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1 大学物理（二）练习册参考解答 第 12 章 真空中的静电场 一、选择题一、选择题 1(D)，2(C)，3(C)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(D)，9(D)，10(B)， 二、填空题二、填空题 (1). 电场强度和电势， 0 /qFE vv =，lEqWU a a vv = 0 0 d/(U0=0). (2).() 042 /qq+，q1、q2、q3、q4； (3).0，/ (20) ；(4).R/ (20) ； (5).0 ；(6). 00 11 4rr q ； (7).2103V；(8). ab rr qq11 4 0 0 (9).0，pEsin；(10). () i ax A v 2 + . 三、计算题三、计算题 1. 如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电 荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P 点的电场强度 解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向带电 直杆的电荷线密度为=q/L，在x处取一电荷元 dq= dx=qdx/L，它在P点的场强： ()2 0 4 d d xdL q E + = ()2 0 4 d xdLL xq + = 总场强为 + = L xdL x L q E 0 2 0 )( d 4()dLd q + = 0 4 方向沿x轴，即杆的延长线方向 2一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布 有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷Q，如图所示试求圆心 O处的电场强度 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在处取微小电荷dq= dl= 2Qd/ 它在O处产生场强 L d q P +Q Q R O x y L d dq x(L+dx) dE x O 2 d 24 d d 2 0 22 0 R Q R q E = = 按 角变化，将 dE分解成二个分量： dsin 2 sindd 2 0 2 R Q EEx = dcos 2 cosdd 2 0 2 R Q EEy = 对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷 = 2/ 2/ 0 2 0 2 dsindsin 2R Q Ex0 2 0 2 2/ 2/ 0 2 0 2 dcosdcos 2R Q R Q Ey = = 所以j R Q jEiEE yx vvvv 2 0 2 =+= 3. “无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为R，设半圆柱面沿轴线 OO单位长度上的电荷为，试求轴线上一点的电场强度 解:设坐标系如图所示将半圆柱面划分成许多窄条dl宽的窄条的电 荷线密度为 ddd = =l R 取位置处的一条，它在轴线上一点产生的场强为 d 22 d d 0 2 0 RR E = = 如图所示. 它在x、y轴上的二个分量为： dEx=dEsin, dEy=dEcos 对各分量分别积分 RR Ex 0 2 0 0 2 dsin 2 = = 0dcos 2 0 0 2 = = R Ey 场强i R jEiEE yx vvvv 0 2 =+= 4. 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E v 垂直于地面向下，大小约为 100 N/C；在离地面 1.5 km 高的地方，E v 也是垂直于地面向下的，大小约为 25 N/C (1) 假设地面上各处E v 都是垂直于地面向下， 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均 体密度； (2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面 的电荷产生，求地面上的电荷面密度(已知：真空介电常量 0 8.8510-12C2N-1m-2) dq R O x y d dEy y dl d R dEx x dE O R O 3 解： (1) 设电荷的平均体密度为， 取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面， 底面S平行地面) 上下底面处的 场强分别为E1和E2，则通过高斯面的电场强度通量为： E v S v dE2S-E1S(E2-E1)S 高斯面S包围的电荷qihS 由高斯定理(E2E1)ShS /0 () EE h 120 1 =4.4310 -13 C/m3 (2) 设地面面电荷密度为由于电荷只分布在地表面，所以电力 线终止于地面，取高斯面如图(2) 由高斯定理 E v S v d= i 0 1 q -ES=S 0 1 =0E8.910-10C/m3 5. 