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1 第第十一十一章章 静电场静电场 【例题精选】 例例 11-1 如图所示，在坐标(a，0)处放置一点电荷+q，在坐标(-a，0)处 放置另一点电荷qP 点是 x 轴上的一点，坐标为(x，0)当 xa 时，该点场强的大小为： (A) x q 0 4 (B) 3 0x qa (C) 3 0 2x qa (D) 2 0 4x q B 例例 11-2 半径为 R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小 E 与距球心的距离 r 的关系曲 线为： B 例例 11-3 半径为 R 的“无限长”均匀带电圆柱面的静电场中各点的电场强度的大小 E 与距轴线的距 离 r 的关系曲线为： B 例例 11-4 一半径为 R 的带有一缺口的细圆环， 缺口长度为 d (d R)， k 为一正的常量，用高斯定理求场强与 r 的函数关系。 解：在球内取半径为 r、厚为 dr 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 rrkrVqd4dd 2 在半径为 r 的球面内包含的总电荷为 4 0 3 d4krrkrdVq r V (rR) 以该球面为高斯面，按高斯定理有 0 42 1 /4krrE 得到 0 2 1 4/krE ， (rR) 方向沿径向向外。 在球体外作一半径为 r 的同心高斯球面，按高斯定理有 0 42 2 /4kRrE 得到 2 0 4 2 4/rkRE，(r R)方向沿径向向外。 例例 11-9 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： (A) 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷 (B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零 (C) 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷 (D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零 D 例例 11-10 一半径为 R 的均匀带电球面，带有电荷 Q若规定该球面上的电势值为零，则无限远处的 电势将等于 (A) R Q 0 4 (B) 0 (C) R Q 0 4 (D) C 例例 11-11 已知某电场的电场线分布情况如图所示。现观察到一负电荷从 M 点移 到 N 点。有人根据这个图作出下列结论，其中正确的是 （A）电场强度 EMEN （B）电势 UMUN （C）电势能 WMWN. （D 电场力的功 A0 C 例例 11-12 一点电荷 q10 -9 C，A、B、C 三点分别距离该点电荷 10 cm、20 cm、30 cm若选 B 点的 电势为零，则 A 点的电势为 ； C 点的电势为 (真空介电常量08.8510 -12 C2N-1m-2) 45 V 15 V 例例 11-13 假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为 R 的导体球带电 (1) 当球上已带有电荷 q 时，再将一个电荷元 dq 从无限远处移到球上的过程中，外力作多少功？ (2) 使球上电荷从零开 始增加到 Q 的过程中，外力共作多少功？ 解：(1) 令无限远处电势为零，则带电荷为 q 的导体球，其电势为 R q U 0 4 将 dq 从无限远处搬到球上过程中，外力作的功等于该电荷元在球上所具有的电势能 q R q WAd 4 dd 0 (2) 带电球体的电荷从零增加到 Q 的过程中，外力作功为 -q M N A B C q 3 Q R qq AA 00 4 d d R Q 0 2 8 例例 11-14 如图所示，电荷均是 Q 的两个点电荷相距为 l，联线中点为 O，有一点电荷 q，在联线中垂线上距 O 为 x 的 c 点，若电荷 q 从静止开始运动， 它将如何运动？