材料力学课后习题答案4章.pdf

1 第四章 扭 转 第四章 扭 转 题号题号 页码页码 4-5.1 4-7.2 4-8.3 4-9.4 4-11.6 4-13.7 4-14.8 4-19.8 4-20.9 4-21.10 4-22.12 4-23.13 4-24.15 4-26.16 4-27.18 4-28.19 4-29.20 4-33.21 4-34.22 4-35.23 4-36.24 （也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解）（也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解） 4-5 一受扭薄壁圆管，外径一受扭薄壁圆管，外径 D = 42mm，内径，内径 d = 40mm，扭力偶矩，扭力偶矩 M = 500N m，切 变模量 ，切 变模量 G=75GPa。 试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力， 并计算管表面纵线的倾斜角。 试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力， 并计算管表面纵线的倾斜角。 解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为 解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为 mm1 22 mm5 .20) 22 ( 2 1 0 =+= dDdD R， 于是，该圆管横截面上的扭转切应力为 于是，该圆管横截面上的扭转切应力为 189.4MPaPa10894. 1 m001. 00.02052 N500 2 8 222 0 = = R T 依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为 依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为 MPa4 .189= 该圆管表面纵线的倾斜角为 该圆管表面纵线的倾斜角为 rad102.53rad 1075 10 4 . 189 3 9 6 = = G 2 4-7 试建立薄壁圆管的扭转切应力公式，即式（试建立薄壁圆管的扭转切应力公式，即式（4-8） ，并证明当） ，并证明当 R0/ 10 时，该公 式的最大误差不超过 时，该公 式的最大误差不超过 4.53%。 解：设薄壁圆管的平均半径和壁厚分别为解：设薄壁圆管的平均半径和壁厚分别为 R0和和 。微剪力。微剪力 dA 对截面圆心（矩心）的微力 矩为 对截面圆心（矩心）的微力 矩为 R0 dA，由静力学关系知，该截面的扭矩为 ，由静力学关系知，该截面的扭矩为 ART A d 0 = (a) 由于中心对称， (a) 由于中心对称，沿圆周方向大小不变；又由于管壁很薄，沿圆周方向大小不变；又由于管壁很薄，沿壁厚方向也可近似地认为是均 匀分布的。于是，式(a)可以写成 沿壁厚方向也可近似地认为是均 匀分布的。于是，式(a)可以写成 ART 0 = (b) 对于薄壁圆管，其横截面面积为 (b) 对于薄壁圆管，其横截面面积为 RA 0 2 (c) 将式(c)代入式(b)，得薄壁圆管的扭转切应力公式为 (c) 将式(c)代入式(b)，得薄壁圆管的扭转切应力公式为 R T 2 0 2 = 设 设R=/ 0 ，按上述公式计算的扭转切应力为 ，按上述公式计算的扭转切应力为 322 0 22 T R T = (d) 按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径依次为 (d) 按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径依次为 RDRd+= 00 22， 横截面的极惯性矩为 横截面的极惯性矩为 )4( 2 )2()2( 32 )( 32 22 0 0 4 0 4 0 44 p R R RRdDI+=+= 由此可得 由此可得 ) 14( ) 12( )2( )4( ) 2 ( 23 0 22 00 0 p max + + =+ + =+= T R RR T R I T (e) 将式(d)与式(e)作比较，即 (e) 将式(d)与式(e)作比较，即 ) 12(2 14 ) 12( ) 14( 2 223 32 max + + = + + = T T 当 当10 0 = R 时， 时， 9548. 0 ) 1102(102 1104 2 max = + + = 3 可见，当可见，当10/ 0 R时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算的最大误差不超过的最大误差不超过 4.53。 。 