吉林省长春市实验中学2019届高三数学上学期期末考试试题文（含解析）.docx

长春市实验中学2016级高三上学期期末考试数学（文科）试卷一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可【详解】M，Nx|1exex|0x1，MN，故选：C【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为，由题意得，解得a=2，故选A考点：点评：解决本题的关键是掌握纯虚数的定义3.方程的根的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：方程的根转化为函数的交点个数，通过函数图像可知有两个交点，即方程有两个根考点：函数性质及函数与方程的转化4.等差数列的前项和为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知结合等差数列的前n项和求得，再由等差数列的性质得答案【详解】在等差数列an中，由，得，即4又2，=2，故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，是基础题5.已知向量，若，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，.，即，.故选B.【考点定位】向量的坐标运算【此处有视频，请去附件查看】6.将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则函数的图像的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则 ，由题可得当时，.即函数的图象的一个对称中心是故选D7.若如图的程序框图输出的是，则应为 （ ）A. ?B. ?C. ?D. ?【答案】A【解析】由于,所以退出循环体时，n的值为7,因而应填条件为.8.已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：有三视图可知，几何体是以直角边为的等腰直角三角形为底面、高为的三棱锥，它的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，外接球直径,表面积为，故选B.考点：1、几何体的三视图；2、球的表面积公式.9.设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由抛物线的性质可得，故选D.考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.【此处有视频，请去附件查看】10.设函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：当时,；当时,.综上,实数的范围为.故选B.考点：对数的性质；分类讨论思想.【易错点睛】本题主要考查了对数的性质;分类讨论思想;分段函数等知识.比较对数的大小的方法：（1）若底数相同，真数不同，则可构造相关的对数函数，利用其单调性比较大小（2）若真数相同，底数不同，则可借助函数在直线右侧“底大图低”的特点比较大小或利用换底公式统一底数（3）若底数、真数均不同，则经常借助中间量“”、“”或“”比较大小.11.若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质下列函数中具有性质的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：选项A中，令 具有性质，故选A.考点：导数及其性质.【此处有视频，请去附件查看】12.已知函数，则函数满足（ ）A. 最小正周期为 B. 图像关于点对称C. 在区间上为减函数 D. 图像关于直线对称【答案】D【解析】函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosxsinx）sinx=sin2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）+，故它的最小正周期为，故A不正确；令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+（，），f（x）=sin（2x+）+ 为增函数，故C不正确，故选：D二、填空题.13.已知实数满足约束条件，则的最小值是（ ）【答案】【解析】试题分析：如图所示,当在时取最小值,此时.考点：简单的线性规划.14.设是等差数列的前项和，若，则公差（ ）【答案】【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件，解得结果.【详解】由题意可知，即，又，两式相减得，.【点睛】本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.15.在中，若，则_ .【答案】【解析】在中，若， A 为锐角，则根据正弦定理 =。16.已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，则（ ）【答案】【解析】【分析】根据f（x）是周期为4的奇函数即可得到f（）f（8）f（）f（），利用当0x2时，f（x）4x，求出f（），再求出f（2），即可求得答案【详解】f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，f（）f（8）f（）f（）x（0，2）时，f（x）4x，f（）2，f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，f（-2）f（2+4）f（2），同时f（2）f（2），f（2）0，f（）+f（2）2故答案为：2【点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式f（x）所在区间上，属于中档题三解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项等比数列，其前n项和为满足：，（1）求；（2）令，数列的前n项和为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设公比为q（q0），由已知可得解得q=3，可得.