冲刺2019高考数学二轮复习核心突破专题08三角形中的三角问题的探究（含解析）.docx

专题08 三角形中的三角问题的探究【自主热身，归纳总结】1、在ABC中，若9cos2A4cos2B5，则的值为_【答案】：【解析】：由题意得，9(12sin2A)4(12sin2B)5，即9sin2A4sin2B，所以.2、 在中，已知边上的中线，则的值为 .【答案】：【解析】 设为的中点，连接，则，且,设，在中,由余弦定理可得，即,解得（舍去），即，所以在中,由余弦定理可得，即，又因为，所以由正弦定理，可得 3、如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD30，BDC120，CD10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_m.【答案】： 30【解析】：在BCD中，由正弦定理得BC1010(m)在RtABC中，ABBCtan6030(m)4、在中，边的垂直平分线交边于，若，,则的面积为 .【答案】： 【解析】 在中，由余弦定理可得，即，解得或5，所以或12，所以的面积为或. 5、在锐角中，角的对边分别为，且,为的中点，则的长为 . 【答案】： （方法2）由正弦定理可得，又由，可得， 又由锐角，可得,在中, 由余弦定理可得,即，所以在中, 由余弦定理可得,即.6、在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若6cosC，则的值是_【答案】：. 4【解析】：由6cosC及余弦定理，得6，化简得a2b2c2.又6cosC及正弦定理，得6cosC，故sinAsinBcosC(sin2Bsin2A)又，所以4.7、在中, 角所对的边分别为，且满足,则的最大值为 【答案】：.【解析】 由，得， 由正弦定理可得，由余弦定理可得，化简得，又因为，当且仅当时等号成立，可得，所以的最大值为.8、已知在中， 为的中点，当最小时， 的面积为. （2）设的角所对的边分别为，若，求面积的最大值.解：（1）由题意，得， 当取最大值时，即，此时，所以的取值集合为. 【关联2】、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，（1）求的值； （2）求函数的值域【解析】：（1）因为，所以 由余弦定理得 因为，所以 （2）因为，所以， 所以因为，所以 因为又因为，所以，所以的值域为 易错警示 第（2）问中易忽略的范围而出错【关联3】、在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a(sinBsinC，sinCsinA)，b(sinBsinC，sinA)，且ab.(1) 求角B的大小；(2) 若bccosA，ABC的外接圆的半径为1，求ABC的面积【解析】：(1) 因为ab，所以ab0，即sin2Bsin2CsinA(sinCsinA)0，即sinAsinCsin2Asin2Csin2B，由正弦定理得aca2c2b2，所以cosB，因为B(0，)，所以B.(2) 因为ccosAb，所以，即b2c2a2，又aca2c2b2，b2RsinB，解得a1，c2.(12分)所以SABCacsinB.例2、在中，三个内角，的对边分别为，设的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，求的取值范围（2）由向量，得由（1）知，所以，所以所以 所以 所以即取值范围是【变式1】、在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列(1) 若，b，求ac的值；(2) 求2sinAsinC的取值范围【解析】：(1) 因为A，B，C成等差数列，所以B.因为，所以accosB，所以ac，即ac3.因为b，b2a2c22accosB，所以a2c2ac3，即(ac)23ac3，所以(ac)212，所以ac2.(2) 2sinAsinC2sinsinC2sinCcosC.因为0C，所以cosC.所以2sinAsinC的取值范围是. 【变式2】、在ABC中，角，所对的边分别为，c已知（1）求角的大小；（2）设，求T的取值范围【解析】（1）在ABC中，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以（2）因为，所以，故，因此，所以方法总结：原条件利用“化边为角”或“化角为边”两种思路均可求解，若对等式两边同时加1，再进行转化，更为便捷；第二问中可利用均值代换，不妨设，求解，可简化求解过程【关联1】、已知三个内角，的对应边分别为，且，当取得最大值时，的值为 【答案】 【解析】： 设（），则，因为，所以由正弦定理得：，所以，由得，从而当，即时，取最大值，此时，所以。点评：为了研究，所以可以考虑以和的夹角为参数，并利用正弦定理将表示出来，特别是将用表示时，三角恒等变换是关键，然后求出时，取最大值，这时再取就不困难了。【关联2】、 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ABC为锐角三角形，且满足b2a2ac，则的取值范围是_【答案】 思路一，根据题意可知，本题可以从“解三角形和三角恒等变换”角度切入，又因已知锐角和边的关系，而所求为正切值，故把条件化为角的正弦和余弦来处理即可；思路二，本题所求为正切值，故可以构造直角三角形，用边的关系处理解法1 原式可化为.由b2a2ac得，b2a2aca2c22accosB，即ac2acosB，也就是sinAsinC2sinAcosB，即sinAsin(AB)2sinAcosBsin(BA)，由于ABC为锐角三角形，所以有ABA，即B2A，故，在锐角三角形ABC中易知，B，sinBa，即1，在锐角三角形ABC中有b2a2c2，则a2a2acc2，即220，解得12，因此，12.