4-8 图图 a 所示受扭圆截面轴，材料的所示受扭圆截面轴，材料的曲线如图曲线如图 b 所示，并可用所示，并可用 m C /1 =表示， 式中的 表示， 式中的 C 与与 m 为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分 布图。 为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分 布图。 题题 4-8 图图 解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到 解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到 xd d (a) 根据题设，轴横截面上距圆心为 (a) 根据题设，轴横截面上距圆心为处的切应力为 处的切应力为 m x C /1 ) d d ( (b) 由静力学可知， (b) 由静力学可知， = + A mmm A TA x CAd) d d (d / )1(/1 (c) 取径向宽度为 (c) 取径向宽度为d的环形微面积作为的环形微面积作为Ad，即 ，即 Ad2d= (d) 将式(d)代入式(c)，得 (d) 将式(d)代入式(c)，得 = + 2/ 0 / )12(/1 d) d d (2 d mmm T x C 由此得 由此得 mm m d C T x/ )13( /1 ) 2 m(2 ) 1m3( ) d d ( + + = (e) 将式(e)代入式(b)，并注意到 (e) 将式(e)代入式(b)，并注意到 T=M ，最后得扭转切应力公式为 ，最后得扭转切应力公式为 mm m d m m M 1)/(3 /1 ) 2 ( 13 2 + + = 横截面上的切应力的径向分布图示如图 横截面上的切应力的径向分布图示如图 4-8。 。 4 图 图 4-8 4-9 在图在图 a 所示受扭圆截面轴内，用横截面所示受扭圆截面轴内，用横截面 ABC 和和 DEF 与径向纵截面与径向纵截面 ADFC 切出 单元体 切出 单元体 ABCDEF（图（图 b） 。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。） 。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。 题题 4-9 图图 解：单元体解：单元体 ABCDEF 各截面上的应力分布图如图各截面上的应力分布图如图 4-9a 所示。 所示。 图 图 4-9 根据图 a，不难算出截面 根据图 a，不难算出截面DAOO1上分布内力的合力为 上分布内力的合力为 2 max 4 ) 2 ( 2 1 1 d Tl l d Fx= 同理，得截面 同理，得截面 1 OCFO上分布内力的合力为 上分布内力的合力为 2 4 2 d Tl Fx= 方向示如图 c。 设 方向示如图 c。 设 21 xx FF 与作用线到作用线到x轴线的距离为轴线的距离为 1 z e，容易求出 ，容易求出 323 2 1 dd ez= 根据图 根据图 b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为 ，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为 5 d T I T F d z 3 8 dd) 2 cos( 0 2/ 0 p 2 = 同理，左端面上的合力为 同理，左端面上的合力为 d T Fz 3 8 1 = 方向亦示如图 c。 设 方向亦示如图 c。 设 2 z F作用线到水平直径作用线到水平直径DF的距离为的距离为 y e（见图 b） ，由 （见图 b） ，由 = 0 2/ 0 32 p 4 d)d 2 (cos 2 T I T eF d yz 得 得 d d T dT ey295. 0 32 3 8 3 4 = 同理， 同理， 1 z F作用线到水平直径作用线到水平直径AC的距离也同此值。 根据图 b，还可算出半个右端面 的距离也同此值。 根据图 b，还可算出半个右端面EDO1上竖向分布内力的合力为 上竖向分布内力的合力为 = 2/ 0 2/ 0 p 3 4 dd) 2 sin( 3 d T I T F d y 设 设 3 y F作用线到竖向半径作用线到竖向半径EO1的距离为的距离为 2 z e （见图 b） ，由 （见图 b） ，由 = 2/ 0 2/ 0 32 p 23 8 ddcos d zy T I T eF 得 得 d d T dT ez295. 0 32 3 4 3 8 2 = 同理，可算出另半个右端面 同理，可算出另半个右端面FEO1以及左端面以及左端面OCBAOB、上的竖向分布内力的合力为 上的竖向分布内力的合力为 d T FFF yyy 3 4 214 = 方向均示如图 c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为 方向均示如图 c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为 2 z e 。 