(2) ，再在每一段中求和，可得结果.【详解】（1）设公比为q（q0）由已知可得：解得q=3，q=-1（舍），解得，(2) ， 所以当时，；当时，综上可知.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用18.某中学对高三年级的学生进行体质测试，已知高三、一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：）：男女71657899981718452935618027541241901185202122男生成绩不低于的定义为“合格”，成绩低于的定义为“不合格”；女生成绩不低于的定义为“合格”，成绩低于的定义为“不合格”.(1) 求女生立定跳远成绩的中位数；(2) 若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取6个人，求抽取成绩“合格”的男生人数；(3) 若从(2)问所抽取的6人中任选2人，求这2人中恰有1人成绩“合格”的概率.【答案】（1）166.5cm（2）4人（3）【解析】【分析】（1）由茎叶图能求出女生立定跳远成绩的中位数（2）男生成绩“合格”的有8人，“不合格”的有4人，用分层抽样的方法，能求出其中成绩“合格”的学生应抽取的人数（3）由（2）可知6人中，4人合格，2人不合格，设合格学生为A，B，C，D，不合格学生为,利用列举法能求出这2人中恰有1人成绩“合格”的概率【详解】(1) 女生立定跳远成绩的中位数cm (2)男生中成绩“合格”和“不合格”人数比为，用分层抽样的方法抽取6个人，则抽取成绩“合格”人数为4人； （3）由(2)设成绩“合格”的4人为A，B，C，D，成绩“不合格”的2人为,从中选出2人有（A,B），（A,C），（A,D），（A,），（A,），（B,C），（B,D），（B,），（B,），（C,D），（C,），（C,），（D,），（D,），（），共15种， 其中恰有1人成绩“合格”的有（A,），（A,），（B,），（B,），（C,），（C,），（D,），（D,），共8种，故所求事件概率为.【点睛】本题考查中位数、概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图、分层抽样、等可能事件概率计算公式的合理运用19.已知椭圆C：的右焦点F2和上顶点B在直线上，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）求面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得椭圆的右焦点为F2（1，0），上顶点为B， 故c=1，b=，可求椭圆标准方程 （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线的方程为，与椭圆方程联立得：，利用韦达定理得到 ，又，求得的最小值，即可得的最小值.【详解】（1）椭圆C：的右焦点F2和上顶点B在直线上，椭圆的右焦点为F2（1，0），上顶点为B， 故c=1，b=，a2=b2+c2=4，所求椭圆标准方程为 （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线的方程为联立得：，=，,，令，函数在上为增函数，故当即时，此时三角形的面积取得最小值为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的表示方法及最值的求法，解题时要认真运算，属于中档题20.四棱锥中，平面，底面为直角梯形，M为PA上一点，且，（1）证明：PC/平面MBD；（2）若，四棱锥的体积为，求直线AB与平面MBD所成角的正弦值.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）连结AC交BD于N点，连结MN，可证，从而可证得.（2）不妨设，根据四棱锥的体积为，解得； 利用等体积法，设点到平面的距离为，,解得， 可得结果.【详解】（1）连结AC交BD于N点，连结MN，则又， ，（2）不妨设，因为PA=AD=3，四棱锥的体积为，所以，解得； 设点到平面的距离为，利用体积相等，,在中，,利用余弦定理可求得,所以，所以三角形的面积,代入中得：，解得， 又因为,所以直线AB与平面MBD所成角的正弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的求法及三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21.已知函数的图象与直线相切，（1）求b的值；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）b=1（2）【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，利用，得到切点坐标，代入求b的值；（2）由，设（x0），利用导函数求出g（x）在x，e上的最大值即可求实数a的取值范围【详解】（1），在上为增函数，且切点的坐标为，将代入得1+b=2，b=1(2)由，令，时，g(x)为减函数，时，g(x)为增函数，显然,.【点睛】本题主要研究利用导数求切线方程以及函数恒成立问题当ag（x）恒成立时，只需要求g（x）的最大值；当ah（x）恒成立时，只需要求g（x）的最小值，这种转化是解题的关键.22.选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； 试判断曲线与是否存在两个交点，若存在求出两交点间的距离；若不存在，说明理由.【答案】(1)曲线：，曲线：；(2).【解析】试题分析：(1) 根据参数方程与普通方程的关系，对于曲线消去参数可得：，再根据极坐标方程与直角坐标方程的关系，对于曲线可转化为：；(2) 根据题意显然曲线：为直线，则其参数方程可写为（为参数）与曲线：联立，可知，所以与存在两个交点，由，得.试题解析：(1) 对于曲线有，对于曲线有.(5分)(2) 显然曲线：为直线，则其参数方程可写为（为参数）与曲线：联立，可知，所以与存在两个交点，由，得.