高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第1课时空间向量与平行、垂直关系学案.docx

第1课时空间向量与平行、垂直关系1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念2.会求平面的法向量3能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中的平行、垂直关系1直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个(2)平面的法向量直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量2空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lmababa1a2，b1b2，c1c2(R)(2)线面平行设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，则lauau0a1a2b1b2c1c20.(3)面面平行设平面，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则uvuva1a2，b1b2，c1c2(R)3空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lmabab0a1b1a2b2a3b30(2)线面垂直设直线l的方向向量是a(a1，b1，c1)，平面的法向量是u(a2，b2，c2)，则lauaua1a2，b1b2，c1c2(R)(3)面面垂直若平面的法向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则 uv uv0 a1a2b1b2c1c20 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反()(2)平面的法向量是惟一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量()(3)两直线的方向向量平行，则两直线平行()(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直()答案：(1)(2)(3)(4) 若A(1，0，1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A(2，2，6) B(1，1，3)C(3，1，1) D.(3，0，1)答案：A 若平面，且平面的一个法向量为n，则平面的法向量可以是()A. B(2，1，0)C(1，2，0) D.答案：C 若直线的方向向量为u1，平面的法向量为u2(3，2，z)，则当直线与平面垂直时z_答案： 设平面的法向量为(1，3，2)，平面的法向量为(2，6，k)，若，则k_答案：4探究点1求直线的方向向量与平面的法向量学生用书P64如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点，ABAP1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量【解】因为PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0)，E，B(1，0，0)，C(1，0)，于是，(1，0)设n(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即所以令y1，则xz.所以平面ACE的一个法向量为n(，1，)变问法本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量解：如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，0)，所以(1，1)，即为直线PC的一个方向向量设平面PCD的法向量为n(x，y，z)因为D(0，0)，所以(0，1)由即所以令y1，则z.所以平面PCD的一个法向量为(0，1，)待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n(x，y，z)(2)选向量：在平面内选取两不共线向量，.(3)列方程组：由列出方程组(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取1)(6)得结论：得到平面的一个法向量 1.已知A(0，y，3)，B(1，2，z)，若直线l的方向向量v(2，1，3)与直线AB的方向向量平行，则yz等于()A3 B0C1 D.3解析：选B.由题意，得(1，2y，z3)，则，解得y，z，所以yz0，故选B.2在ABC中，A(1，1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点(1)求平面ABC的一个法向量；(2)求x，y，z满足的关系式解：(1)设平面ABC的法向量n(a，b，c)因为(2，4，1)，(2，2，1)，所以，所以，令b2，则a3，c2.所以平面ABC的一个法向量为n(3，2，2)(2)因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点，所以n，所以3(x1)2(y1)2(z2)0，所以3x2y2z10.故x，y，z满足的关系式为3x2y2z10.探究点2利用空间向量证明平行关系学生用书P64已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点求证：FC1平面ADE.【证明】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)(0，2，1)，(2，0，0)，(0，2，1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则即解得令z12，则y11.所以n1(0，1，2)因为n1220.所以n1.因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.变问法在本例条件下，求证：平面ADE平面B1C1F.证明：由本例证明知(2，0，0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量由n2，n2，得得令z22得y21，所以n2(0，1，2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示；是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12，点M在棱BB1上，且BM2MB1，点S在DD1上，且SD12SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点求证：MNRS.证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M(3，0，)，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，)所以(3，2，)，(3，2，)，所以，所以，因为MRS，所以MNRS.法二：设a，b，c，则cab，bac.所以，所以.又RMN，所以MNRS.探究点3利用空间向量证明垂直关系学生用书P65在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，AS底面ABCD，且ASAB，E是SC的中点求证：平面BDE平面ABCD.【证明】设ASAB1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E.法一：如图，连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为.