(定性指出 q 的位置与速度变化 情况)已知 Q 与 q 异号，忽略重力，阻力不计 答：在 c 点，由于 q 受力沿中垂线向下，且初速为零，所以 q 沿力的方向向下作加速运动当 q 运动 到 O 点时，受力为零，但由于速度不为零，故 q 通过 O 点继续向下运动过 O 点后，力的方向与运 动方向相反，q 的速度愈来愈小，到x 处速度为零，在力的作用下又向上运动过 O 点又作减速运 动， 至 c 点速度又变为零， 然后再向下运动， 如此反复， 形成以 O 为中心沿中垂线的周期性振动 【练习题】 11-1 如图所示，真空中一长为 L 的均匀带电细直杆，总电 荷为 q，试证明在直杆延长线上距杆的一端距离为 d 的 P 点的电场强度大小为： dLd q 0 4 E 证明：设杆的左端为坐标原点 O，x 轴沿直杆方向 带电直杆的电荷线密度为=q/L， 在 x 处取一电荷元 dq =dx = qdx/L， （2 分） 它在 P 点的场强： 2 0 4 d d xdL q E 2 0 4 d xdLL xq 总场强为： L xdL x L q E 0 2 0 )( d 4dLd q 0 4 11-2 如图所示，真空中两个正点电荷 Q，相距 2R若以其中一点电 荷所在处 O 点为中心，以 R 为半径作高斯球面 S，则通过该球面 的电场强度通量 ；若以 0 r 表示高斯面外法线方向的单位 矢量，则高斯面上 a 点的电场强度分别为 Q / 0 0 11-3 三个平行的 “无限大” 均匀带电平面， 其电荷面密度都是， 如图所示， 则 B、D 两个区域的电场强度分别为： EB ； ED = (设方向向右为正) / (20) 3 / (20) 11-4 在边长为 a 的正方体中心处放置一点电荷 Q，设无穷远处为电势零点，则在正方体顶角处的电 势为： (A) a Q 0 34 (B) a Q 0 32 (C) a Q 0 6 (D) a Q 0 12 B 11-5 图中所示为一沿 x 轴放置的长度为 l 的不均匀带电细棒，其电荷线密度为0 (x-a)，0为一 QQ O q c x L d q P L d dq x (L+dx) dE x O O +Q R S +Q b a 2R + + + A B C D 4 常量取无穷远处为电势零点，求坐标原点 O 处的电势 解：在任意位置 x 处取长度元 dx，其上带有电荷 dq=0 (xa)dx 它在 O 点产生的电势 x xax U 0 0 4 d d O 点总电势 la a la a x x axdUU d d 4 0 0 a la alln 4 0 0 11-6 一半径 R 的均匀带电圆盘， 电荷面密度为 设无穷远处为电势零点 计算圆盘中心 O 点电势 解：在圆盘上取一半径为 rrdr 范围的同心圆环其面积为 dS=2rdr 其上电荷为 dq=2rdr 它在 O 点产生的电势为 00 2 d 4 d d r r q U 总电势 0 0 0 2 d 2 d R rUU R S 11-7 在盖革计数器中有一直径为 2.00 cm 的金属圆筒，在圆筒轴线上有一条直径为 0.134 mm 的导 线如果在导线与圆筒之间加上 850 V 的电压，试分别求: (1) 导线表面处 (2) 金属圆筒内表面 处的电场强度的大小 解：设导线上的电荷线密度为，与导线同轴作单位长度的、半径为 r 的(导线半径 R1r圆筒半 径 R2)高斯圆柱面，则按高斯定理有 2rE = / 0 得到 E = / (20r) (R1rR2 ) 方向沿半径指向圆筒 导线与圆筒之间的电势差 2 1 2 1 d 2 d 0 12 R R R R r r rEU 1 2 0 ln 2R R 则 12 12 /lnRRr U E 代入数值，则： (1) 导线表面处 121 12 1 /lnRRR U E 2.54 106 V/m (2) 圆筒内表面处 122 12 2 /lnRRR U E 1.70104 V/m 11-8 在强度的大小为 E，方向竖直向上的匀强电场中，有一半径为 R 的半 球形光滑绝缘槽放在光滑水平面上(如图) 槽的质量为 M， 一质量 m 带 有电荷q 的小球从槽的顶点 A 处由静止释放 如果忽略空气阻力且质 点受到的重力大于其所受电场力，求： (1) 小球由顶点 A 滑至半球最 低点时相对地面的速度；(2) 小球通过 B 点时，槽相对地面的速度 解：设小球滑到 B 点时相对地的速度为 v，槽相对地的速度为 V小球从 AB 过程中球、槽组成 的系统水平方向动量守恒 mvMV0 对该系统，由动能定理 mgREqR 2 1 mv2 2 1 MV2 、两式联立解出 mMm qEmgMR 2 v 方向水平向右 O a l x O dr R M A m,q C B E E 5 mMM qEmgmR M m V 2v 方向水平向左 11-9 如图所示， 一半径为 R 的均匀带正电圆环， 其电荷线密度为 在 其轴线上有 A、B 两点，它们与环心的距离分别为ROA3， ROB8 . 