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 =Ar(rR) ， =0(rR)，A为一常量试求球体内外的场强分布 解：在球内取半径为r、厚为 dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 rrArVqd4dd 2 = 在半径为r的球面内包含的总电荷为 4 0 3 d4ArrArdVq r V = (rR) 以该球面为高斯面，按高斯定理有 0 42 1 /4ArrE= 得到() 0 2 1 4/ArE=， (rR) 方向沿径向，A0 时向外,AR) 方向沿径向，A0 时向外，AR) (2) 计算电势分布 rR时 += l R R r l r r rAR rr A rEU d 3 d 3 d 0 3 2 0 () R lAR rR A ln 39 0 3 33 0 += rR时 r lAR r rAR rEU l r l r ln 3 d 3 d 0 3 0 3 = 9一真空二极管，其主要构件是一个半径R1510 -4 m 的 圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R24.510 -3 m 的 同轴圆筒形阳极B，如图所示阳极电势比阴极高 300 V， 忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力 (基本 电荷e1.610 -19 C) 解： 与阴极同轴作半径为r(R1rR2)的单位长度的圆柱形高斯面， 设阴极上电荷线密度为 按高斯定理有2rE=/0 得到E=/ (20r)(R1rR2) 方向沿半径指向轴线两极之间电势差 = 2 1 d 2 d 0 R R B A BA r r rEUU v v 1 2 0 ln 2R R = 得到 () 120 /ln2RR UU AB = ，所以 ()rRR UU E AB 1 /ln 12 = 在阴极表面处电子受电场力的大小为 () () 112 1 1 /cRRR UU eReEF AB = 4.3710 -14 N 方向沿半径指向阳极 R r h A B R2 R1 6 四四 研讨题研讨题 1. 真空中点电荷q的静电场场强大小为 2 0 4 1 r q E = 式中r为场点离点电荷的距离当r0 时，E，这一推论显然是没有物理意义的，应如 何解释？ 参考解答： 点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当r0 时，任何带电体都不能视为点电荷，所以 点电荷场强公式已不适用 若仍用此式求场强E，其结论必然是错误的当r0 时，需要具体考虑带电体的大小和电 荷分布，这样求得的E就有确定值 2. 用静电场的环路定理证明电场线如图分布的电场不可能是静电场 参考解答： 证：在电场中作如图所示的扇形环路abcda在ab和cd段场强方向 与路径方向垂直在bc和da段场强大小不相等（电力线疏密程度不 同）而路径相等因而 0ddd = c b a d lElElE vv 按静电场环路定理应有0d= lE vv ， 此场不满足静电场环路定理，所以不可能是静电场 3.如果只知道电场中某点的场强，能否求出该点的电势？如果只知道电场中某点的电势， 能否求出该点的场强？为什么？ 参考解答： 由电势的定义： = 零势点 场点 lEUd v 式中E v 为所选场点到零势点的积分路径上各点的场强，所以，如果只知道电场中某点的场 强，而不知道路径上各点的场强表达式，不能求出该点的电势。 由场强与电势的关系：UEgrad= v 场中某点的电场强度是该点电势梯度的负值。 如果只知道电场中某点的电势值， 而不知道其 表达式，就无法求出电势的空间变化率，也就不能求出该点的场强。 4. 从工厂的烟囱中冒出的滚滚浓烟中含有大量颗粒状粉尘，它们 严重污染了环境，影响到作物的生长和人类的健康。静电除尘是 被人们公认的高效可靠的除尘技术。先在实验室内模拟一下管式 静电除尘器除尘的全过程，在模拟烟囱内，可以看到，有烟尘从 “烟囱”上飘出。加上电源，烟囱上面的烟尘不见了。如果撤去 电源，烟尘又出现在我们眼前。请考虑如何计算出实验室管式静 7 电除尘器的工作电压，即当工作电压达到什么数量级时，可以实现良好的静电除尘效果。 参考解答： 先来看看静电除尘装置的结构：在烟囱的轴线上，悬置了一根导线，称之谓电晕线； 在 烟囱的四周设置了一个金属线圈，我们称它为集电极。直流高压电源的正极接在线圈上， 负 极接在电晕线上，如右上图所示。可以看出，接通电源以后，集电极与电晕线之间就建立了 一个非均匀电场，电晕线周围电场最大。 改变直流高压电源的电 压值，就可以改变电晕线周围的电场强度。当实际电场强度与空 气的击穿电场 13 Vmm103 相近时空气发生电离，形成大量的正 离子和自由电子。 自由电子随电场向正极飘移，在飘移的过程中 和尘埃中的中性分子或颗粒发生碰撞，这些粉尘颗粒吸附电子以 后就成了荷电粒子，这样就使原来中性的尘埃带上了负电。 