易知(0，0，1)，所以，所以OEAS.又AS底面ABCD，所以OE平面ABCD.又OE平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.法二：设平面BDE的法向量为n1(x，y，z)易知(1，1，0)，所以即令x1，可得平面BDE的一个法向量为n1(1，1，0)因为AS底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)因为n1n20，所以平面BDE平面ABCD.证明线、面垂直问题的方法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可 如图，ABC中，ACBC，D为AB边中点，PO平面ABC，垂足O在CD上，求证：ABPC.证明：设a，b，v.由条件知，v是平面ABC的法向量，所以va0，vb0，因为D为AB中点，所以(ab)，因为O在CD上，所以存在实数，使(ab)因为CACB，所以|a|b|，所以(ba)(ab)(ba)(ba)v(|b|2|a|2)bvav0，所以，所以ABPC.1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是正方形ABCD的中心，证明：OA1AM.证明：设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系，如图，则A(1，0，0)，A1(1，0，1)，M，O，所以(1，0，1)，(1，0，0)，所以(1)010，即OA1AM.2在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点求证：CE平面C1E1F.证明：以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设BC1，则C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1，2)，F(1，1，1)，E1.设平面C1E1F的法向量为n(x，y，z)，因为，(1，0，1)，所以即取n(1，2，1)因为(1，1，1)，n1210，所以n，且CE平面C1E1F.所以CE平面C1E1F. 学生用书P66知识结构深化拓展用空间向量解决立体几何的问题有三步(1)首先建立适当的空间坐标系，一般是用互相垂直的直线为x，y，z轴，设出点的坐标(2)通过向量的坐标运算，来研究点、直线、平面之间的关系，把几何问题转化为代数问题(3)把向量的运算结果“翻译”为相应的几何意义，据几何意义求出结果.学生用书P137(单独成册)A基础达标1已知a，b分别是直线l1，l2的一个方向向量若l1l2，则()Ax3，y Bx，yCx3，y15 D.x3，y解析：选D.因为l1l2，所以，所以x3，y，故选D.2直线l的一个方向向量和平面的一个法向量分别是m(1，1，3)，n，则直线l与平面的位置关系是()Al BlCl或l D.无法判断解析：选C.因为mn00，所以mn.所以l或l.3设直线l的方向向量u(2，2，t)，平面的一个法向量v(6，6，12)，若直线l平面，则实数t等于()A4 B4C2 D.2解析：选B.因为直线l平面，所以uv，则，解得t4，故选B.4已知平面内有一个点A(2，1，2)，的一个法向量为n(3，1，2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1，1) B.C. D.解析：选B.要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即n是否为0，因此，要对各个选项进行检验对于选项A，(1，0，1)，则n(1，0，1)(3，1，2)50，故排除A；对于选项B，则n(3，1，2)0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.5如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BFPE时，AFFD的值为()A12 B11C31 D.21解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PAa，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a)设点F的坐标为(0，y，0)，则(1，y，0)，.因为BFPE，所以0，解得y，即点F的坐标为，所以F为AD的中点，所以AFFD11.6已知平面的一个法向量a(x，1，2)，平面的一个法向量b，若，则xy_解析：因为，所以ab，所以xy10，得xy1.答案：17已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)给出下列结论：APAB；APAD；是平面ABCD的一个法向量其中正确的是_(填序号)解析：2(1)(1)2(4)(1)2240，则，则ABAP.4(1)2200，则，则APAD.又ABADA，所以AP平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量答案：8已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且平面ABC，则_解析：因为，所以0，所以352z0，所以z4.因为(x1，y，3)，且平面ABC，所以即解得故.答案：9已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1.求证：AB1MN.证明：设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A，B，C，N，B1，M.所以，(1，0，1)，所以00.所以，所以AB1MN.10如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点求证：EF平面B1AC.证明：设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)所以(a，a，2a)(2a，2a，a)(a，a，a)，(2a，2a，2a)(2a，0，0)(0，2a，2a)，(0，2a，0)(2a，0，0)(2a，2a，0)因为(a，a，a)(0，2a，2a)(a)0(a)2aa2a0，(a，a，a)(2a，2a，0)2a22a200，所以EFAB1，EFAC.又AB1ACA，所以EF平面B1AC.B能力提升11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，利用向量法证明：(1)MN平面CC1D1D；(2)平面MNP平面CC1D1D.证明：(1)以D为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1)由正方体的性质知AD平面CC1D1D，所以(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量由于(0，1，1)，则0210(1)00，所以.又MN平面CC1D1D，所以MN平面CC1D1D.(2)由于(0，2，0)，(0，2，0)，所以，即MPDC.由于MP平面CC1D1D，所以MP平面CC1D1D.又由(1)，知MN平面CC1D1D，MNMPM，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP平面CC1D1D.12如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BC的中点(1)在B1B上是否存在一点P，使D1P平面B1AE?(2)在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N平面B1AE?解：(1)如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点A(1，0，