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2.2.1 第二课时 圆的一般方程 学业水平训练1已知圆C:x2y22x2y30,AB为圆C的一条直径,点A(0,1),则点B的坐标为_解析:由x2y22x2y30得,(x1)2(y1)25,所以圆心C(1,1)设B(x0,y0),又A(0,1),由中点坐标公式得,解得,所以点B的坐标为(2,3)答案:(2,3)2过点P(1,2)的直线l平分圆C:x2y24x6y10的周长,则直线l的斜率为_解析:过点P(1,2)的直线l平分圆C的周长,则直线l过圆心(2,3),则直线l的斜率为k.答案:3点M,N在圆x2y2kx2y40上,且点M,N关于直线xy10对称,则该圆的面积是_解析:将x2y2kx2y40化为(x)2(y1)25,故圆心坐标是(,1),由题意知,直线xy10过圆心,故110,解得k4,此时圆的半径为3,圆的面积是9.答案:94点A(1,0)在圆x2y22axa23a30上,则a的值为_解析:点A在圆上,a应满足的条件为,即,解得,a2.答案:25如果圆的方程为x2y2kx2yk20,那么当圆面积最大时,圆心的坐标是_解析:将x2y2kx2yk20化为(x)2(y1)21k2,可知当k0时,圆的半径最大,即圆面积最大,此时圆心坐标是(0,1)答案:(0,1)6已知圆的方程为x2y26x8y0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为_解析:点(3,5)在圆内,最长弦AC即为该圆直径,AC10,最短弦BDAC,BD4,S四边形ABCDACBD20.答案:207试判断A(1,2),B(0,1),C(7,6),D(4,3)四点是否在同一个圆上解:线段AB,BC的斜率分别是kAB1,kBC1,得kABkBC,则A,B,C三点不共线,设过A,B,C三点的圆的方程为x2y2DxEyF0.因为A,B,C三点在此圆上,所以,解得,所以过A,B,C三点的圆的方程为x2y28x4y50,将D点坐标(4,3)代入方程,得4232844350,即点D在此圆上,故A,B,C,D四点在同一个圆上8一圆经过A(4,2)和B(1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2,求该圆的方程解:设所求圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0),令y0,得x2DxF0,所以圆在x轴上的截距之和为x1x2D.同理圆在y轴上的截距之和为y1y2E,由题意知DE2.又A,B在圆上,所以1644D2EF0,19D3EF0,由联立方程组解得D2,E0,F12.所以,所求圆的方程为x2y22x120.高考水平训练1设A为圆(x1)2y21上的动点,PA是圆的切线且PA1,则P点的坐标(x,y)满足的方程是_解析:由题意知,圆心(1,0)到P点的距离为,所以点P在以(1,0)为圆心,以为半径的圆上,所以点P的坐标(x,y)满足的方程是(x1)2y22.答案:(x1)2y222已知圆C:(x3)2(y4)21,点A(0,1),B(0,1),设P是圆C上的动点,令dPA2PB2,则d的最大值及最小值分别为_、_.解析:如图,设P点坐标为(x0,y0),dx(y01)2x(y01)22(xy)22PO22.问题转化为求P点到原点O距离的最值,O在圆外,OPmaxCO1516,POminCO1514.dmax262274,dmin242234.答案:74343已知曲线C:(1a)x2(1a)y24x8ay0,(1)当a取何值时,方程表示圆;(2)求证:不论a为何值,曲线C必过两定点;(3)当曲线C表示圆时,求圆面积最小时a的值解:(1)当a1时,方程为x2y0,表示一条直线;当a1时,22表示圆(2)证明:方程变形为x2y24xa(x2y28y)0.对于a取任何值,上式成立,则有解得或C过定点A(0,0),B.(3)由(2)曲线C过定点A、B,在这些圆中,当以AB为直径时,圆的面积最小(其余不以AB为直径的圆,AB为弦,直径大于AB的长,圆的面积也大),从而得以AB为直径圆的方程:22,解得a.4在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围;(2)求圆C的方程;(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论解:(1)令x0,得抛物线与y轴的交点是(0,b);令f(x)x22xb0,由题意知b0且0,解得b1且b0.(2)设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0,令y0得x2DxF0,这与x22xb0是同一个方程,故D2,Fb.令x0得y2Eyb0,此方程有一个根为b,代入得出Eb1.所以圆C的方程为x2y22x(b1)yb0.(3)圆C必过定点,证明如下:假设圆C过定点(x0,y0)(x0,y0与b无关),将该点代入圆C
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