较难题【解】（）当时，定义域为，当时，所以函数在内无零点；当时，因为，所以，说明函数在上单调递减，又，当时，所以函数在内有且只有一个零点；综上，函数的零点个数是1；5分（）若，即，设，若，则当时，显然，故不符合题意，所以.7分（），当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减；从而，由题意可知，所以，9分此时，令，可知在上单调增，在上单调减，所以，故的最大值为.12分四、请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（）若与相交于两点，设点，求的值.【命题意图】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化方法，直线与椭圆的位置关系，中等题【解】（I）（为参数），所以曲线的普通方程为. 2分，所以的直角坐标方程为. 5分（）由题意可设，与两点对应的参数分别为，将的参数方程代入的直角坐标方程，化简整理得，所以， 7分所以，因为，所以，所以 10分（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式