一质量为 m、 电荷为 q 的粒子从 A 点运动到 B 点 求 在此过程中电场力所作的功 解：设无穷远处为电势零点，则 A、B 两点电势分别为 0 22 0 4 32 RR R UA 0 22 0 6 82 RR R UB q 由 A 点运动到 B 点电场力作功 000 1264 q qUUqA BA 注：也可以先求轴线上一点场强，用场强线积分计算 11-10 电荷以相同的面密度分布在半径为 r110 cm 和 r220 cm 的两个同心球面上设无限远处 电势为零，球心处的电势为 U0300 V(1) 求电荷面密度 (2) 要使球心处的电势也为零，外 球面上应放掉多少电荷？ 08.8510 -12 C2 /(Nm2) 解： (1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即 2 2 1 1 0 0 4 1 r q r q U 2 2 2 1 2 1 0 44 4 1 r r r r 21 0 rr 21 00 rr U 8.8510 -9 C / m2 (2) 设外球面上放电后电荷面密度为，则应有 21 0 0 1 rrU = 0 即 2 1 r r 外球面上应变成带负电，共应放掉电荷 2 1 2 2 2 2 144 r r rrq 200212 44rUrrr6.6710 -9 C 【补充题】 11-11 根据高斯定理的数学表达式 S qSE 0 /d 可知下述各种说法中，正确的是： (A) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零 (B) 闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定处处不为零 (C) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零 (D) 闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处无电荷 C 11-12 质量为 m、电荷为q 的粒子沿一圆轨道绕电荷为+Q 的固定粒子运动，证明运动中两者间的 距离的立方与运动周期的平方成正比 O A R R3 R8 B 6 证明：由设半径为 r、周期为 T，则有 r /m r4 qQ 2 2 0 v 因为 v = r= r( 2/ T ) 所以 qQ / (40r2) = mr(42 / T2) 即得 r3 = Q qT2 / (1630m) 11-13 关于静电场中某点电势值的正负，下列说法中正确的是： (A) 电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负 (B) 电势值的正负取决于电场力对试验电荷作功的正负 (C) 电势值的正负取决于电势零点的选取 (D) 电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负 C 11-14 在静电场的空间作一闭合曲面，如果在该闭合面上场强处处为零，能否说此闭合面内一定 没有电荷？举例说明 答：不一定 闭合面上场强 E 处处为零，则穿过此闭合面的电场强度通量 0 由 高斯定理知，闭合面内的电荷代数和为零这可能有两种情况：一是闭合面 内确无电荷；另一是闭合面内有电荷，但正电荷与负电荷之代数和为零因 此，只能说在闭合面内没有净电荷 例如，图中所示的两个半径不相等的均匀带电的同心球面，内球面上有正电荷，外球面上带 等量的负电荷的情况，在它们的外面作一任意形状的闭合面，闭合面上场强 E 处处为零，但面内 并非没有电荷. 11-15 边长为 b 的立方盒子的六个面， 分别平行于 xOy、 yOz 和 xOz 平面盒子的一角在坐标原点处在此区域有一静电场，场强 为jiE 300200 .试求穿过各面的电通量 解：由题意知 Ex=200 N/C , Ey=300 N/C ,Ez=0 平行于 xOy 平面的两个面的电场强度通量 0 1 SESE ze 平行于 yOz 平面的两个面的电场强度通量 200 2 SESE xe b2Nm2/C “” ， “”分别对应于右侧和左侧平面的电场强度通量 平行于 xOz 平面的两个面的电场强度通量 300 3 SESE ye b2 Nm2/C “” ， “”分别对应于上和下平面的电场强度通量. 