2020版高考数学一轮复习第5章数列第3讲等比数列及其前n项和讲义理（含解析）.docx

第3讲等比数列及其前n项和考纲解读1.理解等比数列的概念及等比数列与指数函数的关系2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题(重点)3.熟练掌握等比数列的基本运算和相关性质(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的重点预测2020年高考将会以等比数列的通项公式及其性质、等比数列的前n项和为考查重点，也可能将等比数列的通项、前n项和及性质综合考查，此外，还可能会与等差数列综合考查题型以客观题或解答题的形式呈现，属中档题型.1等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q0)表示数学语言表达：q(n2)，q为常数，q0.(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1；可推广为anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.3等比数列的相关性质设数列an是等比数列，Sn是其前n项和(1)若mnpq，则amanapaq，其中m，n，p，qN*.特别地，若2spr，则apara，其中p，s，rN*.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm(k，mN*)(3)若数列an，bn是两个项数相同的等比数列，则数列ban，panqbn和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列(4)SmnSnqnSmSmqmSn.(5)当q1或q1且k为奇数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，是等比数列，公比为qk.当q1且k为偶数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，不是等比数列(6)若a1a2anTn，则Tn，成等比数列(7)若数列an的项数为2n，则q；若项数为2n1，则q.1概念辨析(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果数列an为等比数列，则数列lg an是等差数列()(4)若数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(5)若数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列答案(1)(2)(3)(4)(5) 2小题热身(1)在等比数列an中，a32，a78，则a5等于()A5 B5 C4 D4答案C解析设等比数列an的公比为q，则q44，q22，所以a5a3q2224.(2)在等比数列an中，已知a11，a464，则公比q_，S4_.答案451解析q364，q4，S451.(3)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和为_答案2n1解析因为数列an是等比数列，所以a1a4a2a38.又a1a49，所以a1，a4是方程x29x80的两个根又因为a10，并不适合所有情况)，这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便(2)基本量计算过程中涉及的数学思想方法方程思想，即“知三求二”分类讨论思想，即分q1和q1两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视整体思想应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解 1等比数列an的前n项和为Sn32n1r，则r的值为()A. B C. D答案B解析当n2时，anSnSn132n1r32n3r832n3，当n1时，a1S1321r3r，数列是等比数列，当a1满足an832n3，即83233r，即r，故选B.2(2018滨海新区期中)已知递增等比数列an的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差数列(1)求an的首项和公比；(2)设Snaaa，求Sn.解(1)根据等比数列的性质，可得a3a5a7a512，解得a58.设数列an的公比为q，则a3，a78q2，由题设可得(8q29)2(83)10，解得q22或.an是递增数列，可得q1，q22，得q.因此a5a1q44a18，解得a12.(2)由(1)得an的通项公式为ana1qn12()n1()n1，a()n122n1，可得a是以4为首项，公比等于2的等比数列因此Snaaa2n24.题型 等比数列的判断与证明(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an，设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an.将n1代入，得a24a1，而a11，所以a24.将n2代入，得a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由题设条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.条件探究1将举例说明条件改为“a11，a(2an11)an2an10，且an0”，求an的通项公式解由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.条件探究2将举例说明条件改为“对任意的nN*，有anSnn.设bnan1”，求证：数列bn是等比数列证明由a1S11及a1S1，得a1.又由anSnn及an1Sn1n1，得an1anan11，2an1an1.2(an11)an1，即2bn1bn.数列bn是以b1a11为首项，为公比的等比数列等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列见举例说明(2)(2)等比中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可 1已知an，bn都是等比数列，那么()Aanbn，anbn都一定是等比数列Banbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列Canbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列Danbn，anbn都不一定是等比数列答案C解析an1，bn(1)n，则an，bn都是等比数列，但anbn不是等比数列；设等比数列an的公比为p，等比数列bn的公比为q，则pq.所以数列anbn一定是等比数列2(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.题型 等比数列前n项和及性质的应用角度1等比数列通项的性质1若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.答案50解析因为等比数列an中，a10a11a9a12，所以由a10a11a9a122e5，可解得a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln (a1a2a20)ln (a10a11)1010ln (a10a11)10ln e550.角度2等比数列的前n项和的性质2数列an是等比数列，前2018项中的奇数项之积是1，偶数项之积是m，则数列an的公比为()A. Bm1009 C Dm1009答案A解析设数列an的公比为q，由已知得a1a3a20171，a2a4a2018m，则公比q满足q1009m，解得q.角度3等差数列与等比数列的综合3(2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解(1)设an的公比为q.由题设可得解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)知a12，q2，所以Sn1a1a2anan1a1qSn22Sn.Sn2a1a2a3an2a1a2q2Sn244Sn24Sn.所以Sn1Sn2(22Sn)(24Sn)2Sn，所以Sn1，Sn，Sn2成等差数列1掌握运用等比数列性质解题的两个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：若an是等比数列，且an0，则logaan(a0且a1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列若公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.如巩固迁移3.2牢记与等比数列前n项和Sn相关的几个结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列an中，公比为q.若共有2n项，则S偶S奇q；若共有2n1项，则S奇S偶(q1且q1)，q.(2)分段求和：SnmSnqnSmqn(q为公比)如举例说明3和巩固迁移1. 1(2018青岛模拟)已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，且满足a6,3a4，a5成等差数列，则()A3 B9 C10 D13答案C解析设等比数列an的公比为q，因为a6,3a4，a5成等差数列，所以6a4a6a5，所以6a4a4(q2q)由题意得a40，q0.所以q2q60，解得q3，所以1q210.2(2015全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42 C63 D84答案B解析设an的公比为q，由a13，a1a3a521得1q2q47，解得q22(负值舍去)a3a5a7a1q2a3q2a5q2(a1a3a5)q