《理学概率ch》PPT课件.ppt

第二章 随机变量及其分布,随机变量 离散型随机变量及其分布律 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布,关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是 随机变量,顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定”的变量，正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件机会表现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一 定的概率,最简单的例子如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1，6等6个值到底是哪一个，要等掷了骰子以后才知道因此又可以说，随机变量就是试验结果的函数从这一点看，它与通常的函数概念又没有什么不同把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前我们不能预知它将取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，一旦试验后，取值就确定了比如你在星期一买了张奖券，到星期五开奖在开奖之前，你这张奖券中奖的金额X是一个随机变量，其值耍到星期五的“抽奖试验”做过以后才能知道,明白了这一点就不难举出一大堆随机变量的例子比如，你在某厂大批产品中随机地抽出100个，其中所含废品数X；一月内某交通路口的事故数X；用天平秤量某物体的重量的误差X；随意在市场上买来一架电视机，其使用寿命X等等，都是随机变量 若把随机变量X取所有可能值的概率计算出来，列成一个表格，则很容易算出任何一个由X取值落在某一区域表示的事件，如掷骰子，至少掷出1点的概率。,关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量当然，有时我们所关心的是某个或某些特定的随机事件例如，在特定一群人中，年收入十万元以上的高收入者，及年收入在8000元以下的低收入者，各自的比率如何，这看上去像是两个孤立的事件可是，若我们引进一个随机变量的X： X随机抽出一个人其年收入，则X是我们关心的随机变量上述两个事件可分别表为X10万和X0.8万这就看出：随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念之内也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量,定义. 设S=e是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。 随机变量常用X、Y、Z 或 、等表示。,随机变量的特点:,1、 X的全部可能取值是互斥且完备的,2 、X的部分可能取值描述随机事件,1随机变量,一个随机变量是一个未知具体数值的变量，它的取值可能或代表样本空间中任何可能的元素。样本空间中的元素有一定的概率分布（概率密度）。因此我们说随机变量是以一定的概率取到不同的可能值,?,请举几个实际中随机变量的例子,例 引入适当的随机变量描述下列事件： 将3个球随机地放入三个格子中， 事件A=有1个空格，B=有2个空格， C=全有球。 进行5次试验，事件D=试验成功一次， F=试验至少成功一次，G=至多成功3次,说 明,随机变量的分类： 随机变量,一、离散型随机变量的概念,离散型随机变量的定义,如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无 穷个，则称 X 为离散型随机变量,2离散型随机变量,二、 离散型随机变量,1 、定义 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称X为离散型随机变量，而称 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )， 或,(1) pk 0, k1, 2, ; (2),例 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。 解 k可取值0，1，2,2. 分布律的性质,例1 某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。,解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1,A2,A5,相互独立且 P(Ai)=p,i=1,2,5. SX=0,1,2,3,4,5,(1-p)5,例 2,从110这10个数字中随机取出5个数字，令： X：取出的5个数字中的最大值 试求 X 的分布律 解： X 的取值为5，6，7，8，9，10 并且,具体写出，即可得 X 的分布律：,例 3,将 1 枚硬币掷 3 次，令： X：出现的正面次数与反面次数之差 试求 X 的分布律 解： X 的取值为-3，-1，1，3 并且,例 4,设离散型随机变量 X 的分布律为,则,例 4（续）,例 5,设随机变量 X 的分布律为,解：由随机变量的性质，得,该级数为等比级数，故有,所以,设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以 X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律. (信号灯的工作是相互独立的).,PX=3=(1-p)3p,可爱的家园,例 6,解： 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：,X pk,0 1 2 3 4,p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4,或写成 PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4,例 6(续),以 p = 1/2 代入得：,X pk,0 1 2 3 4,0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625,例 6(续),几个常用的离散型分布 （一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布,1. (0-1)分布 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(01)分布(两点分布) XPXkpk(1p)1k, (0p1) k0，1 或,若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。记作XB（n,p) 分布律为：,2. 定义 设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.,例7 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.,解:(1)由题意,XB(6,1/3),于是,X的分布律为:,例8,一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案， 其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能 答对4道题的概率是多少？ 解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，,则答5道题相当于做5重Bernoulli试验,返回主目录,例 8（续）,所以,返回主目录,例9 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。,泊松定理 设随机变量XnB(n, p), (n0, 1, 2,), 且n很大，p很小，记=np，则,解 设X表示400次独立射击中命中的次数， 则XB(400, 0.02)，故 PX21 PX0P X1 10.98400(400)(0.02)(0.98399)=,上题用泊松定理 取 =np(400)(0.02)8, 故 近似地有,PX21 PX0P X1 1(18)e80.996981.,（二. ） 泊松(Poisson)分布P() XPXk , k0, 1, 2, (0),泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布,Poisson分布的应用,Poisson分布是概率论中重要的分布之一 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的,例 9,设随机变量 X 服从参数为的Poisson分布，且已知,解： 随机变量 X 的分布律为,由已知,例 9（续）,得,由此得方程,得解,所以，,返回主目录,例 10,例 10（续）,解：设 B= 此人在一年中得3次感冒 ,则由Bayes公式，得,例10 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。,解:由题意,例11 进行独立重复试验，每次成功的概率为p， 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。,解:m=1时,m1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,PX=m+1=P第m+1次试验时成功并且 在前m次试验中成功了m-1次,为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现 有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生 故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备的故障 可有一人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保 证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ？