2019年高考数学三轮冲刺专题16圆锥曲线中的综合问题专项讲解与训练.docx

专题16. 圆锥曲线中的综合问题“参数法”解决定点问题证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出x，y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3(1，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点 (2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值【解析】(1)由题意有，1，解得a28，b24.所以C的方程为1.定值问题涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到 【对点训练】已知点F是椭圆y21(a0)的右焦点，M(m，0)、N(0，n)分别是x轴、y轴上的动点，且满足0.若点P满足2.(1)求点P的轨迹方程；(2)设过点F作任一直线与点P的轨迹交于A、B两点，直线OA、OB与直线xa分别交于点S、T(O为坐标原点)，证明为定值 所以，则4a2.由得y24aty4a20，所以y1y24a2，则4a24a24a20.因此，是定值，且定值为0. “函数(不等式)法”解决取值(范围)问题解析几何中的取值(范围)问题最基本的解法是函数法与不等式法有时需要使用双参数表达直线方程，解决方法：一是根据直线满足的条件，建立双参数之间的关系，把问题化为单参数问题；二是直接使用双参数表达问题，结合求解目标确定解题方案 (2017高考浙江卷)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值【解析】(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x0)，则其准线方程为x.曲线E的方程可化为(x3)2(y2)216，则有34，解得p2，所以抛物线M的方程为y24x，F(1，0)设A(，y0)，则(，y0)，(1，y0)，所以(1)y4，解得y02，所以x01，所以点A的坐标为(1，2)或(1，2)5设O为坐标原点，动点M在圆C：x2y22上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)过点D(1，0)的直线l与圆C交于A、B两点AB的中垂线交直线x3于点Q.是否为定值，给予说明【解析】：(1)设P(x，y)，M(x1，y1)，由MNx轴，由得(xx1，y)(0，y1)，所以又xy2.所以x22y22，即y21.(2)设A(m，n)，Q(3，t)因为OQAB，即0，所以0，所以(m1，n)(3，t)0.即tn3m3.又A在圆C：x2y22上，所以m2n22.所以(m，n)(3m，tn)3mm2tnn2(3mtn)(m2n2)321.所以1.即为定值1.6已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程【解析】：由题知F.设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A ，B ，P ，Q ，R .记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.(1)证明：由于F在线段AB上，故1ab0.设AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则SABF|ba|FD|ba|x1|，SPQF.由题设可得2|ba|x1|，所以x10(舍去)，x11.设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合此时E点坐标为(1，0)，满足方程y2x1.所以所求轨迹方程为y2x1.7.已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1) (1)求抛物线C的方程； (2)过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若直线AO，BO分别交直线l：yx2于M，N两点， 求MN的最小值. 【解析】：(1)由题意可设抛物线C的方程为x22py(p0)，则1，所以抛物线C的方程为x24y.(2)易知直线AB的斜率存在设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykx1.由消去y，整理得x24kx40，所以x1x24k，x1x24.从而|x1x2|4.由解得点M的横坐标xM.同理，点N的横坐标xN.所以|MN|xMxN|8|.令4k3t，t0，则k.当t0时，|MN|2 2.当tb0)的离心率为，点P(1，)在椭圆E上，直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆相交于A，B两点(1)求椭圆E的方程；(2)在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由【解析】：(1)由题意，知，1，又a2b2c2，解得a，b1，故椭圆E的方程为y21.(2)由直线AB过椭圆的右焦点F(1，0)，当直线AB不与x轴重合时，可设直线AB：xmy1，代入椭圆方程，并整理得(2m2)y22my10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2.设M(t，0)，若(x1t)(x2t)y1y2(my11t)(my21t)y1y2(1m2)y1y2m(1t)(y1y2)(1t)2(1t)2为定值，则2t24t12(t22)，解得t.故存在定点M(，0)，使得为定值，经检验，当直线AB与x轴重合时也成立，所以在x轴上存在一个定点M(，0)，使得为定值能力提升1(2019郑州质量预测(二)已知动圆M恒过点(0，1)，且与直线y1相切(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点【解析】：(1)由题意得，点M与点(0，1)的距离始终等于点M到直线y1的距离，由抛物线的定义知圆心M的轨迹是以点(0，1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，则1，p2.所以圆心M的轨迹方程为x24y.(2)证明：设直线l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x2，y2)联立得x24kx80，所以.kAC，直线AC的方程为yy1(xx1)即yy1(xx1)xx，因为x1x28，所以yxx2，即直线AC恒过点(0，2)2(2018东北四市联考)已知椭圆C：y21(a1)，B1，B2分别是其上、下顶点，椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是(