在电 场的作用下，这些带负电的尘埃颗粒继续向正极运动，并最后附 着在集电极上。（集电极可以是金属线圈， 也可以是金属圆桶壁） 当尘埃积聚到一定程度时，通过振动装置，尘埃颗粒就落入灰斗 中。 这种结构也称管式静电除尘器。 如右中图所示。 对管式静电除尘器中的电压设置，我们可以等价于同轴电缆 来计算。如右下图所示，ra与rb分别表示电晕极与集电极的半径， L及D分别表示圆筒高度及直径。 一般L为3-5m，D为200-300mm， 故LD， 此时电晕线外的电场可以认为是无限长带电圆柱面的电 场。 设单位长度的圆柱面带电荷为。 用静电场高斯定理求出距轴线任意距离r处点P的 场强为： ) 1 ( 2 0 =r r E v 式中r为沿径矢的单位矢量。 内外两极间电压U与电场强度E之关系为 = b a r r lEU)2(d vv ，将式(1)代入式(2)， 积分后得: a b r r U ln 2 0 =,故 a b r r r U E ln =. 由于电晕线附近的电场强度最大，使它达到空气电离的最大电 场强度 m E时，就可获得高压电源必须具备的电压 a b am r r rEUln= 代入空气的击穿电场，并取一组实测参数如下： m15. 0m,105 . 0,mV103 216 = bam rrrE,计算结果V101 . 5 4 =U. 若施加电压U低于临界值，则没有击穿电流，实现不了除尘的目的。也就是说，在这 样尺寸的除尘器中，通常当电压达到 105V 的数量级时，就可以实现良好的静电除尘效果。 静电除尘器除了上述的管式结构外还有其它的结构形式， 如板式结构等。 可以参阅有关资料， 仿上计算，也可以自行独立设计一种新型结构的静电除尘器。 8 第 13 章 静电场中的导体和电解质 一、选择题一、选择题 1(D)，2(D)，3(B)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(B)，9(C)，10(B) 二、填空题二、填空题 (1).4.55105C ； (2). (x，y，z)/ 0，与导体表面垂直朝外( 0) 或 与导体表面垂直朝里(R2 R1)，两圆筒间充有两层相对介电常量分别为r1和r2的各向同性均匀电 介质，其界面半径为R，如图所示设内、外圆筒单位长度上带电荷(即电 荷线密度)分别为和，求： (1) 电容器的电容 (2) 电容器储存的能量 解：(1) 根据有介质时的高斯定理可得两筒之间的电位移的大小为D=/ (2r) 介质中的场强大小分别为 E1=D/ (0r1) =/ (20r1r) E2=D/ (0r2) =/ (20r2r) x d x Rd-R + O - R2 R R1 r1 r2 L 11 两筒间电势差 += 2 1 221 dd R R R R rErEU v v v v R R R R rr 2 20110 ln 2 ln 2 += ()() 210 2112 2 /ln/ln rr rr RRRR + = 电容 ()()RRRR L U Q C rr rr /ln/ln 2 2112 210 + = (2) 电场能量 210 2 1 1 2 2 2 4 lnln 2 rr rr R R R R L C Q W + = 8. 如图所示，一平板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d， 其间填有两层厚度相同的各向同性均匀电介质，其介电常量分别为 1和2当电容器带电荷Q时，在维持电荷不变下，将其中介电 常量为1的介质板抽出，试求外力所作的功 解：可将上下两部分看作两个单独的电容器串联，两电容分别为 d S C 1 1 2 =， d S C 2 2 2 = 串联后的等效电容为 () 21 21 2 + = d S C 带电荷Q时，电容器的电场能量为 () S dQ C Q W 21 21 22 42 + = 将1的介质板抽去后，电容器的能量为 () S dQ W 20 20 2 4 + = 外力作功等于电势能增加，即 = 10 2 11 4S dQ WWWA 四四 研讨题研讨题 1. 无限大均匀带电平面（面电荷密度为）两侧场强为)2/( 0 =E，而在静电平衡状态 下，导体表面（该处表面面电荷密度为）附近场强为 0 /=E，为什么前者比后者小一 半？ 参考解答： 关键是题目中两个式中的不是一回事。下面为了讨论方便， 我们把导体表面的面电荷 密度改为，其附近的场强则写为./ 0 =E 对于无限大均匀带电平面(面电荷密度为)， 两侧场强为)2/( 0 =E.这里的 是指带 电平面单位面积上所带的电荷。 对于静电平衡状态下的导体，其表面附近的场强为./ 0 =E 这里的 是指带电导体表面某处单位面积上所带的电荷。 如果无限大均匀带电平面是一个静电平衡状态下的无限大均匀带电导体板，则是此导 体板的单位面积上(包括导体板的两个表面)所带的电荷，而仅是导体板的一个表面单位 面积上所带的电荷。 +Q -Q d 1 2 12 在空间仅有此导体板（即导体板旁没有其他电荷和其他电场）的情形下，导体板的表面 上电荷分布均匀， 且有两表面上的面电荷密度相等。 在此情况下两个面电荷密度间的关系为 =2。