,解：设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台数为 X ，则 X b(300，0.01），需要确定最小的 N 的取值，使得：,例 12,查表可知，满足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配备 8 个工人。,设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法： 其一，由 4人维护，每人负责 20 台 其二，由 3 人,共同维护 80 台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.,例 13,解：按第一种方法. 以 X 记 “第 1 人负责的 20 台 中同一时刻发生故障的台数”，则 X b (20，0.01）.,以 Ai 表示事件 “第 i 人负责的台中发生故障不能及 时维修”， 则 80 台中发生故障而不能及时维修的概 率为：,例 13(续),按第二种方法. 以 Y 记 80 台中同一时刻发生故障 的台数， 则 Y b(80，0.01）. 故 80 台中发生故障而 不能及时维修的概率为：,例 13(续),第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维 修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题，可以 有效地使用人力、物力资源。,4）几 何 分 布,若随机变量 X 的分布律为,5）超 几 何 分 布,如果随机变量 X 的分布律为,超几何分布的概率背景,一批产品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件 为正品现从中取出 n 件 令： X：取出 n 件产品中的次品数 则 X 的分 布律为,想一想：离散型随机变量的统计特征可以 用分布律描述，非离散型的该如何描述？ 如：熊猫彩电的寿命X是一个随机变量，对 消费者来说，你是否在意 X5年还是X5年零1分钟,2.3 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念.,定义 设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数。 记为F(x)，即 F(x)P Xx. 易知，对任意实数a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a).,二、分布函数的性质,1、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)F(x2); 2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且,3、右连续性：对任意实数x，,反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。,一般地，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为,例1 设随机变量X具分布律如右表,解,试求出X的分布函数。,例2 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数 解： F(x)=PXx,当x1时,F(x)=1,当0x1时,特别,F(1)=P0x1=k=1,例 3 设随机变量 X 的分布律为： 求 X 的分布函数.,X pk,-1 2 3,解：当 x -1 时，满足,0,x,X,-1,x,当,满足 X,x 的 X 取值为 X = -1,x,X,-1,x,当,满足 X,x 的 X 取值为 X = -1, 或 2,X pk,-1 2 3,同理当,-1 0 1 2 3 x,1,-1 0 1 2 3 x,1,-1 0 1 2 3 x,1,分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,) 处有跳跃， 其跳跃值为 pk=PX= xk.,X pk,-1 2 3,例 4 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.,解：,（1） 若 x 0, 则 是不可能事件，于是,（2）,X,（3） 若 , 则 是必然事件，于是,0 1 2 3,1,F(x),x,分 布 函 数 的 性 质,分别观察离散型、连续型分布函数的图象， 可以 看出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质：,10 F (x) 是一个不减的函数,0 1 2 3,1,F(x),x,返回主目录,20,30,-1 0 1 2 3 x,1,用分布函数计算某些事件的概率,用分布函数计算某些事件的概率,用分布函数计算某些事件的概率,例 3,例 4,设随机变量 X 的分布函数为,解： 由分布函数的性质，我们有,例 4（续）,解方程组,得解,用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？,?,a,b,2.4 连续型随机变量 一、概率密度,1. 定义 对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为 X f(x) , (-x+),密度函数的几何意义为,密度函数的性质 (1) 非负性 f(x)0，(-x)； (2)归一性,性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；,例1 设随机变量X的概率密度为,求常数a.,答:,返回主目录,注 意,连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！,连续型随机变量的一个重要特点,说 明,由上述性质可知，对于连续型随机变量，我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题,返回主目录,(3) 若x是f(x)的连续点，则,例2 设随机变量X的分布函数为求f(x),（5） 对任意实数b，若X f(x)，(-x)，则PX=b0。 于是,例3 已知随机变量X的概率密度为 1)求X的分布函数F(x), 2)求PX(0.5,1.5),例 4,设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,解： 由密度函数的性质,返回主目录,例 4（续）,返回主目录,例 4（续）,返回主目录,例 5,某电子元件的寿命（单位：小时）是以,为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率. 解： 设：A= 某元件在使用的前 150 小时内需要更换,返回主目录,例 5（续）,检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5 重Bernoulli试验 B= 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150小时 ,返回主目录,例6,返回主目录,例 7,返回主目录,例 7（续）,返回主目录,例 7（续）,返回主目录,例7（续）,返回主目录,二、几个常用的连续型分布,1. 均匀分布 若Xf(x),则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 XU(a, b),对任意实数c, d (acdb)，都有,例8 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率,15,45,解：设A乘客候车时间超过10分钟 X乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60),2. 指数分布 若 X,则称X服从参数为0的指数分布。其分布函数为,例9 电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？,解,例10 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T， 设0，t时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊松分布，求T的概率密度。,正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。,3. 正态分布,A,B,A，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？,其中 为实数， 0 ，则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为N(, 2)，可表为XN(, 2).,若随机变量,(1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称； f()maxf(x) .,正态分布有两个特性：,(2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布,4.标准正态分布 参数0，21的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0, 1)。,分布函数表示为,其密度函数表示为,一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P226附表1)如，若 ZN（0，1）,（0.5)=0.6915, P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066,注：(1) (x)1 (x)； (2) 若XN(, 2)，则,例11 设随机变量XN(-1,22),P-2.45X2.45=?,例 设 XN(,2),求 P-3X+3,本题结果称为3 原则.在工程应用中，通常认为P|X|3 1，忽略|X|3的值. 如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.,例12 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故,则 YB(3,p),其中,一、离散型随机变量函数的分布律,2.5 一维随机变量函数的分布,设X一个随机变量，分布律为 XPXxkpk, k1, 2, 若yg(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.,例1 已知,-1