11-16 真空中一半径为 R 的均匀带电球面带有电荷 Q(Q0)今在球面上挖去 非常小块的面积S(连同电荷)，如图所示，假设不影响其他处原来的电荷 分布，则挖去S 后球心处电场强度的大小 E ；其方向为 4 0 2 16/RSQ 由圆心 O 点指向S 11-17 如图，在点电荷 q 的电场中，选取以 q 为中心、R 为半径的球面上 一点 P 处作电势零点，则与点电荷 q 距离为 r 的 P点的电势为 O x z y b b b O R S Q r P q R P 7 (A) r q 0 4 (B) Rr q11 4 0 (C) Rr q 0 4 (D) rR q11 4 0 B 11-18 图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面 半径为 R1，外表面半径为 R2设无穷远处为电势零点，求空腔内任 一点的电势 解：由高斯定理知空腔内 E0，故带电球层的空腔是等势区，各点电势均为 U . 在球层内取半径为 rrdr 的薄球层其电荷为 dq = 4r2dr 该薄层电荷在球心处产生的电势 00 /d4/ddrrrqU 整个带电球层在球心处产生的电势 2 1 2 2 00 00 2 dd 2 1 RRrrUU R R 因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势 U 为 2 1 2 2 0 0 2 RRUU 若根据电势定义 lEU d计算同样给分. 11-19 电荷 Q(Q0)均匀分布在长为 L 的细棒上，在细棒的延长线 上距细棒中心O距离为a的P点处放一电荷为q(q0 )的点电 荷，求带电细棒对该点电荷的静电力 解：沿棒方向取坐标 Ox，原点 O 在棒中心处求 P 点场强： 2 0 2 0 4 d 4 d d xa x xa q E 2/ 2/ 2 0 4 d L L xa x E 22 0 2/ 2/0 4 1 4La Q xa L L 方向沿 x 轴正向.点电荷受力： qEF 22 0 4La qQ 方向沿 x 轴正方向 11-20 两个平行的 “无限大” 均匀带电平面， 其电荷面密度分别为和2， 如图所示， 则 A、 B 两个区域的电场强度分别为： EA ； EB (设 方向向右为正) 3 / (20) / (20) 第第十二十二章章 导体电学导体电学 【例题精选】 例例 12-1 把 A，B 两块不带电的导体放在一带正电导体的电场中,如图所示. 设无 限远处为电势零点，A 的电势为 UA，B 的电势为 UB，则 (A) UB UA 0 (B) UB UA = 0 (C) UB = UA (D) UB UA = UC （C） UB UC UA （D） UB UA UC 例例 12-4 在一个不带电的导体球壳内，先放进一个电荷为 +q 的点电荷，点电荷不与球壳内壁接触。 然后使该球壳与地接触一下，再将点电荷+q 取走。此时，球壳的电荷为 ；电场分布的范围 是 -q 球壳外的整个空间 例例 12-5 如图所示，A、B 为靠得很近的两块平行的大金属平板，两板的面积均为 S，板间的距离为 d今使 A 板带电荷 qA，B 板带电荷 qB，且 qA qB则 A 板 的靠近 B 的一侧所带电荷为 ；两板间电势差 U = )( 2 1 BA qq S d qq BA 0 2 )( 例例 12-6 一空气平行板电容器，电容为 C，两极板间距离为 d。充电后，两极板间相互作用力为 F。 则两极板间的电势差为 ；极板上的电荷为 。 CFd /2 FdC2 例例 12-7 C1和 C2两个电容器， 其上分别标明 200 pF （电容量） 、 500 V （耐压值） 和 300 pF、 900 V 把 它们串连起来在两端加上 1000 V 电压，则 (A) C1被击穿，C2不被击穿 (B) C2被击穿，C1不被击穿 (C) 两者都被击穿 (D) 两者都不被击穿 C 例例 12-8 半径分别为 1.0 cm 与 2.0 cm 的两个球形导体，各带电荷 1.010 -8 C，两球相距很远若用 细导线将两球相连接 求： (1) 每个球所带电荷； (2) 每个球的电势 ( 22/C mN109 4 1 9 0 ) 解：两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响球上电荷均匀分布 设两球半径分别为 r1和 r2，导线连接后的电荷分别为 q1和 q2，而 q1 + q1 = 2q， 则两球电势分别是 10 1 1 4r q U ， 20 2 2 4r q U 两球相连后电势相等 21 UU ，则有 2121 21 2 2 1 1 2 rr q rr qq r q r q 由此得到 9 21 1 1 1067. 