中石大2013-20142概率论与数理统计试卷A答案.pdf

2012013 32012014 4 学年第学年第二二学期学期 概率概率论与数理论与数理统计统计期末期末试卷试卷 （3232 学时）学时） 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 理学院应用数学系 考试日期 2014 年 4 月 27 日 页 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 本页满分 18 18 18 10 10 10 16 本页得分 阅卷人 注意事项： 1请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2本试卷共七道大题，满分 100 分；试卷本请勿撕开，否则作废； 3. 本试卷正文共 7 页。 A 卷 第 1 页共 7 页 一选择题（共一选择题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 18 分）分） 1设 A 表示事件“甲产品畅销且乙产品滞销” ，那么对立事件 A表示( B ) A 甲产品滞销且乙产品畅销； B 甲产品滞销或乙产品畅销； C. 甲产品畅销且乙产品畅销；D甲产品滞销且乙产品滞销 2将一颗骰子重复掷 n 次，则掷出的最大点数为 5 的概率为（ A ） 。 A. 54 6 nn n ; B. 5 6 n n ； C. 4 1 6 n n ； D. 1 1 6n 3. 下列函数中只有（ B ）是分布函数. A 2 1 ( ), 1 F xx x ； B 0, 2 1 ( ), 20 2 1, 0 x F xx x ； C. 2 0, 1 ( ), 11 1, 1 x F xxx x ； D 0, 0 ( ), 01 1, 1 x x F xex x 4设随机变量 X 的概率密度函数为 , 12 ( ), 23 0, axx f xbx 其他 ，其中 a，b 是常数， 若已知 1 (12) 2 PX，则有（ D ） 。 A. 1 3 a ， 2 3 b ; B. 1 2 a ， 1 2 b ； C. 2 3 a ， 1 3 b ； D. 1 3 a ， 1 2 b 5设随机变量 X 与 Y 相互独立，密度函数分别为 2 2, 0 ( ) 0, 0 x X ex fx x ， 4 4, 0 ( ) 0, 0 y Y ey fy y ， 则 ()D XY（ C ）. A. 3 4 ; B. 6； C. 5 16 ； D. 20. 6 如果 X，Y 满足()()D XYD XY，则必有（ D ）. A1 XY ； B1 XY ； C. X，Y 独立； DX，Y 不相关. 本页满分 18 分 本 页 得 分 本页满分 18 分 第 2 页共 7 页 二填空题（共二填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 12 分）分） 1. 设事件 A, B 相互独立， 23 ( ), () 55 P AP AB，则 ()P AB 4 15 . 2. 把 4 个球随机地放入 4 个盒子中，记X表示空盒子的个数，则(2)P X = 21 64 . 24 4 4 (22) () 4 C 3设 X, Y 的数学期望分别为2和 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为0.5， 根据切比雪夫不等式，有(| 6)P XY 1 12 . 4设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 (1, 2),(0, 1)XNYN,23ZXY， 则 Z (5, 9) N. 三三计算下列各题计算下列各题（共（共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共计分，共计 24 分）分） 1. 设 X 的分布律为 2 1 0 1 3111 56310 X p ， （1）求X的分布函数( )F x，并画出( )F x的图形； （2）求( 11)PX 解 （1） 0, 2 1 5, 21 ( )11 30, 10 21 30, 01 1, 4 X x x Fxx x x ， 2 分 图 4 分 （2） 4 ( 11) 5 PX 。 6 分 本 页 得 分 第 3 页共 7 页 2已知( )0.7, ( )0.4, ()0.5P AP BP AB，求条件概率 (|)P BAB。 解 () ) (|) () P BAB P B AB P AB () () P AB P AB ( )()0.70.5 0.70.60.5( )( )() P AP AB P AP BP AB 1 4 。 