而.【关联3】、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B60，ac4.(1) 当a，b，c成等差数列时，求ABC的面积；(2) 设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值【解析】： (1)因为a，b，c成等差数列，所以b2，由余弦定理，得b2a2c22accosB(ac)23ac163ac4，解得ac4. 所以SABCacsinB4.(8分)(2) 解法1 因为D为AC边的中点，所以(), 则2()2(222)(c22accosBa2)(ac)2ac4ac 423，当且仅当ac2时取等号，所以线段BD长的最小值为.解法2 因为D为AC边的中点，所以可设ADCDd，由cosADBcosCDB0，得0，即BD2d28acd2，又因为b2a2c22accosB(ac)23ac163ac，即4d2163ac，所以d24ac，故BD24ac423，当且仅当ac2时取等号，所以线段BD长的最小值为 一般地，在题目中出现“ab，a2b2，ab”三者关系时有两种思考角度，一个是用基本不等式，一个是用根与系数的关系，当然必须要利用恒等式2a22abb2把题设中“ab，a2b2，ab”化为两者的关系例3、已知正三角形ABC的边长为2，点P为线段AB中垂线上任意一点，Q为射线AP上一点，且满足1，则|的最大值为_【答案】 【解析】： 求的最大值，就是求线段CQ长的最大值，因为点C为定点，而点Q是随着点P的运动而运动的，那么就要关注点Q是如何运动的，即要先求出点Q的轨迹方程，通过建系可求得点Q的轨迹方程，通过点Q的轨迹方程发现其轨迹是一个圆，接下来问题就转化为定点与圆上动点的距离最大值问题，问题就很明了了解法1(坐标法) 以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，)，因为点P为线段AB中垂线上任意一点，所以点P坐标可设为P(1，t)(tR)，又因为Q为射线AP上一点，设Q(x，y)，则根据A，P，Q共线，即有txy.由1，得xty1，消去t，即有x2y2x0，即y2，故Q是以圆心为M，半径r的圆上的动点，因此的最大值为CMr.解法2(几何法) 以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设AB的中点为D，则AD1，因为Q为射线AP上一点，且满足1，所以APAQ1AD2，所以点Q为RtADP的直角顶点D在斜边AP上的射影，即DQAP，所以点Q是以AD为直径的圆上的动点，下同解法1.解法3(解三角形) 如图，设AB中点为O，由题可知当点P在线段CO的延长线上时，CQ取得最大值令BAP，则OPtan，(1tan2)1，AQ22(1tan2)cos2.在ACQ中，由余弦定理得CQ24cos222coscossin2cos2，所以CQ. 一般与动点有关的最值问题，往往运用轨迹思想，首先探求动点的轨迹方程，通过轨迹方程了解其轨迹图形大多数情况下所求轨迹为圆，在此基础上可将问题转化为点与圆的关系或直线与圆的关系或两圆之间的关系这是近几年常考题型，即隐形圆问题，圆是C级考点，是必考的，此类题型值得关注 【变式1】、设的面积为2，若所对的边分别为，则的最小值为 【答案】：解法1(建系法)：以为轴，的中垂线为轴，建立如图所示直角坐标系.则，由于的面积为2，则点到轴的距离为，故可设点的坐标为，令=，即，据题意，存在使得关于的方程成立，故，所以（当且仅 当时取等号）.解法2（解三角形法1）：因为欲求的最小值，故为最大边.如图，过点作边的高，垂足为，不妨设，则有，故=.令对符合条件的恒成立，即对符合条件的恒成立，故解得（当且仅当时，等式成立，即取到最小值），故.解法3（解三角形法2）：由题意，即，由余弦定理知，代入得，=，再把代入上式得，令，因为欲求的最小值，故为最大边，则，而，解得，易知，故的最小值为.【规律总结】用代数法处理多元问题的常见思路有：换元、消元、并元、常量处理，以及常值代换等，其目的是把变量的个数减少到一个或两个、或把所求表达式化简或者化对称等作用. 【变式2】、 已知ABC中，ABAC，ABC所在平面内存在点P使得PB2PC23PA23，则ABC面积的最大值为_【答案】 【解析】：解法1 以BC为x轴，BC中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图，A(0，b)，B(a，0)，C(a，0)，P(x，y)，则依题意有a2b23，PA2x2(yb)21，PB2PC2(xa)2y2(xa)2y22(x2y2a2)3，联立得2b(yb)，两边平方得4b2(yb)24b2(1x2)4b2，即b2，所以b，而SABCab，即(SABC)max.解法2 设BC中点为D，PA1，以PB，PC为邻边作平行四边形，因为平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和，所以有PB2PC2(BC24PD2)3，所以BC26，即BC，故cosBAC0，所以AD.设BAC2，则BC2sin，PDADPAcos1，代入PB2PC2(BC24PD2)3，得cos，所以SABCABACsin23sincos3，当cos时等号成立所以(SABC)max.解法3 设A(0，0)，P(0，1)，B，C在圆A：x2y23上，B(x1，y1)，C(x2，y2)满足xy3，i1，2.由PB2PC23得x(y11)2x(y21)23，得到，即BC中点M的轨迹为直线y被圆A截得的一线段设tAM，所以t0，则c