6 2 rr qr qC 9 21 2 2 103 .13 2 rr qr qC 两球电势 3 10 1 21 100 . 6 4 r q UU V 例例 12-9 如图所示，三个“无限长”的同轴导体圆柱面 A、B 和 C，半径分 别为 Ra、 Rb、Rc圆柱面 B 上带电荷，A 和 C 都接地求的内 表面上电荷线密度1和外表面上电荷线密度2之比值1/2 Ra Rb Rc A B C A C B d A B S 9 解：设 B 上带正电荷，内表面上电荷线密度为1，外表面上电荷线密度为2，而 A、C 上相应地 感应等量负电荷，如图所示则 A、B 间场强分布为 E1=1 / 20r，方向由 B 指向 A B、C 间场强分布为 E2=2 / 20r，方向由 B 指向 C B、A 间电势差 a b R R R R BA R R r r rEU a b a b ln 2 d 2 d 0 1 0 1 1 B、C 间电势差 b c R R R R BC R R r r rEU c b c b ln 2 d 2 d 0 2 0 2 2 因 UBAUBC ,得到 ab bc RR RR /ln /ln 2 1 【练习题】 *12-1 设地球半径 R=6.4106 m，求其电容？ 解：C=40R=7.1210 -4F 12-2 三块互相平行的导体板，相互之间的距离 d1和 d2比板面积线度小得多，外 面二板用导线连接 中间板上带电， 设左右两面上电荷面密度分别为1和2， 如图所示则比值1 / 2为 (A) d1 / d2 (B) d2 / d1 (C) 1 (D) 2 1 2 2 /dd B 12-3 充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力 F 与两极板间的电压 U 的关系： (A) FU (B) F1/U (C) F1/U 2 (D) FU 2 D 12-4 两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自孤立时的电容值加以比较，则 (A) 空心球电容值大 (B) 实心球电容值大 (C) 两球电容值相等 (D) 大小关系无法确定 C 12-5 一导体 A，带电荷 Q1，其外包一导体壳 B，带电荷 Q2，且不与导体 A 接触试证在静电平衡 时，B 的外表面带电荷为 Q1 + Q2 证明：在导体壳内部作一包围 B 的内表面的闭合面,如图设 B 内表面 上带电荷 Q2，按高斯定理，因导体内部场强 E 处处为零，故 0/ )(d 021 QQSE S 12 QQ 根据电荷守恒定律，设 B 外表面带电荷为 2 Q ，则 222 QQQ 由此可得 21222 QQQQQ C B A E2 E1 -1 +1 +2 - 2 d1 d2 2 1 A B Q1 Q2? Q2? ? 10 第第十三十三章章 电介质电介质 【例题精选】 例例 13-1 一导体球外充满相对介电常量为r的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为 E，则导体球 面上的自由电荷面密度为 (A) 0 E (B) 0 r E (C) r E (D) (0 r -0)E B 例例 13-2 C1和 C2两空气电容器串联起来接上电源充电。然后将电源 断开，再把一电介质板插入C1中，如图所示。则 （A）C1上电势差减小，C2上电势差增大 （B）C1上电势差减小，C2上电势差不变 （C）C1上电势差增大，C2上电势差减小 （D）C1上电势差增大，C2上电势差不变 B 例例13-3 一个平行板电容器，充电后与电源断开，当用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大，则两极 板间的电势差U12、电场强度的大小E、电场能量W将发生如下变化 （A）U12减小，E减小，W减小 （B）U12增大，E增大，W增大 （C）U12增大，E不变，W增大 （D）U12减小，E不变，W不变 例例 13-4 一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常量为r的各向同 性均匀得电介质，这时两极板上的电荷是原来的 倍；电场能量是原来的 倍 r r 例例 13-5 真空中有 “孤立的” 均匀带电球面和一均匀带电球体 如果它们的半径相同且总电荷相等 问 哪一种情况的电场能量大？ 