高考数学复习第六讲解析几何微专题1直线与圆学案理.docx

微专题1直线与圆命 题 者 说考 题 统 计考 情 点 击2018全国卷T6直线与圆位置关系的应用2018北京高考T7点到直线距离的最值2017全国卷T10直线与圆的位置关系2016全国卷T4圆的方程、点到直线的距离1.圆的方程近两年为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注。此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现。2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。考向一 直线的方程【例1】(1)已知直线l1：(k3)x(4k)y10与直线l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是()A1或3 B1或5C3或5 D1或2(2)在ABC中，A(1,1)，B(m，)(1m4)，C(4,2)，则当ABC的面积最大时，m()A BC D解析(1)当k4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，所以两直线不平行；当k4时，两直线平行的一个必要条件是k3，解得k3或k5；但必须满足(截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件。故选C。(2)由两点间距离公式可得|AC|，直线AC的方程为x3y20，所以点B到直线AC的距离d，从而ABC的面积S|AC|d|m32|，又1m4，所以10，b0)，由直线l过点M(2,2)，得1，又SOABab8，所以a4，b4，不妨设A(4,0)，B(0,4)，OAB外接圆的方程为x2y2DxEyF0，则将O，A，B的坐标分别代入得解得所以OAB外接圆的方程为x2y24x4y0，标准方程为(x2)2(y2)28。解法二：设直线l的方程为1(a0，b0)，由直线l过点M(2,2)，得1。又SOABab8，所以a4，b4，所以OAB是等腰直角三角形，且M是斜边AB的中点，则OAB外接圆的圆心是点M(2,2)，半径|OM|2，所以OAB外接圆的标准方程是(x2)2(y2)28。答案(1)B(2)(x2)2(y2)28求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过已知条件，利用相应的几何知识求圆的圆心，半径。(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数。 变|式|训|练1抛物线y24x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为_。解析由题意知，A(1,2)，B(1，2)，M(1,0)，AMB是以点M为直角顶点的直角三角形，则线段AB是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x1)2y24。答案(x1)2y242在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_。解析解法一：由题意得：半径等于 ，当且仅当m1时取等号，所以半径最大为r，所求圆为(x1)2y22。解法二：直线mxy2m10，ym(x2)1恒过点M(2，1)，如图，设C(1,0)，则M为切点时半径最大，且rmax|CM|，所以半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22。答案(x1)2y22考向三 直线与圆的位置关系微考向1：直线与圆的相交弦【例3】(1)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点，若|MN|，则直线l的方程为_。(2)设直线xya0与圆x2y24相交于A，B两点，O为坐标原点，若AOB为等边三角形，则实数a的值为()A B C3 D9解析(1)直线l的方程为ykx1，圆心C(2,3)到直线l的距离d，由R2d22得1，解得k2或，所求直线l的方程为y2x1或yx1。(2)由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为2，则AOB的边长为2，所以AOB的高为，即圆心到直线xya0的距离为，所以，解得a。故选B。答案(1)y2x1或yx1(2)B(1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较。(2)弦长的求解方法根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2d2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l2。根据公式：l|x1x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)，或根据l|y1y2|求解。求出交点坐标，用两点间距离公式求解。 变|式|训|练(2018合肥一模)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，圆心到直线l的距离为d1，所以|AB|22，符合题意。当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx3，因为圆x2y22x2y20即(x1)2(y1)24，所以圆心为C(1,1)，圆的半径r2，易知圆心C(1,1)到直线ykx3的距离d，因为d22r2，所以34，解得k，所以直线l的方程为yx3，即3x4y120。综上，直线l的方程为3x4y120或x0。故选B。答案B微考向2：直线与圆位置关系的应用【例4】(1)(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6 B4,8C，3 D2，3(2)(2018北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos，sin)到直线xmy20的距离。当，m变化时，d的最大值为()A1 B2C3 D4解析(1)因为直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点。所以A(2,0)，B(0，2)，则|AB|2。因为点P在圆(x2)2y22上，所以圆心为(2,0)，则圆心到直线的距离d12。故点P到直线xy20的距离d2的取值范围为，3。则SABP|AB|d2d22,6。故选A。(2)解法一：因为cos2sin21，所以P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又xmy20表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(1,0)到直线x2的距离即为d的最大值。故选C。解法二：由题意可得d，因为1sin()1，所以d，1，所以当m0时，d取最大值3。故选C。答案(1)A(2)C利用圆的图形特征求解有关距离的最值问题往往比一些常规的方法简单、便捷。 变|式|训|练1(2018太原五中模拟)已知kR，点P(a，b)是直线xy2k与圆x2y2k22k3的公共点，则ab的最大值为()A15 B9C1 D解析由题意得，圆心到直线xy2k的距离d，且k22k30，解得3k1，因为2ab(ab)2(a2b2)4k2(k22k3)3k22k3，所以当k3时，ab取得最大值9。故选B。答案B2(2018山西晋中二模)由直线yx1上的一点P向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为_。解析设圆心M到直线yx1的距离为d，则d2，所以|PM|的最小值为2。所以切线长l。则切线长的最小值为。答案1(考向一)已知直线l1：ax(a2)y10，l2：xay20，其中aR，则“a3”是“l1l2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析直线l1l2的充要条件是a(a2)a0，所以a(a3)0，所以a0或a3。故选A。答案A2(考向二)(2018安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线xy0上，圆C与直线xy0相切，且在直线xy30上截得的弦长为，则圆C的方程为_。解析因为所求圆的圆心在直线xy0上，所以设所求圆的圆心为(a，a)。又因为所求圆与直线xy0相切，所以半径r|a|。又所求圆在直线xy30上截得的弦长为，圆心(a，a)到直线xy30的距离d，所以d22r2，即2a2，解得a1，所以圆C的方程为(x1)2(y1)22。答案(x1)2(y1)223(考向三)(2018郑州外国语中学调研)已知圆C1：(x2a)2y24和圆C2：x2(yb)21只有一条公切线，若a，bR且ab0，则的最小值为()A2 B4 C8 D9解析由题意可知，圆C1的圆心为(2a,0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以21，即4a2b21。所以(4a2b2)5529，当且仅当，且4a2b21，即a2，b2时等号成立，所以的最小值为9。故选D。答案D4(考向三)(2018南宁、柳州联考)过点(，0)作直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于_。解析令P(，0)，如图，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，当AOB90时，AOB的面积取得最大值，此时过点O作OHAB于点H，则|OH|，于是sinOPH，易知OPH为锐角，所以OPH30，则直线AB的倾斜角为150，故直线AB的斜率为tan150。答案5(考向三)某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校