由图 c 可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个 力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。 。 由图 c 可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个 力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。 0 22 )(2e)2(0 121224 z =+= TT eFFeFeFM yzyyzzyx ， 6 0 3 8 3 8 )2(0 112 = d Tl d Tl eFlFM zxzy ， 0 3 4 3 4 0 34 = d Tl d Tl lFlFM yyz ， 既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。 上述讨论中，所有的 既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。 上述讨论中，所有的T在数值上均等于在数值上均等于M。 。 4-11 如图所示， 圆轴如图所示， 圆轴 AB 与套管与套管 CD 用刚性突缘用刚性突缘 E 焊接成一体， 并在截面焊接成一体， 并在截面 A 承受扭 力偶矩 承受扭 力偶矩 M 作用。圆轴的直径作用。圆轴的直径 d = 56mm，许用切应力，许用切应力 1 =80MPa，套管的外径，套管的外径 D = 80mm， 壁厚 ， 壁厚= 6mm，许用切应力，许用切应力 2 = 40MPa。试求扭力偶矩。试求扭力偶矩 M 的许用值。的许用值。 题题 4-11 图图 解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。 。 1.由圆轴.由圆轴AB求求M的许用值的许用值 1 M 16 1 3 1 p1 1 max1 = d M W M 由此得 由此得 m2.76kNmN102.76mN 16 1080056. 0 16 3 63 1 3 1 = = d M 2由套管由套管CD求求M的许用值的许用值 2 M 106mm37mmmm 2 680 2 00 R D R= = =， 此管不是薄壁圆管。 此管不是薄壁圆管。 85. 0 80 68 80 2680 = = )1 ( 16 2 43 2 p2 2 max2 = D M W M 7 由此得 由此得 mN 16 1040)0.85(1080. 0 16 )1 ( 643 2 43 2 = D M m1.922kNmN10922. 1 3 = 结论：扭力偶矩的许用值为 结论：扭力偶矩的许用值为m1.922kN=M。 。 4-13 图示阶梯形轴， 由图示阶梯形轴， 由 AB 与与 BC 两段等截面圆轴组成， 并承受集度为两段等截面圆轴组成， 并承受集度为 m 的均匀分 布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定 的均匀分 布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定 AB 与与 BC 段的长度段的长度 l1与与 l2以及直径以及直径 d1与与 d2。 已知轴总长为 。 已知轴总长为 l，许用切应力为，许用切应力为。 题题 4-13 图图 解：解：1.求.求 1 d 在截面 在截面A处有最大扭矩，其值为 处有最大扭矩，其值为 mlT= max1 由该截面的扭转强度条件 由该截面的扭转强度条件 16 3 1p1 max1 max1 d ml W T = 得 得 3 1 16 ml d = (a) (a) 2求求)( 22 ld BC段上的最大扭矩在截面段上的最大扭矩在截面B处，其值为 处，其值为 2max2 mlT= 由截面 由截面B的扭转强度条件可得 的扭转强度条件可得 3 2 2 m16 l d = 3求求)( 2 lV 该轴的总体积为 该轴的总体积为 8 2 2 22 2 1 4 )( 4 ldlldV+= ) 16 ()() 16 ( 4 2 3/2 2 2 3/2 l ml ll ml += 4求求 2 l 根据极值条件 根据极值条件 0 d d 2 = l V 得 得 0 3 5 ) 16m () 16 ( 3/2 2 2/32/3 =+l ml 即 即 lll465. 0) 5 3 ( 3/2 2 = (b) (b) 5.求.求 21 dl 和 l.llll5350) 5 3 (1 3/2 21 = (c) (c) 1 3 1/23/1 2 1/3 2 775. 