这样，题目中两个E式就统一了。 2. 由极性分子组成的液态电介质，其相对介电常量在温度升高时是增大还是减小？ 参考解答： 由极性分子组成的电介质（极性电介质）放在外电场中时，极性分子的固有电矩将沿外 电场的方向取向而使电介质极化。 由于极性分子还有无规则热运动存在， 这种取向不可能完 全整齐。 当电介质的温度升高时，极性分子的无规则热运动更加剧烈，取向更加不整齐，极化的 效果更差。此情形下，电极化强度 V p P i = v v 将会比温度升高前减小。 在电介质中的电场E v 不太强时，各向同性电介质的P v 和E v 间的关系为 EP r vv ) 1( 0 =. . 很明显，在同样的电场下，当温度升高后，相对介电常量r要减小。 3. 有一上下极板成角的非平行板电容器（长为a ,宽为b） ，其电容如何计 算？ 参考解答： 设一平行板电容器是由长为a ,宽为b的两导体板构成,板间距为d ,则电容为 , 0 d ab C =若该电容器沿两极板的长度同一方向有dx的长度增 量,则电容为, d)d( 0 d xa C d xba C += + =在此基础上推广到 如图所示的电容器， 可以认为是在 0 C的基础上,上极板沿与长度 方向成角度连续增加到b,下极板沿长度方向连续增加到bcos 构成，把该电容器看成是由两个电容器并联时，该电容器的电容为 d bda C ld la CC b sin ln tantan d 0 cos 0 0 + += + += 即非平行板电容器的电容， d bda C sin ln tan + = 4. 为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可 视作相对电容率为r的电介质） ， 通常在生产流水线上设置 如图所示的传感装置，其中A、B为平板电容器的导体极 板，S 为极板面积，d0为两极板间的距离。试说明检测原 理，并推出直接测量电容C与间接测量厚度d之间的函 数关系。如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如 13 何？ 参考解答： 设极板带电Sq 0 =， 两板电势差：dEddEU 有电介质有电介质有电介质有电介质无电介质无电介质无电介质无电介质 +=)( 0 dddU r 0 0 0 0 0 )(+= 则 )( 0 0 ddd s U q C r r + = = 介质的厚度为： C S d C SCd d r r r r r rr ) 1(1) 1( 0 0 00 = = 实时地测量A、B间的电容量C，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度、通常 智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度。 如果待测材料是金属导体，其A、B间等效电容与导体材料的厚度分别为： dd S C = 0 0 ， C S dd 0 0 =. 第 14 章 稳恒电流的磁场 一、选择题一、选择题 1(B)，2(A)，3(D)，4(C)，5(B)，6(D)，7(B)，8(C)，9(D)，10(A) 二、填空题二、填空题 (1).最大磁力矩，磁矩;(2).R2c； (3). )4/( 0 aI；(4). R I 4 0 ； (5).0i，沿轴线方向朝右. ；(6).)2/( 2 10 RrI， 0; (7).4 ;(8).BIR2，沿y轴正向； (9).BR3，在图面中向上；(10).正，负. 三三 计算题计算题 1. 将通有电流I的导线在同一平面内弯成如图所示的形状， 求D点的 磁感强度B v 的大小 解：其中 3/4 圆环在D处的场)8/(3 01 aIB= AB段在D处的磁感强度)2 2 1 ()4/( 02 =bIB BC段在D处的磁感强度)2 2 1 ()4/( 03 =bIB 1 B v 、 2 B v 、 3 B v 方向相同，可知D处总的B为 D b A B C a I b 14 ) 2 2 3 ( 4 0 ba I B+ = 2. 半径为R的导体球壳表面流有沿同一绕向均匀分布的面电流，通过垂直于电流方向的每 单位长度的电流为K求球心处的磁感强度大小 解：如图 dddKRsKI= 2/322 2 0 )cos()sin(2 )sin(d d RR RI B + = 3 23 0 2 dsin R KR = dsin 2 1 2 0K = = 0 2 0 dsin 2 1 KB = 0 0 d)2cos1 ( 4 1 K=K 0 4 1 3. 如图两共轴线圈，半径分别为R1、R2，电流为I1、I2电流的方向 相反，求轴线上相距中点O为x处的P点的磁感强度 解：取x轴向右，那么有 2/322 1 1 2 10 1 )( 2xbR IR B + = 沿x轴正方向 2/322 2 2 2 20 2 )( 2xbR IR B + = 沿x轴负方向 21 BBB= 2 0 = 2/322 1 1 2 10 )(xbR IR + )( 2/322 2 2 2 20 xbR IR + 若B 0，则B v 方向为沿x轴正方向若B = 因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通2为 =SB vv d 2 r r I R R d 2 2 0 = 2ln 2 0 = I 穿过整个矩形平面的磁通量 21 += = 4 0I 2ln 2 0 + I 5. 