信号与系统第一章第2讲.ppt

1,1.5 基本信号及其时域特性,本节先介绍几种常用的连续信号，再介绍奇异函数。,用这些信号可以组成一些复杂波形的信号,2,一、表示常用信号的连续函数,式中A、分别为正弦信号的振幅、角频率、初相位,3,其中A，a均为常数,4,5,6,以上是表示常用信号的连续函数，还有一类基本信号，本身有简单的数学形式，但其本身、或其导数、或其积分有不连续点。即奇异信号,7,二、奇异信号,常见的奇异信号：单位斜坡函数，单位阶跃函数，和单位冲激函数等。,它们是从实际信号中抽象出来的理想化了的信号，在信号与系统分析中占有很重要的地位。,8,定义：从t=0开始，随后具有单位斜率的时间函数。它的导数在t=0处不连续。,如果将起始点移至t0，则,9,定义：零时刻前，函数值为0，随后值为1。 在t=0处未定义。有些书中将t=0处定义为1/2。,若跳变点移至t0，则,10,11,在实际应用中，常用单位阶跃信号与某函数的乘积来表示信号的接入特性,信号在t0时刻接入：,12,u(t)与-u(t-t0)叠加，得到矩形脉冲,门函数与任意函数相乘，在外为0，在内为f(t),13,在此，符号函数在跳变点也不予定义。有些书中规定sgn(0)=0,14,冲激函数是对于作用时间极短，而相应物理量强度极大的物理过程的理想描述。 例如物体在受到短时冲击力F的作用，如果冲量Ft为常数，当t趋于0时，冲击力F趋于无穷大。,以这样一类现象为背景，抽象出“单位冲激函数”或称“函数”，用它来描述上述物理现象。,15,单位冲激函数可视为幅度与脉宽的乘积（矩形的面积）为1个单位的矩形脉冲。 当趋于0时，脉冲的幅度趋于无穷大。,冲激函数定义：,16,因此，(t)为,满足狄拉克条件：,17,图中(1)表示强度为1，或称所围面积为1，而不是指幅值为1。,定义中没有给出t=0时刻的函数值，可见它不是通常意义下的函数，称为“广义函数”。,函数有多种定义方法，其中根据广义函数的定义，是严格的数学定义。,18,若冲激点在t=t0处，则定义式为：,19,由定义知 当t0时,当t0时,所以函数的积分为：,20,所以， u(t)与函数的关系为,或,u(t)在t=0处是不连续的，按经典的函数可微性来判断，上式是无法理解的。,广义函数把经典的函数微分及其概念加以推广，使函数及其它奇异函数的定义与特性有了严格的理论基础。,21,若冲激点在t0处，且f(t)在t0处连续，则,证明：因为在t0（或tt0）处，(t)（或(t-t0)）为0，所以上式成立。,22,或,证明：,(t)在t0处为0,23,证明：,1、当a0时，令=at,24,1、当a0时，令=at,25,证明：,当a=-1时，由尺度变换公式可得,26,它在t=0处有一对正负冲激函数，其强度都为无穷大。,利用矩形脉冲取极限的方法，可导出上述结果:,27,求导得,28,证明：利用分部积分法：,29,推广：,由定义可见，(t)是奇函数，所以包含面积为0。,30,1、R(t)的导数是u(t)； u(t)的导数是(t)； (t)的导数是(t)。,2、 u(t)是物理量的单位跃变的抽象,3、 (t)是物理量产生单位跃变速度的抽象,4、 (t)是物理量产生单位跃变加速度的抽象,31,1.6 信号的时域分解与变换,在信号的时域分解中，一种方法是将信号分解为正交函数的线性组合。,另一种方法是：用阶跃信号和冲激信号作为单元信号，将信号表示为阶跃信号或冲激信号之和。,32,33,用一系列阶跃函数之和近似表示任意函数,将时间区间(0,t) 平均分成n等份，t=t/n。,34,第一个阶跃f0(t)在 t=0时刻加入。,第二个阶跃f1(t)在t=t时刻加入，迭加在第一个阶跃上，高度为f(t)=f(t)-f(0)。,35,同理，t=kt处应迭加一高度为f(t)=f(kt)-f(kt- t)的阶跃函数，即,将上述各阶跃函数f0(t), f1(t), fk(t), fn(t)迭加起来，成为一阶梯形函数，近似表示f(t)。,36,上式的近似程度取决于t的大小。,37,t越小，近似程度越高,则：,38,将时间区间(0,t)平均分成n等份，t=t/n。,39,各冲激函数的位置是它所代表的脉冲左侧边界所在时刻，各冲激函数的强度就是它所代表的脉冲的面积,40,当t0时，,41,两信号迭加成一个新信号，新信号任意时刻的 数值等于两信号同在该时刻的数值之和。,两信号相乘得到一个新信号，新信号任意时刻 的数值等于两信号同在该时刻的数值乘积。,42,信号f(t)的自变量t用-t替换，称为信号的翻转。,反褶后的波形与原波形 相对于纵轴对称。,信号的反褶运算可以看 作把过去的时间与未来的 时间相互调换。,43,信号f(t)的自变量t用t-t0替换。,t00时，f(t-t0)的波形为： f(t)沿时间轴右移t0,t00时，f(t-t0)的波形为： f(t)沿时间轴左移|t0|,44,信号f(t)的自变量t用at替换。,a1时，f(at)的波形为： f(t)的波形沿时间轴压缩 1/a倍，幅值不变。,0a1时，f(at)的波形为： f(t)的波形沿时间轴扩展 1/a倍，幅值不变。,45,例1：,已知f(t)的波形，试画出f(1-2t)的波形。,平移：,展缩：,