0 16 ) 5 3 () m16 (d ml ld= (d) 该轴取式(a) (d) 该轴取式(a)(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。 (d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。 4-14 一密圈螺旋弹簧， 承受轴向载荷一密圈螺旋弹簧， 承受轴向载荷 F = 1kN 作用。 设弹簧的平均直径作用。 设弹簧的平均直径 D = 40mm， 弹簧丝的直径 ， 弹簧丝的直径 d = 7mm，许用切应力，许用切应力= 480MPa，试校核弹簧的强度。，试校核弹簧的强度。 解：由于 解：由于 10715 7 40 =. d D m 故需考虑曲率的影响，此时， 故需考虑曲率的影响，此时， 372MPaPa1072. 3 )m371. 54(0070 )N271. 54(040. 01000. 18 )34( 2(48 8 23 3 3 max = + = = .md mFD） 结论： 结论： max ，该弹簧满足强度要求。 ，该弹簧满足强度要求。 4-19 一薄壁圆管，两端承受扭力偶矩一薄壁圆管，两端承受扭力偶矩 M 作用。设管的平均半径为作用。设管的平均半径为 R0，壁厚为，壁厚为 ， 管长为 ， 管长为 l，切变模量为，切变模量为 G，试证明薄壁圆管的扭转角为，试证明薄壁圆管的扭转角为 9 3 0 2RG Ml = 证明：解此证明题的思路是证明：解此证明题的思路是。 薄壁圆管的扭转切应力为 。 薄壁圆管的扭转切应力为 R M W T 2 0p 2 = 从而有 从而有 RG M G 2 0 2 = 注意到切应变 注意到切应变代表了圆管母线代表了圆管母线AB的倾斜角，示如图的倾斜角，示如图 4-19。右端点。右端点B绕所在截面圆心转过 弧段 绕所在截面圆心转过 弧段 BB，在小变形条件下，其值 ，在小变形条件下，其值 2 0 2 RG Ml ls= 弧段 弧段 BB所对应的圆心角，正是圆管右端面相对于左端面的扭转角，即 所对应的圆心角，正是圆管右端面相对于左端面的扭转角，即 3 00 2RG Ml R s = 图 图 4-19 4-20 图示圆锥形薄壁轴图示圆锥形薄壁轴 AB，两端承受扭力偶矩，两端承受扭力偶矩 M 作用。设壁厚为作用。设壁厚为 ，横截面，横截面 A 与与 B 的平均直径分别为的平均直径分别为 dA与与 dB，轴长为，轴长为 l，切变模量为，切变模量为 G。试证明截面。试证明截面 A 和和 B 间的扭转角为间的扭转角为 22 / )2 BA BA BA dd dd G Ml+ = （ 题题 4-20 图图 证明：自左端证明：自左端A向右取坐标向右取坐标x，轴在，轴在x处的平均半径为 处的平均半径为 )( 2 1 )( 2 1 )( 0 cxdx l dd dxR A AB A += += 式中， 式中， 10 l dd c AB = 轴在 轴在x处的极惯性矩为 处的极惯性矩为 333 0p )( 4 )( 2 1 22cxd cxdRI AA +=+= 依据 依据 3 p )( 4)( d d cxdG M GI xT x A + = 得截面 得截面A和和B间的扭转角为 间的扭转角为 l A l A A BA cxd G M cxd cxd G M 0 2 0 3 / |)( c 2 )c( )d( 4 + = + + = 2222 d )(2 ) 11 ( ) ( 2 BA BA ABAB dG ddMl ddddG Ml+ = = 4-21 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度 为已知常数。 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度 为已知常数。 题题 4-21 图图 (a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。 设 (a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。 设A A与与B B端的支反力偶矩分别为端的支反力偶矩分别为 BA MM和，它们的转向与扭力偶矩，它们的转向与扭力偶矩M相反。由于左右 对称，故知 相反。由于左右 对称，故知 BA MM= 由 由0= x M可得 可得 MMMM ABA 22=+ 即 即 11 MMM BA = (b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩 (b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩 B M，示如图，示如图 4-21b。 。 