一半径为 4.0 cm 的圆环放在磁场中，磁场的方向对环而言是对 称发散的，如图所示圆环所在处的磁感强度的大小为 0.10 T，磁 场的方向与环面法向成 60角求当圆环中通有电流I=15.8 A 时， 圆环所受磁力的大小和方向 解：将电流元Idl处的B v 分解为平行线圈平面的B1和垂直 线圈平面的B2两分量，则 =60sin 1 BB；=60cos 2 BB 分别讨论线圈在B1磁场和B2磁场中所受的合力F1与F2 电流元受B1的作用力 lIBlBIFd60sin90sindd 11 = 方向平行圆环轴线因为线圈上每一电流元受力方向相同，所以合力 = 11 dFF = R lIB 2 0 d60sinRIB =260sin= 0.34 N，方向垂直环面向上 电流元受B2的作用力 lIBlBIFd60cos90sindd 22 =方向指向线圈平面中心 由于轴对称，dF2对整个线圈的合力为零，即0 2 =F 所以圆环所受合力34 . 0 1 =FFN，方向垂直环面向上 6. 如图所示线框，铜线横截面积S= 2.0 mm2，其中OA和DO两段保持水平不动，ABCD 段是边长为a的正方形的三边，它可绕OO轴无摩擦转动整个导 线放在匀强磁场B v 中，B v 的方向竖直向上 已知铜的密度= 8.9103 kg/m3，当铜线中的电流I=10 A 时，导线处于平衡状态，AB段和CD 段与竖直方向的夹角=15求磁感强度B v 的大小 解：在平衡的情况下，必须满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩平衡(对OO轴而言) 重力矩sinsin 2 1 2 1 gSaaagSaM+= sin2 2 gSa= 磁力矩cos) 2 1 sin( 22 2 BIaBIaM= B 60 I I B1 B2 dF1 dF2 Idl Idl O B A D C O 16 平衡时 21 MM= 所以sin2 2 gSacos 2B Ia= 3 1035 . 9 /tg2 =IgSBT 7. 半径为R的半圆线圈ACD通有电流I2， 置于电流为I1的无限长直线电流的 磁场中，直线电流I1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘求半圆线圈受到长 直线电流I1的磁力 解：长直导线在周围空间产生的磁场分布为)2/( 10 rIB=取xOy坐标系 如图，则在半圆线圈所在处各点产生的磁感强度大小为： sin2 10 R I B =， 方向垂直纸面向里， 式中为场点至圆心的联线与y轴的夹角半圆线圈上 dl段线电流所受的力为： lBIBlIFddd 22 = vv d sin2 210 R R II = sinddFFy= 根据对称性知：Fy=0d= y F cosddFFx=， = 0 xx dFF = 2 210 II 2 210 II = 半圆线圈受I1的磁力的大小为： 2 210 II F =，方向：垂直I1向右 8. 如图所示一块半导体样品的体积为abc沿c方向有电流I，沿厚度a边方向加有 均匀外磁场B v (B v 的方向和样品中电流密度方向垂直) 实验得出的数据为a0.10 cm、b0.35 cm、c1.0 cm、 I1.0 mA、B3.010 -1 T， 沿b边两侧的电势差U6.65 mV，上表面电势高 (1) 问这半导体是 p 型(正电荷导电)还是 n 型(负电 荷导电)？ (2) 求载流子浓度n0(即单位体积内参加导电的带 电粒子数) 解：(1) 根椐洛伦兹力公式：若为正电荷导电，则正电荷堆积在上表面，霍耳电场的方向由 上指向下，故上表面电势高，可知是 p 型半导体。 (2) 由霍耳效应知，在磁场不太强时，霍耳电势差U与电流强度I，磁感强度B成正比， 而与样品厚度a成反比，即： a IB KU=而 qn K 0 1 = 根椐题给条件，载流子浓度为： 20 0 1082 . 2 = aqU IB nm -3 I2 I1 A D C I1 I2 x R y dF dFx dFy O U I c b a 电位差 17 四四 研讨题研讨题 1.将磁场的高斯定理与电场的高斯定理相比，两者有着本质上的区别。从类比的角度可作 何联想？ 参考解答： 磁场的高斯定理与电场的高斯定理： = ss qSDSB vvvv d, 0d 作为类比，反映自然界中没有与电荷相对应“磁荷”（或叫单独的磁极）的存在。但是狄拉 克 1931 年在理论上指出，允许有磁单极子的存在，提出： 2 n qq m = 式中q是电荷、qm是磁荷。电荷量子化已被实验证明了。然而迄今为止，人们还没有发现 可以确定磁单极子存在可重复的直接实验证据。 如果实验上找到了磁单极子， 那么磁场的高 斯定理以至整个电磁理论都将作重大修改。 1982 年， 美国斯坦福大学曾报告， 用直径为 5cm 的超导线圈放入直径 20cm 的超导铅筒， 由于迈斯纳效应屏蔽外磁场干扰，只有磁单极子进入才会引起磁通变化。