为什么？ 答：在两球半径相同、总电荷相等的条件下，带电球体的电场能量大 因为在上述情况下，带电球面和带电球体两者在球外的场强是相同的，而带电球面内场强为 零带电球体内场强不为零故带电球体的电场能量要比带电球面多出一部分 例例 13-6 关于介质中的高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？ (A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D 为零 (B) 高斯面上处处D 为零，则面内必不存在自由电荷 (C) 高斯面的D 通量仅与面内自由电荷有关 (D) 以上说法都不正确 C 【补充题】 13-1 真空中有 “孤立的” 均匀带电球体和一均匀带电球面， 如果它们的半径和所带的电荷都相等 则 它们的静电能之间的关系是 C1 C2 11 (A) 球体的静电能等于球面的静电能 (B) 球体的静电能大于球面的静电能 (C) 球体的静电能小于球面的静电能 (D) 球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电能 B 13-2 在一点电荷 q 产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面 S，则对此球形闭合面： (A) 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强 (B) 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强 (C) 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立 (D) 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立 B 第第十四十四章章 稳恒磁场稳恒磁场 【例题精选】 例例 14-1 在真空中，电流由长直导线 1 沿垂直于底边 bc 方向经 a 点流入一 由电阻均匀的导线构成的正三角形金属线框， 再由 b 点从三角形框流 出， 经长直导线 2 沿 cb 延长线方向返回电源(如图) 已知长直导线上 的电流强度为 I，三角框的每一边长为 l，求正三角形的中心点 O 处 的磁感强度B 解：令 1 B 、 2 B 、 acb B 和 ab B 分别代表长直导线 1、2 和三角形框 ac、cb 边 和 ab 边中的电流在 O 点产生的磁感强度则 abacb BBBBB 21 1 B ：由于 O 点在导线 1 的延长线上，所以 1 B = 0 2 B ：由毕萨定律)60sin90(sin 4 0 2 d I B 式中 6/330tan 2 1 llOed ) 2 3 1 ( 34 6 0 2 l I B ) 332( 4 0 l I 方向：垂直纸面向里 acb B 和 ab B ：由于 ab 和 acb 并联，有 a c ba c babab RIRI 又由于电阻在三角框上均匀分布，有 2 1 cbac ab R R acb ab acbab II2 由毕奥萨伐尔定律，有 abacb BB且方向相反 ) 332( 4 0 2 l I BB ，B 的方向垂直纸面向里 例例 14-2 如图所示，一无限长载流平板宽度为 a，线电流密度(即沿 x 方向单位 长度上的电流)为，求与平板共面并且距离平板一边为 b 的任意点 P 的磁 感强度 解：利用无限长载流直导线的公式求解 a b c I I O 1 2 e O b x a P q S 电 介 质 12 (1) 取离 P 点为 x 宽度为 dx 的无限长载流细条，它的电流 xidd (2) 这载流长条在 P 点产生的磁感应强度 x i B 2 d d 0 x x 2 d 0 方向垂直纸面向里 (3) 所有载流长条在 P 点产生的磁感强度的方向都相同，所以载流平板在 P 点产生的磁感强度 BBd ba b x dx 2 0 b ba ln 2 0 方向垂直纸面向里 例例 14-3 如图所示，半径为 R，线电荷密度为 (0)的均匀带电的圆线圈，绕过 圆心与圆平面垂直的轴以角速度转动，求轴线上任一点的B 