2019高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法课后训练案巩固提升.docx

2.2.1综合法和分析法课后训练案巩固提升一、A组1.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,+),当x1f(x2)”的是()A.f(x)=B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1)解析:本题就是判断哪一个函数在(0,+)内是减函数,A项中,f(x)=-bc,且a+b+c=0,求证:a,则证明的依据应是()A.a-b0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0解析:ab2-ac3a2(a+c)2-ac0(a-c)(a-b)0.答案:C3.命题“如果数列an的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列an一定是等差数列”是否成立()A.不成立B.成立C.不能断定D.与n取值有关解析:当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-5,又a1=S1=212-31=-1适合上式,所以an=4n-5(nN*),则an-an-1=4(常数),故数列an是等差数列.答案:B4.已知函数f(x)=cos(3x+4)是奇函数,则等于()A.(kZ)B.k+(kZ)C.k(kZ)D.(kZ)解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对xR恒成立,即cos(-3x+4)=-cos(3x+4),亦即cos(3x-4)+cos(3x+4)=0,所以2cos 3xcos 4=0,因此cos 4=0,4=k+(kZ),解得=(kZ).答案:A5.要证a2+b2-1-a2b20,只需证明()A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-0C.-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0解析:a2+b2-1-a2b20(a2-1)(b2-1)0,由分析法知选D.答案:D6.已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证:8.证明过程如下:因为a,b,c为正实数,且a+b+c=1,所以-1=0,-1=0,-1=0,所以=8.当且仅当a=b=c时取等号,所以不等式成立.这种证法是.解析:本题从已知条件出发,不断地展开思考,去探索结论,这种方法是综合法.答案:综合法7.平面内有四边形ABCD和点O,且满足,则四边形ABCD为.解析:因为,所以,即,故四边形ABCD为平行四边形.答案:平行四边形8.在锐角三角形ABC中,求证:tan Atan B1.证明:要证tan Atan B1,只需证1,因为A,B均为锐角,所以cos A0,cos B0.因此只需证明sin Asin Bcos Acos B,即cos Acos B-sin Asin B0,只需证cos(A+B)0.而ABC为锐角三角形,所以90A+B180,所以cos(A+B)1.9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,点E是PC的中点.(1)证明CDAE.(2)证明PD平面ABE.证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,因为PA底面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.因为ACCD,PAAC=A,所以CD平面PAC.又因为AE平面PAC,所以CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.因为点E是PC的中点,所以AEPC.由(1)知,AECD,又PCCD=C,所以AE平面PCD.又因为PD平面PCD,所以AEPD.因为PA底面ABCD,AB平面ABCD,所以平面PAAB.又ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD.因为PD平面PAD,所以ABPD.又因为ABAE=A,所以PD平面ABE.10.已知ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列.试分别用分析法和综合法证明B为锐角.思路分析:在ABC中,要证B为锐角,只需证cos B0,结合余弦定理可解决问题.证明:分析法:要证明B为锐角,只需证cos B0.cos B=,只需证明a2+c2-b20,即a2+c2b2.又a2+c22ac,只需证明2acb2.由已知,得2ac=b(a+c),只需证明b(a+c)b2,即只需证明a+cb.而a+cb显然成立,故B为锐角.综合法:由题意,得,则b=,b(a+c)=2ac.a+cb,b(a+c)=2acb2.cos B=0.又0B,0BQB.P=QC.PQD.由a的取值决定解析:当a=1时,P=1+2,Q=2+,PQ,故猜想当a0时,PQ.证明如下:要证PQ,只需证P2Q2,只需证2a+7+22a+7+2,即证a2+7aa2+7a+12,只需证012,012成立,P0”是“ABC为锐角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若ABC为锐角三角形,则A必为锐角,因此一定有0,但当0时,只能得到A为锐角,这时ABC不一定为锐角三角形.答案:B3.在ABC中,C=,a,b,c分别为A,B,C的对边,则=.解析:因为C=,所以a2+b2=c2+ab,所以(a2+ac)+(b2+bc)=c2+ab+ac+bc=(a+c)(b+c),所以=1.答案:14.如图,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直)中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).解析:要证明A1CB1D1,只需证明B1D1平面A1C1C.因为CC1B1D1,只要再有条件B1D1A1C1,就可证明B1D1平面A1C1C,从而得答案为B1D1A1C1.答案:B1D1A1C1(答案不唯一)5.设a,b,c,d均为正数,求证:.证明:要证明成立,只需证(a+b)2+(b+c)2,即证ac+bd,就是证(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,就是证b2c2+a2d22abcd,也就是证(bc-ad)20,此式显然成立,故所证不等式成立.6.在锐角三角形ABC中,已知3b=2asin B,且cos B=cos C,求证:ABC是等边三角形.证明:ABC为锐角三角形,A,B,C,由正弦定理及条件,可得3sin B=2sin Asin B.B,sin B0,3=2sin A,sin A=.A,A=.又cos B=cos C,且B,C,B=C.又B+C=,A=B=C=.从而ABC是等边三角形.7.导学号40294013是否存在常数C,使不等式C对任意正数x,y恒成立?若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.解:存在常数C=使不等式成立.证明如下:x0,y0,要证,只需证3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2x+y)(x+2y),即证x2+y22xy,此式显然成立.再证,只需证3x(2x+y)+3y(x+2y)2(x+2y)(2x+y),即证x2+y22xy,此式显然成立.综上所述,存在常数C=,使得不等式C对任意正数x,y恒成立.8.求证:当x0,1时,xsin xx.证明:记F(x)=sin x-x,则F(x)=cos