运行 151 天，记录 到一次磁通变化，但此结果未能重复。 据查阅科学出版社 1994 年出版的，由美国引力、宇宙学和宇宙线物理专门小组撰写的 90 年代物理学有关分册，目前已经用超导线圈，游离探测器和闪烁探测器来寻找磁单 极子。在前一种情况，一个磁单极子通过线圈会感应出一个阶跃电流，它能被一个复杂装置 探测出来， 但这种方法的探测面积受到线圈大小的限制。 游离探测器和闪烁探测器能做成大 面积的，但对磁单极子不敏感。现在物理学家们仍坚持扩大对磁单极子的研究，建造闪烁体 或正比计数器探测器，相应面积至少为 1000m2。并建造较大的，面积为 100m2量级的环状 流强探测器，同时加强寻找陷落在陨石或磁铁矿中的磁单极子的工作。 2.当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时，平行于磁场方向的速度分量如何变 化？动能如何变化？垂直于磁场方向的速度分量如何变化？ 参考解答： 当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时， 它所受到的磁场力有一个和前进方向 相反的分量， 这个分量将使平行于磁场方向的速度分量减小， 甚至可使此速度分量减小到零， 然后使粒子向相反方向运动（这就是磁镜的原理）。 当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时，由于平行于磁场方向的速度分量减 小，因而与这个速度分量相关的动能也减小。然而磁力对带电粒子是不做功的，粒子的总动 能不会改变，因此，与垂直于磁场方向的速度分量相关的动能在此运动过程中将会增大， 垂 直于磁场方向的速度分量也相应地增大。 3. 电磁流量计是一种场效应型传感器,如图所示： 截面矩形的非磁性管,其宽度为d、 高度为 h，管内有导电液体自左向右流动, 在垂直液面流动的方向 加一指向纸面内的匀强磁场,当磁感应强度为B时,测得液 体上表面的a与下表面的b两点间的电势差为U,求管内导 电液体的流量。 参考解答： 18 导电液体自左向右在非磁性管道内流动时,在洛仑兹力作用下,其中的正离子积累于 上表面,负离子积累于下表面,于是在管道中又形成了从上到下方向的匀强霍尔电场E,它 同匀强磁场B一起构成了速度选择器。因此在稳定平衡的条件下,对于以速度v匀速流动的导 电液体,无论是对其中的正离子还是负离子,都有 Bq d U qqEv= 流速, Bd U =v液体流量. B Uh hdQ=v 如果截面园形的非磁性管,B磁感应强度；D测量 管内径；U流量信号（电动势） ；v液体平均轴向流速,L 测量电极之间距离。 霍尔电势Ue (1) vkBLUe=k（无量纲）的常数， 在圆形管道中，体积流量是： (2) 4 2 v D Q = 把方程(1)、(2) 合并得：液体流量 B U kL D Q= 4 2 或者 B U KQ=，K校准系数，通常是靠湿式校准来得到。 第 15 章 磁介质的磁化 一、选择题一、选择题 1(C)，2(B)，3(B)，4(C)，5(D) 二、填空题二、填空题 (1).8.8810 -6 ，抗 . (2).铁磁质，顺磁质，抗磁质. (3).2.5010 4 A/m (4).各磁畴的磁化方向的指向各不相同，杂乱无章. 全部磁畴的磁化方向的指向都转向外磁场方向. (5).矫顽力大，剩磁也大；例如永久磁铁 (6).矫顽力小，容易退磁 三三 计算题计算题 1. 半径为R、通有电流I的一圆柱形长直导线，外面是一同轴的介质长圆管，管的内外半 径分别为R1和R2，相对磁导率为r求： (1) 圆管上长为l的纵截面内的磁通量值； (2) 介质圆管外距轴r处的磁感强度大小 解： (1) r I H = 2r I B r = 2 0 rl r I R R r d 2 2 1 0 = 1 20 ln 2R RIl r = 19 (2) r I B = 2 0 ，与有无介质筒无关 2. 一根无限长的圆柱形导线，外面紧包一层相对磁导率为r的圆管形磁介质导线半径为 R1，磁介质的外半径为R2，导线内均匀通过电流I求 (1) 磁感强度大小的分布(指导线内、介质内及介质以外空间) (2) 磁介质内、外表面的磁化面电流密度的大小 解(1) 由电流分布的对称，磁场分布必对称把安培环路定理用于和导线同心的各个圆周 环路在导线中 (0R2) r I H 2 3 =， r I B = 2 0 3 (2) 磁化强度 () r I r I r I H B M rr = = 2 1 22 0 介质内表面处的磁化电流密度 () 1 1 2 1 1 R I Mi r S = 介质外表面处 () 2 2 1 2 R I i r S = 3. 一个磁导率为1的无限长均匀磁介质圆柱体，半径为 R1其中均匀地通过电流I在它外面还有一半径为R2的 无限长同轴圆柱面，其上通有与前者方向相反的电流I， 两者之间充满磁导率为2的均匀磁介质求磁感强度的大 小B对到轴的距离r的分布 解：由安培环路定律 = i IlH vv d ，有 2 1 2 2 1 1 22R Ir r r R I H = =0rR1 H2=I/ (2r)R1rR2 H3= 0rR2 B=H有B的分布： () 2 111 2/RIrB=0rR1 B2=2I/ (2r)R1rR2 B3= 0rR2 R2 2 I O O 2 1 R2 R1 俯视图 20 4. 