图 图 4-21b 变形协调条件为 变形协调条件为 0= B (a) 利用叠加法求 (a) 利用叠加法求 B ，得到 ，得到 p B pp B GI aM GI aM GI Ma)3()2( += (b) 将式(b)代入式(a)，可得 (b) 将式(b)代入式(a)，可得 MMB 3 1 = 进而求得 进而求得 MMA 3 1 =（转向与（转向与 B M相反） (c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到 相反） (c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到 2 ma MM BA = BA MM、的转向与的转向与m相反。 (d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩 相反。 (d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩 B M，从变形趋势不难判断，从变形趋势不难判断， B M的转向与的转向与m相反。 变形协调条件为 相反。 变形协调条件为 0= B (c) 利用叠加法求 (c) 利用叠加法求 B ，得到（，得到（x从左端向右取） 从左端向右取） pp 2 p 0 p , 2 2 )2( d )( GI aM GI ma GI aM x GI xam BB a MBmBB B = =+= (d)(d) 将式将式(d)代入式代入式(c)，可得，可得 4 ma MB= 12 进而求得进而求得 4 3ma MmaM BA = A M的转向亦与的转向亦与m相反。相反。 4-22 试确定图示轴的直径。已知扭力偶矩试确定图示轴的直径。已知扭力偶矩 M1=400N m，M2=600N m，许用切应力，许用切应力 =40MPa，单位长度的许用扭转角，单位长度的许用扭转角=0.25() / m，切变模量，切变模量 G = 80GPa。 题题 4-22 图图 解：1.求解：1.求 B M，画扭矩图 此为静不定轴，设 ，画扭矩图 此为静不定轴，设B端支反力偶矩为端支反力偶矩为 B M，该轴的相当系统示如图，该轴的相当系统示如图 4-22a。 。 图 图 4-22 用叠加法求 用叠加法求 B ， ， 500225016005000400 1 p .M GI BB += 将其代入变形协调条件 将其代入变形协调条件0= B ，得 ，得 mN220 m5002 m)N50004002501600( 2 = = . MB 该轴的扭矩图示如图 该轴的扭矩图示如图 4-22b。 。 2.由圆轴扭转的强度条件求.由圆轴扭转的强度条件求 d 由扭矩图易见，由扭矩图易见， 13 mN380 max =T 将其代入扭转强度条件， 将其代入扭转强度条件， 16 3 max p max max = d T W T 由此得 由此得 mm4 .36m0364. 0 1040 m38016 163 6 3 3 max = = T d 3.由圆轴扭转的刚度条件求.由圆轴扭转的刚度条件求 d 将最大扭矩值代入将最大扭矩值代入 32 4 max p max = dG T GI T 得 得 mm7 .57m0577. 0 25. 01080 m18038032 32 4 9 4 4 max = = G T d 结论：最后确定该轴的直径 结论：最后确定该轴的直径mm757.d 。 。 4-23 图示两端固定阶梯形圆轴，承受扭力偶矩图示两端固定阶梯形圆轴，承受扭力偶矩 M 作用。为使轴的重量最轻，试确 定轴径 作用。为使轴的重量最轻，试确 定轴径 d1与与 d2，已知许用切应力为，已知许用切应力为。 题题 4-23 图图 解：解法 1 解：解法 1 1.几何方面 此为静不定轴，本题从几何分析入手比较方便。解题思路为： .几何方面 此为静不定轴，本题从几何分析入手比较方便。解题思路为： 212/ dTdd 在 在M作用下，作用下，M所在截面所在截面C只有一个扭转角，故知变形协调条件为 只有一个扭转角，故知变形协调条件为 CBCAC = (a) 这里足标中的 (a) 这里足标中的 A 和和 B 系指轴的左端面和右端面。 系指轴的左端面和右端面。 2物理方面 依据剪切胡克定律，有 物理方面 依据剪切胡克定律，有 GG max2 max2 max1 max1 =， (b) (b) 14 要使轴最轻，只有使要使轴最轻，只有使 max2max1 =才能实现（等强度观点） ，由式(b)可得 才能实现（等强度观点） ，由式(b)可得 max2max1 = (c) 注意到 (c) 注意到 a d a d CC 2 )2/()2/( 2 max2 1 max1 =， (d) 将式(d)代入式(c)，得到 (d) 将式(d)代入式(c)，得到 2 1 2 = d d (e) (e) 3静力学方面 从 静力学方面 从M作用截面处取一轴段，由该轴段的力矩平衡条件，可得 作用截面处取一轴段，由该轴段的力矩平衡条件，可得 MTT=+ 21 (f) 又从等强度要求可知， (f) 又从等强度要求可知， 21 p2p1 WTWT=， 由此可得 由此可得 8)( 3 1 2 p p 1 2 1 2 = d d W W T T (g) 联解方程(g)与(f)，得 (g) 联解方程(g)与(f)，得 MTT 9 8 8 12 = 进而由 进而由 M d T 9 8 16 3 2 2 = 得到轴的直径为 得到轴的直径为 1 33 2 2 9 16 2 9 816 d MM d= = 解法 2 解法 2 1静力学方面 设该轴左、右端的支反力偶矩分别为 静力学方面 设该轴左、右端的支反力偶矩分别为MA和和MB，并设它们均与，并设它们均与M反向。