的大小及其 方向 解： RI 2/322 3 0 )(2yR R BB y B 的方向与 y 轴正向一致 例例14-4 平面闭合回路由半径为R1及R2 (R1 R2 )的两个同心半圆弧和两个直 导线段组成(如图) 已知两个直导线段在两半圆弧中心 O 处的磁感强度为 零，且闭合载流回路在 O 处产生的总的磁感强度 B 与半径 为 R2的半 圆弧在 O 点产生的磁感强度 B2的关系为 B = 2 B2/3，求 R1与 R2的关系 解：由毕奥萨伐尔定律可得，设半径为 R1的载流半圆弧在 O 点产生的磁感强度为 B1， 则 1 0 1 4R I B 同理, 2 0 2 4R I B 21 RR 21 BB 故磁感强度 12 BBB 2 0 4R I 1 0 4R I 2 0 6R I 21 3RR 例例 14-5 在图(a)和(b)中各有一半径相同的圆形回路 L1、L2，圆周内 有电流 I1、I2，其分布相同，且均在真空中，但在(b)图中 L2回路 外有电流 I3，P1、P2为两圆形回路上的对应点，则： (A) 1 d L lB 2 d L lB ， 21 PP BB (B) 1 d L lB 2 d L lB ， 21 PP BB (C) 1 d L lB 2 d L lB ， 21 PP BB(D) 1 d L lB 2 d L lB ， 21 PP BB C 例例 14-6 在安培环路定理 i L IlB 0 d 中， i I是指 ；B 是指 环路 L 所包围的所有稳恒电流的代数和 环路 L 上的磁感强度 例例 14-7 如图，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，试证明 导线a到b之间的一段上所受的安培力等于载同一电流的直导线 ab 所受的安培力 y O R I a b B R1 R2 O I L1 L2 P1 P2 I1 I2 I3 I1 I2 (a) (b) 13 证明：由安培定律 BlIf dd，ab 整曲线所受安培力为 b a BlIff dd 因整条导线中 I 是一定的量，磁场又是均匀的，可以把 I 和B 提到积分号之外， 即 b a BlIf dBlI b a )d(BabI 载流相同、起点与终点一样的曲导线和直导线，处在均匀磁场中，所受安培力一样 例例 14-8 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1） 若所取围绕长直载流导线的积分路径是闭合的，但不是圆，安培环路定理也成立 （2） 若围绕长直载流导线的积分路径是闭合的，但不在一个平面内，则安培环路定理不成立 答：第一说法对，第二说法不对 围绕导线的积分路径只要是闭合的，不管在不在同一平面内，也不管是否是圆，安培 环路定理都成立 例例 14-9 如图所示，一半径为 R 的均匀带电无限长直圆筒，面电荷密度为 该筒以角速度绕其轴线匀速旋转试求圆筒内部的磁感强度 解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流密度 i， RRi)2/(2 作矩形有向闭合环路如右图中所示 从电流分布的对称性分析可 知，在ab上各点B 的大小和方向均相同，而且B 的方向平 行于ab，在bc和fa上各点B 的方向与线元垂直，在de, cdfe,上各点0B 应用安培环路定理 IlB 0 d 可得 abiabB 0 RiB 00 圆筒内部为均匀磁场，磁感强度的大小为RB 0 ，方向平行于轴线朝右 例例 14-10 如右图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场 作用下，线圈发生转动，其方向是 (A) ab 边转入纸内，cd 边转出纸外 (B) ab 边转出纸外，cd 边转入纸内 (C) ad 边转入纸内，bc 边转出纸外 (D) ad 边转出纸外，bc 边转入纸内 A 例例 14-11 如图，长载流导线 ab 和 cd 相互垂直，它们相距 l，ab 固定不动，cd 能绕中点 O 转动，并 能靠近或离开 ab当电流方向如图所示时，导线 cd 将 (A) 顺时针转动同时离开 ab (B) 顺时针转动同时靠近 ab (C) 逆时针转动同时离开 ab (D) 逆时针转动同时靠近 ab D 例例 14-12 两个同心圆线圈，大圆半径为 R，通有电流 I1；小圆半径为 r，通有电流 I2，方向如图若 r R3处 B= )2/( 2 10 RrI 0 14-7 