一铁环的中心线周长为 0.3 m，横截面积为 1.010 -4 m2，在环上密绕 300 匝表面绝缘的 导线，当导线通有电流 3.210 -2 A 时，通过环的横截面的磁通量为 2.010 -6 Wb求： (1) 铁环内部的磁感强度； (2) 铁环内部的磁场强度； (3) 铁的磁化率； (4) 铁环的磁化强度 解：(1) 2 102 = S B T (2)n= 1000 m -1， H=nI032A/m (3) 相对磁导率497 0 = H B r 磁化率m=r1 = 496 (4) 磁化强度M=mH1.59104A/m 四四 研讨题研讨题 1. 顺磁质和铁磁质的磁导率明显地依赖于温度，而抗磁质的磁导率则几乎与温度无关，为 什么？ 参考解答： 顺磁质的磁性主要来源于分子的固有磁矩沿外磁场方向的取向排列。当温度升高时， 由 于热运动的缘故，这些固有磁矩更易趋向混乱，而不易沿外磁场方向排列，使得顺磁质的磁 性因磁导率明显地依赖于温度。 铁磁质的磁性主要来源于磁畴的磁矩方向沿外磁场方向的取向排列。当温度升高时， 各 磁畴的磁矩方向易趋向混乱而使铁磁质的磁性减小， 因而铁磁质的磁导率会明显地依赖于温 度。当铁磁质的温度超过居里点时，其磁性还会完全消失。 至于抗磁质，它的磁性来源于抗磁质分子在外磁场中所产生的与外磁场方向相反的感生磁 矩，不存在磁矩的方向排列问题，因而抗磁质的磁性和分子的热运动情况无关，这就是抗磁 质的磁导率几乎与温度无关的原因。 2. 在实际问题中用安培环路定理 = 0 dIlH L vv 计算由铁磁质组成的闭合环路，在得出H 后，如何进一步求出对应的B值呢？ 参考解答: 由于铁磁质的 r不是一个常数，因此不能用B=r0H来进行计算，而是应当查阅手册 中该铁磁材料的BH曲线图，找出对应于计算值H的磁感强度B值 3. 磁冷却。将顺磁样品（如硝酸镁）在低温下磁化，其固有磁矩沿磁场排列时要放出能量 以热量的形式向周围环境排出。然后在绝热的情况下撤去外磁场，这样样品温度就要降低， 实验中可降低到 10-6K。试解释为什么样品绝热退磁时会降温。 参考解答： 磁冷却的原理和过程可以分几步说明如下： (1) 把顺磁样品放入低温环境中（如温度 1K的 He 气，He 气又和周围的液 He 维持 1K下的 21 热平衡） 。 (2) 加外磁场（磁感强度约 1T） ，使顺磁样品等温磁化，顺磁质的固有磁矩在外磁场的作用 下会排列起来。在此过程中，外界对磁场做功，顺磁质的内能增加；同时样品放出热量， 被 周围的 He 气吸收，整个系统仍维持 1K的温度不变。 (3) 迅速抽出样品周围的 He 气，使样品处于绝热隔离状态。 (4) 去掉外磁场，顺磁质的磁场又趋于混乱。此过程中，样品对外做功，内能减少，样品温 度下降。一般情况下，样品的温度可以将到 10-6K。 4. 高压容器在工业和民用领域都有着非常广泛的应用，如锅炉、储气罐、家用煤气坛等。 由于高压容器长期的使用、 运行,局部区域受到腐蚀、 磨损或机械损害,从而会形成潜在的威 胁.因此世界各国对于高压容器的运行都制定了严格的在役无损检测标准,以确保高压容器 的安全运行。请根据所学的知识,探索一种利用铁磁材料实现无损探伤的方法。 参考解答: 目前无损检测一般采用的方法有磁粉探伤、超声波探伤和X 射线探伤等方法。磁粉探 伤依据的是介质表面磁场分布的不连续性,可采用磁粉显示;超声波和X 射线探伤利用了波 动在介质分界面反射的现象. 这些方法有的仪器结构复杂、操作繁琐,有的数据处理麻烦、 价格较高,对于家用容器的检测就更为不方便. 根据LC振荡电路的磁回路特性,一旦介质内部出现裂纹,将会引起 磁导率的突变,从而使回路的电磁参数发生变化.将这一结果用于铁磁 材料表面和内部伤痕、裂纹的检测中,其检测方法原理简单,操作方便, 检测灵敏度高。 LC磁回路测量原理： 磁回路的基本模型如图所示。A是带线圈的磁芯， M是待检测的材料，如容器壁。磁 回路最基本的规律是安培环路定理: = i L IlH vv d. 假定整个回路采用高导磁率材料组成,而且回路中绕有N匝线圈,线圈中电流为I,若同 一种材料中的磁场强度相同,则环路定理就可以写成： = i ii ii lB lHNI 0 式中Hi总是沿li方向。当回路中第i段的截面积为Si时, BiSi=i,由于环路内各处截面的磁通 都相同,i=.于是有： . 000 = ii i ii ii i ii ii S l S llB lHNI 上式中令：, m NI= = m ii i R S l 0 分别为磁回路的磁动势和磁阻， 则) 1 (= m m R 另一方面,根据磁回路中的自感电动势定义： t N t I L d d d d =，由式(1)得到：. d d d d 2 2 mm R N IR I N I NL= 假定由该回路与电容C组成LC振荡电路,电路的振荡频率f为： )2( 2 1 2 1 = NC R LC f m 由式(2)可见,在回路几何参数一定的情况下,振荡频率由回路中的磁导率决定.