由反向。由 x M = = 0 0 得 得 0=+MMM BA 或以扭矩表示为 或以扭矩表示为 0| 21 =+MTT (a) (a) 15 2几何方面 设 几何方面 设M所在截面为所在截面为C，可写出变形协调条件为可写出变形协调条件为 0=+ CDAC 或写成 或写成 CBAC = (b) (b) 3.物理方面 .物理方面 2 p 2 1 p 1 2 , GI aT GI aT CBAC = (c) 将式(c)代入式(b)，得 (c) 将式(c)代入式(b)，得 4 2 4 1 p p 2 1 2 2 2 1 d d I I T T = (d) 为使该轴最轻，引入等强度条件 (d) 为使该轴最轻，引入等强度条件 max2max1 = 即 即 21 p 2 p 1 = W T W T (e) 由此得 (e) 由此得 3 2 3 1 p p 2 1 2 1 |d d W W T T = (f) 比较式(d)和(f)，得 (f) 比较式(d)和(f)，得 12 2dd = (g) 将方程(a)与补充方程(f)联解，并注意到式(g)，有 (g) 将方程(a)与补充方程(f)联解，并注意到式(g)，有 MTT 9 8 8 12 = 进而由式(e)得到 进而由式(e)得到 M d T 9 8 16 3 2 2 = 由此可得 由此可得 12 2 9 16 2 3 d M d= 4-24 图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷 F 作用。试求轴端的扭转角。已知作用。试求轴端的扭转角。已知 16 载荷载荷 F=750N，轴，轴 1 和轴和轴 2 的直径分别为的直径分别为 d1=12mm 和和 d2=15mm，轴长均为，轴长均为 l=500mm，摇臂长 度 ，摇臂长 度 a =300mm，切变模量，切变模量 G = 80GPa。 题题 4-24 图图 解：这是静不定问题。 变形协调条件为 解：这是静不定问题。 变形协调条件为 21 =或或 21 = (a) 这里， (a) 这里， 1 1和和 2 2分别为刚性摇臂分别为刚性摇臂 1 和和 2 在接触点处的竖向位移。 设二摇臂的接触力为 在接触点处的竖向位移。 设二摇臂的接触力为 2 F，则轴 1 和 2 承受的扭矩分别为 ，则轴 1 和 2 承受的扭矩分别为 aFTaF a FT 2221 ) 2 (=， (b) 物理关系为 (b) 物理关系为 2 p 2 2 1 p 1 1 GI lT GI lT ，= (c) 将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),可得 (c) 将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),可得 )(2 4 2 4 1 4 2 2 dd Fd F + = 由此得 由此得 |75. 5rad 1004. 0 )m015. 0012. 0(1080 m500. 0300. 075016 )( 16 1 4494 2 4 1 2 p 2 2 = + = + = o ddG Fal GI lT 4-26 如图所示，圆轴如图所示，圆轴 AB 与套管与套管 CD 借刚性突缘借刚性突缘 E 焊接成一体，并在突缘焊接成一体，并在突缘 E 承受 扭力偶矩 承受 扭力偶矩 M 作用。圆轴的直径作用。圆轴的直径 d=38mm，许用切应力，许用切应力 1 =80MPa，切变模量，切变模量 G1=80GPa；套 管的外径 ；套 管的外径 D = 76mm，壁厚，壁厚= 6mm，许用切应力，许用切应力 2 = 40MPa，切变模量，切变模量 G2 = 40GPa。试求 扭力偶矩 。试求 扭力偶矩 M 的许用值。的许用值。 17 题题 4-26 图图 解：解：1.解静不定，求.解静不定，求 T1与与 T2 此为静不定问题。静力学关系和变形协调关系分别为 此为静不定问题。静力学关系和变形协调关系分别为 MTT=+ 21 (a) 和 (a) 和 21 = (b) 物理关系为 (b) 物理关系为 21 p2 22 2 p1 11 1 IG lT IG lT ，= (c) 将式(c)代入式(b)，并注意到 (c) 将式(c)代入式(b)，并注意到 32 )1 ( 32 8421. 0 76 1276 4 1 p 4 4 2 p d I D I= =， 可得 可得 22 44 4 2 44 4 2 1 2 p2 2 1 p1 1 1676. 