6 分 3 设X是一随机变量， 且期望EX， 方差( 0)DX 皆存在， 记 * XEX X DX ， 试求 * X的期望和方差。 解 * 0 XEXE XEX EXE DXDX 3 分 * 1 XEXD XEX DXD DXDX 6 分 4设随机变量 X 的分布函数为 0, 1 ( )ln , 1 1, x F xAxxe xe ，试求： （1）常数 A； （2）X 的密度函数； （3）数学期望 EX . 解 （1）A=1; 2 分 (2) 1 , 1 ( ) 0, X xe fxx 其他 ; 4 分 (3) 1 1 1 e EXxdxe x 6 分 本页满分 18 分 本 页 得 分 第 4 页共 7 页 四四 （10 分分）某产品主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家 的产品分别占总数的 15%， 80%， 5%。 其次品率分别为 0.02, 0.01, 0.03。 试求： （1） 从这批产品中任取一件是不合格品的概率； （2） 若已知取出的一件产品是不合格品，问这件产 品由哪家生产的 可能性最大？ 解 （1）设 B 表示“任取的一件产品是不合格品” ， 123 ,A A A分别表示产品来自甲、乙、丙厂” 。 112233 ( )() (|)() (|)() (|)P BP A P B AP A P B AP A P B A 15% 0.02 80% 0.01 5% 0.030.0125 5 分 （2） 来自乙厂生产的可能性最大。 11 1 () (|)15% 0.02 (|) ( )0.0125 P A P B A P A B P B 22 2 () (|)80% 0.01 (|) ( )0.0125 P A P B A P AB P B 33 3 () (|)5% 0.03 (|) ( )0.0125 P A P B A P AB P B 10 分 本页满分 10 分 本 页 得 分 第 5 页共 7 页 五五 （10 分）分）设随机变量（X，Y）的概率密度函数 (), 0 1,0 ( , ) 0, x y bexy f x y 其它 ， （1）试确定常数 b； （2）求关于 X，Y 的边缘密度函数，并判别 X，Y 是否独 立 （3）求概率()P YX。 解（1） 1 1 1 b e 3 分 （2） 1 , 01 ( ) 1 0, x X e x fx e 其它 ， , 0 ( ) 0, y Y ey fy 其它 ， 6 分 由于( , )( )( ) XY f x yfx fy，故 X, Y 独立。 7 分 （3）()P YX( , ) y x f x y dxdy () 1 1 00 1 x y xe dxdy e 1 1 00 1 x x y e dxe dy e 2 1 1 0 1 xx ee dx e 21 0 1 1 | 2 1 xx ee e 21 0 1 1 | 2 1 xx ee e 12 1 1 11 1 22 (1) 12 ee e e 10 分 本页满分 10 分 本 页 得 分 第 6 页共 7 页 六六.（10 分）分）设二维随机变量（X, Y）在由x轴，y轴及直线 2xy所围成的区域G上服从均匀分布，试求： （1）数学期望 ,EX EY，方差,DX DY； （2）协方差(, )Cov X Y，相关系数 XY 。 解 （1） 1 , ( ,) ( ,)2 0 , x yG fx y 其它 ， 2 分 2 , 02 ( )2 0, X x x fx 其它 ， 由此得 22 , 39 EXDX， 4 分 同理得 22 , 39 EYDY 6 分 （2） 1 , 3 EXY 1 (, ) 9 Cov X Y ， 8 分 1 2 XY 10 分 本页满分 10 分 本 页 得 分 第 7 页共 7 页 七七 （共（共两小题，每小题两小题，每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 1设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，试确定 2 1 X Ye 的分布。 解 由题知 2 2, 0 ( ) 0, 0 x X ex fx x 2 分 2 1 1ln(1),01 2 x yexyy ， / 1 2(1) y x y 5 分 1, 01 ( ) 0, Y y fy 其他 ，即 (0, 1)YU， 8 分 2. 设 126 ,XXX为来自总体(0,1)XN的简单随机样本，记 22 123456 ()() YC XXXXXX， 试确定常数 C 的值，