把轻的正方形线圈用细线挂在载流直导线 AB 的附近，两者在同一平面内，直导线 AB 固定， 线圈可以活动当正方形线圈通以如图所示的电流时线圈将 (A) 不动 (B) 发生转动，同时靠近导线 AB (C) 离开导线 AB (D) 靠近导线 AB D 14-8 两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线飞入匀强磁场，它们的质量之比是 14，电荷之比是 12，它们所受的磁场力之比是 ；运动轨迹半径之比是 12 12 14-9 如图所示，有两根平行放置的长直载流导线它们的直径为 a，反 向流过相同大小的电流 I，电流在导线内均匀分布试在图示的坐标 系中求出 x 轴上两导线之间区域 2 5 , 2 1 aa内磁感强度的分布 解：建立坐标系，应用安培环路定理，左边电流产生的磁感应强度 x2 I B 0 1 ； 方向向里 右边电流产生的磁感应强度 )xa3(2 I B 0 2 ； 方向向外 应用磁场叠加原理可得磁场分布为， )3(22 00 xa I x I B ) 2 5 2 (ax a B 的方向垂直 x 轴及图面向里 14-10 有一无限长通电流的扁平铜片， 宽度为 a， 厚度不计， 电流 I 在铜片上均匀分布， 在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为 b 处的 P 点(如图)的磁感强度B 的大小为 (A) )(2 0 ba I (B) b ba a I ln 2 0 (C) b ba b I ln 2 0 (D) )2( 0 ba I B 14-11 若空间存在两根无限长直载流导线，空间的磁场分布就不具有简单的对称性，则该磁场分布 (A) 不能用安培环路定理来计算 (B) 可以直接用安培环路定理求出 (C) 只能用毕奥萨伐尔定律求出 (D) 可以用安培环路定理和磁感强度的叠加原理求出 D 14-12 长直电流 I2与圆形电流 I1共面，并与其一直径相重合如图(但两者间绝缘)， 设长直电流不动，则圆形电流将 (A) 绕 I2旋转 (B) 向左运动 (C) 向右运动 (D) 向上运动 C R1 R3 R2 I I A B I I I a a I x O 2a I a a I x O 2a I a b P I2 I1 O B m (A) O B m (B) O B m (C) O B m (D) 16 14-13 一质量为 m、电荷为 q 的粒子，以与均匀磁场B 垂直的速度 v 射入磁场内，则粒子运动轨道所包围范围内的磁通量m与磁场磁 感强度B 大小的关系曲线是(A)(D)中的哪一条？ C 14-14 一个动量为 p 的电子，沿图示方向入射并能穿过一个宽度为 D、磁感强度为B (方向垂直纸面 向外)的均匀磁场区域，则该电子出射方向和入射方向间的夹角为 (A) p eBD 1 cos (B) p eBD 1 sin (C) ep BD 1 sin (D) ep BD 1 cos B 14-15 一载有电流 I 的细导线分别均匀密绕在半径为 R 和 r 的长直圆筒上形成两个螺线管， 两螺线管 单位长度上的匝数相等设 R = 2r，则两螺线管中的磁感强度大小 BR和 Br应满足： (A) BR = 2 Br (B) BR = Br (C) 2BR = Br (D) BR = 4 Br B 14-16 电子在磁感强度为B 的均匀磁场中沿半径为 R 的圆周运动，电子运动所形成的等效圆电流强 度 I = ；等效圆电流的磁矩 pm = 已知电子电荷为 e，电子的质量为 me )2/( 2 e mBe )2/( 22 e mRBe 【补充题】 14-1 在一顶点为 45的扇形区域，有磁感强度为B 方向垂直指向纸面内 的均匀磁场，如图今有一电子(质量为 m，电荷为-e)在底边距顶点 O 为 l 的地方，以垂直底边的速度 v 射入该磁场区域，若要使电子不从 上面边界跑出，电子的速度最大不应超过多少？ 解：电子进入磁场作圆周运动，圆心在底边上 当电子轨迹 与上面边界相切时，对应最大速度，此时有如图所示情形 RRl45sin)( llR) 12() 12/( 由 )/(eBmRv，求出 v 最大值为 m leB m eBR ) 12(v 14-2 一边长 a =10 cm 的正方形铜线圈，放在均匀外磁场中，B 竖直向上，且 B = 9.4010-3 T，线 圈中电流为 I =10 A (1) 今使线圈平面保持竖直，问线圈所受的磁力矩为多少？