0 )8421. 01 (763 384 3 2 )1 ( 2 TTT D d T lIG lIG T= = = (d) 将方程(a)与(d)联解，得 (d) 将方程(a)与(d)联解，得 M.TM.T14408560 12 =， 2由圆轴的强度条件定由圆轴的强度条件定M的许用值 的许用值 144. 016 1 3 1 p 1 max1 = d M W T 由此得 由此得 mkN99. 5mN1099. 5mN 144. 016 10800.038 144. 016 3 63 1 3 = = d M 3.由套管的强度条件定.由套管的强度条件定M的许用值 的许用值 18 )1 ( 856. 016 2 43 2 p 2 max2 = D M W T 由此得 由此得 mN 856. 016 1040)8421. 01 (076. 0 856. 016 )1 ( 643 2 43 = D M mkN00. 2mN1000. 2 3 = 结论：扭力偶矩的许用值为 结论：扭力偶矩的许用值为M=mkN002.。 。 4-27 图示组合轴， 由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体。 该轴承受 扭力偶矩 图示组合轴， 由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体。 该轴承受 扭力偶矩 M=100Nm 作用，试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为作用，试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为 s =80MPa 与与 c =20MPa，切变模量分别为，切变模量分别为 Gs=80GPa 与与 Gc=40GPa。 题题 4-27 图图 解：1.解静不定，求解：1.解静不定，求 c1s TT 和 此为静不定问题。为看清楚起见，可将钢轴与铜管拆开，二者的受力图分别示如图 此为静不定问题。为看清楚起见，可将钢轴与铜管拆开，二者的受力图分别示如图 4-27a 和 b。 和 b。 图 图 4-27 静力学方面 静力学方面 sc2c1s TTMTT=+， （a） 几何方面 （a） 几何方面 c2c1cs = （b） （b） 19 物理方面 物理方面 ) 2 ( G )(T c pc c2c1 pss s s l I TT IG l c =， (c) 将式(c)代入式(b)，并注意到式(a)中的第二式及 (c) 将式(c)代入式(b)，并注意到式(a)中的第二式及2/ cs =GG，得 ，得 c1s ps pc )1 (TT I I =+ (d) 将 (d) 将 484 4 ps m10571. 1m 32 020. 0 875. 0 40 35 = =I， 4744 4 pc m10040. 1)m875. 01 ( 32 040. 0 = =I 代入式(d)，得 代入式(d)，得 c1s 627TT.= (e) 再将式(e)代入式(a)中的第一式，得到 (e) 再将式(e)代入式(a)中的第一式，得到 mN4 .88884. 0mN6 .11116. 0 c1s =MTMT， 2校核强度 对于钢轴， 校核强度 对于钢轴， MPa38. 7Pa1038. 7 m020. 0 N6 .1116 s 6 23 ps s maxs, = = W T 对于铜管， 对于铜管， MPa00.17Pa10700. 1 m)875. 01 (040. 0 N4 .8816 c 7 243 pc c1 maxc, = = W T 结论：二者均满足扭转强度要求。 结论：二者均满足扭转强度要求。 4-28 将截面尺寸分别为将截面尺寸分别为100mm90mm 与与90mm80mm 的两钢管相套合，并 在内管两端施加扭力偶矩 的两钢管相套合，并 在内管两端施加扭力偶矩 M0=2kNm 后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩 M0 后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。 解：解：1.解静不定，求.解静不定，求 Ti与与 Te 此为静不定问题。内管两端施加 此为静不定问题。内管两端施加 0 M后，产生的扭转角为 后，产生的扭转角为 i GI lM p 0 0 = (a) 去掉 (a) 去掉 0 M后，有静力学关系 后，有静力学关系 ei TT= (b) (b) 20 几何关系为 几何关系为 0 =+ ei (c) 物理关系为 (c) 物理关系为 ei GI lT GI lT e e i i pp =， (d) 将式(d)和式(a)代入式(c)，得 (d) 将式(d)和式(a)代入式(c)，得 iei p ei GI lM GI lT GI lT 0 pp =+ 或写成 或写成 ie I TM I T ie p 0 p = 由此得 由此得 )(3951)( 00 p p iie TM.TM I I T i e = (e) 将方程(e)与(b)联解，得 (e) 将方程(e)与(b)联解，得 mkN165158250 0 =.M.TT ei 2.