在 22 磁回路图中,假定由容器壁M与带线圈的磁芯A组成回路,若维持几何参数不变,只要容器壁 是均匀的,那么不同地方的回路振荡频率便相同.在材料内部一旦出现气泡、裂纹,则在其 边界部位磁导率出现较大变化,振荡频率就会出现跳变.据此就可以探测到材料表面和内 部的伤痕、裂纹. 第 16 章 电磁场 一、选择题一、选择题 1(A)，2(A)，3(C)，4(C)，5(D)，6(D)，7(C)，8(B)，9(B)，10(B) 二、填空题二、填空题 (1).)2/cos(/dd+=tANbBtxNbB 或tNBbAsin=. (2).BnR2,O.(3).相同(或 2 2 1 RB),沿曲线由中心向外. (4).小于,有关.(5).0 (6).)8/( 222 0 aI.(7).9.6 J. (8). S SD t vv d或t D /dd, S SB t vv d或t m /dd. (9).tERd/d 0 2 ， 与E v 方向相同（或由正极板垂直指向负极板）. (10).tBrd/d 2 1 . 三三 计算题计算题 1. 如图所示，有一半径为r=10 cm 的多匝圆形线圈，匝数 N=100，置于均匀磁场B v 中(B= 0.5 T)圆形线圈可绕通过 圆心的轴O1O2转动， 转速n=600 rev/min 求圆线圈自图示 的初始位置转过 2 1 时， (1) 线圈中的瞬时电流值(线圈的电阻R为 100 ， 不计 自感)； (2) 圆心处的磁感强度(0 =410 -7 H/m) 解：(1) 设线圈转至任意位置时圆线圈的法向与磁场之间的夹角为，则通过该圆线圈平面 的磁通量为 cos 2 rB=,ntt=2 ntrB=2cos 2 在任意时刻线圈中的感应电动势为 ntnrNB t N= =2sin2 d d 2 ntnBNr=2sin2 22 t Int R nNBr R i m = = 2 2 sin2sin 2 2 当线圈转过 /2时，t=T/4，则987 . 0 /2 2 = 2 RNBnrIi m A (2) 由圆线圈中电流Im在圆心处激发的磁场为 O1 O2 r 23 =)2/( 0 rNIB m 6.2010 -4 T 方向在图面内向下，故此时圆心处的实际磁感强度的大小 500. 0)( 2/122 0 +=BBBT 方向与磁场B r 的方向基本相同 2. 如图所示，真空中一长直导线通有电流I(t) =I0e - t (式中I0、 为常量，t为时间)，有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行 共面，二者相距a矩形线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度 为b，并且以匀速v v (方向平行长直导线)滑动若忽略线框中的自 感电动势， 并设开始时滑动边与对边重合， 试求任意时刻t在矩形 线框内的感应电动势 Ei并讨论 Ei方向 解：线框内既有感生又有动生电动势设顺时针绕向为 Ei的正方向由 Ei= d /dt 出发，先求任意时刻t的 (t) =SBt rv d)( ytx y tI ba a d)( 2 )( 0 + = a ba txtI + =ln)()( 2 0 再求 (t)对t的导数： ) d d d d )(ln 2d )(d 0 t x Ix t I b ba t t + + = a ba tI t+ = ln)1 (e 2 0 0 v )(txv= Ei a ba tI t t+ = ln) 1(e 2d d 0 0 v Ei方向： t1 时，顺时针 3. 如图所示，一根长为L的金属细杆ab绕竖直轴O1O2以 角速度在水平面内旋转O1O2在离细杆a端L/5 处若已 知地磁场在竖直方向的分量为B v 求ab两端间的电势差 ba UU 解：Ob间的动生电动势： = 5/4 0 5/4 0 1 dd) LL lBllB vv v v( 22 50 16 ) 5 4 ( 2 1 BLLB= b点电势高于O点 Oa间的动生电动势： = 5/ 0 5/ 0 2 dd) LL lBllB vv v v( 22 50 1 ) 5 1 ( 2 1 BLLB= a点电势高于O点 I (t) a b I (t) a y i d y x (t) a b O1 O2 O L /5 24 22 12 50 16 50 1 BLBLUU ba = 22 10 3 50 15 BLBL= 4. 有一很长的长方的U形导轨，与水平面成角，裸导线 ab可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感强度B v 竖直向 上的均匀磁场中，如图所示设导线ab的质量为m，电阻 为R，长度为l，导轨的电阻略去不计，abcd形成电路，t=0 时，v=0. 试求： 导线ab下滑的速度v与时间t的函数关系 解：ab导线在磁场中运动产生的感应电动势 cosvBl i = abcd回路中流过的电流cos R Bl R I i i v = ab载流导线在磁场中受到的安培力沿导轨方向上的分力为： cos cos cosBl R Bl Bl