计算最大扭转切应力 内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为 .计算最大扭转切应力 内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为 MPa7 .21Pa1017. 2 m)9/8(1 090. 0 N116516 7 243 p max, = = i i i W T MPa25.17Pa10725. 1 )m9 . 01 (100. 0 N116516 7 243 p max, = = e e e W T 4-29 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在 直径为 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在 直径为 D = 100mm 的圆周上， 突缘的厚度为的圆周上， 突缘的厚度为=10mm， 轴所承受的扭力偶矩为， 轴所承受的扭力偶矩为 M = 5.0kNm， 螺栓的许用切应力 ， 螺栓的许用切应力=100MPa，许用挤压应力，许用挤压应力 bs =300MPa。试确定螺栓的直径。试确定螺栓的直径 d。 题题 4-29 图图 21 解：解：1.求每个螺栓所受的剪力 由 .求每个螺栓所受的剪力 由 M D FM x = ) 2 (6 0 s ， 得 得 D M F 3 s = 2.由螺栓的剪切强度条件求.由螺栓的剪切强度条件求d 3 4 2 s = Dd M A F 由此得 由此得 mm57.14m10457. 1 101000.1003 m100 . 54 3 4 2 6 23 = = D M d 3.由螺栓的挤压强度条件求.由螺栓的挤压强度条件求d d3 bs b bs = D M d F 由此得 由此得 mm56. 5m1056. 5 10300010. 0100. 03 m100 . 5 3 3 6 3 bs = = D M d 结论：最后确定螺栓的直径 结论：最后确定螺栓的直径mm5714.d 。 。 4-33 图示半椭圆形闭口薄壁杆，图示半椭圆形闭口薄壁杆，a=200mm，b=160mm， 1 =3mm， 2 = 4mm， T=6kNm。试求最大扭转切应力。试求最大扭转切应力。 题题 4-33 图图 解：该薄壁杆截面中心线所围面积为 解：该薄壁杆截面中心线所围面积为 ) 4 )( 22 ( 221 = b a 2 )m 4 004. 0160. 0 ( )002. 00.0015(0.200 = 22m 1041. 2 = 由此得最大扭转切应力为 由此得最大扭转切应力为 22 41.5MPaPa1015. 4 m003. 01041. 22 N106 2 7 22 3 min max = = T 4-34 图图 a 所示等厚度薄壁圆管， 内、 外壁的半径分别为所示等厚度薄壁圆管， 内、 外壁的半径分别为 R1与与 R2， 即壁厚， 即壁厚= 12 RR。 因加工原因，圆管内壁轴线与外壁轴线间存在偏差 。 因加工原因，圆管内壁轴线与外壁轴线间存在偏差 e（图（图 b） 。若图） 。若图 a 和和 b 所示圆管的许用扭 力偶矩分别为 所示圆管的许用扭 力偶矩分别为T0与与T，试建立二者间的关系式，并计算当偏差，试建立二者间的关系式，并计算当偏差2/10/=ee与时，许 用扭力偶矩的降低量（用 时，许 用扭力偶矩的降低量（用T0的百分比表示） 。的百分比表示） 。 题题 4-34 图图 解：对于等厚度薄壁圆管，平均半径和壁厚分别为 解：对于等厚度薄壁圆管，平均半径和壁厚分别为 12 21 0 2 RR RR R= + =， 根据扭转强度条件 根据扭转强度条件 2 2 0 = R T 得 得 )() 2 (2 12 2 21 RR RR T + 由此得 由此得 )()( 2 12 2 210 RRRRT+= (a) 对于有加工偏差 (a) 对于有加工偏差e的变厚度薄壁圆管，平均半径同上，但最小壁厚成为 的变厚度薄壁圆管，平均半径同上，但最小壁厚成为 eRR= 12min 根据扭转强度条件 根据扭转强度条件 2 min 2 0 max = R T 得 得 )() 2 (2 12 2 21 eRR RR T + 由此得 由此得 )()( 2 12 2 21 eRRRRT+= (b) (b) 23 比较式(b)和式(a)，不难找到二者的关系，其关系式为 比较式(b)和式(a)，不难找到二者的关系，其关系式为 )1( )( )( 0 12 12 0 e T