数值分析习题含答案.pdf

习题二 2-1 已知 y=f(x) 的数值如下： (1) x 0 1 2 3 y 2 3 12 147 (2) x -2 -1 0 1 y 15 4 5 24 求 Lagrange 插值多项式并写出截断误差。 解： (1)( )()( )()( )( )()( )()( )( 1 312101 320 0 302010 321 3 xf xxxxxx xxxxxx xf xxxxxx xxxxxx xL )( )()( )()( )( )()( )()( 3 231303 210 2 321202 310 xf xxxxxx xxxxxx xf xxxxxx xxxxxx 147 )25)(15(5 )2)(1( 12 )52)(12(2 )5)(1( 3 )51)(21( )5)(2( 2 )5)(2)(1( )5)(2)(1(xxxxxxxxxxxx 2 23 xxx 50),()5)(2)(1( 24 1 )( )4( 3 fxxxxxR (2) )( )()( )()( )( )()( )()( )( 1 312101 320 0 302010 321 3 xf xxxxxx xxxxxx xf xxxxxx xxxxxx xL )( )()( )()( )( )()( )()( 3 231303 210 2 321202 310 xf xxxxxx xxxxxx xf xxxxxx xxxxxx 24 )11)(21( )1)(2( 5 )1(2 )1)(1)(2( 4 )11)(1)(21( )1()2( 15 )12)(2)(12( )1()1(xxxxxxxxxxxx 599 23 xxx 12),()1)(2( 24 1 )( )4(2 3 xfxxxR 2-2 已知函数 lnx 的如下数据 x 8 10 12 14 y 2.07944 2.30259 2.48491 2.63906 试分别用Lagrange 线性插值和二次插值计算ln(11.85)的近似值，并估计它的截断误差。 解：线性插值公式：)()()( 1 01 0 0 10 1 1 xf xx xx xf xx xx xL 当 x=11.85 时， 47124.248491.2 1012 10 30259.2 1210 12 )85.11( 1 xx L 3 2 1 103875.1)1285.11)(1085.11( 2 1 )( x xR 二次插值： )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( 2 1202 10 1 2101 20 0 2010 21 2 xf xxxx xxxx xf xxxx xxxx xf xxxx xxxx xL 47221.263906.2 24 )15.0(85.1 48491.2 )2(2 )15.2(85.1 30259.2 42 15.215.0 误差估计： 4 3 2 1098875.1)1485.11)(1285.11)(1085.11( 3 1 )( x xR。 2-3 设 n xxx, 10 为任意给定的n+1 个互不相同的节点，证明： (1) 若 f(x) 为不高于 n 次的多项式，则f(x) 关于这组节点的n 次插值多项式就是它自己。 (2) 若 ),1,0()(nixli 是关于这组节点的Lagrange 基函数，则有恒等式 nkxxlx n i k i k i ,1,0,)( 1 nkxxxl n i k ii ,1,0,0)( 1 证明： (1)( )!1( )( )()()( 1 )1( xw n f xPxfxR n n n 因为 f(x) 是 n 次多项式，所以它的n+1 阶导数为零。故f(x) 关于这组节点的n 次插值多项 式就是它自己。 (2) 取nkxxf k ,1,0,)(，在 n xxx, 10 处进行 n 次拉格朗日插值，则有 )( )!1( )( )()()( 1 )1( 0 xw n f xxlxRxPx n nn i k iinn k 由于0)( )1(n f，故有nkxxlx n j k j k j ,1,0,)( 0 。 (3) 将 k j xx)(按二项式展开，得 k i iki j i k ikk j xxCxx 0 )1()(， 则 n j j ik j k i ii k i n j j k i iik j i k i n j j k j xlxxCxlxxCxlxx 00000 )()1()()1()()( 由上题的结论得： 0)1()1( 00 k i i k ik k i ikii k i CxxxC 。 2-4 已知函数表 x 0.1 0.2 0.4 0.6 0.9 y 0.9950 0.9801 0.9211 0.8253 0.6216 试构造四次Newton 插值多项式，计算cos0.47 的近似值并估计截断误差。 解： 自变量函数值一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 0.1 0.9950 0.2 0.9801 -0.149 0.4 0.9211 -0.295 -0.4867 0.6 0.8253 -0.479 -0.46 0.0534 0.9 0.6216 -0.679 -0.4 0.0857 0.040375 P4(x)=0.9950-0.149(x-0.1)-0.4867(x-0.1)(x-0.2)+0.0534(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4) +0.040375(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4) (x-0.6) 当 x=0.47 时， P4(x)= 0.8916 6 2 105517.2)9.047.0)(6.047.0)(4.047.0)(2.047.0)(1.047.0( !5 )9.0sin( )(xR。 6 2 102576.3)9.047.0)(6.047.0)(4.047.0)(2.047.0)(1.047.0( ! 5 1 )(xR 2-5 在区间 -4,4 上给出 f(x)=e x 在等距节点下的函数表，若用二次插值求e x 的近似值，要使 截断误差不超过10 -6，问所用函数表的步长应怎样选取？ 解：在区间 xi-1,xi上，记s h xx i 2 2 1 误差 634 34 2 112 10 924 3 )1)(1( 8! 3 )()( ! 3 )(hesss he xxxxxx e xR i i i i 2 10317.1h 则用二次插值的步长应： 2 106585.0h 2-6 对区间 a,b 作步长为h 的剖分，且,)(baxMxf，证明：在任意相邻两节点间 做线性插值，其误差限为 2 1 8 1 )(MhxR。 证明：区间上的误差限：, 82 )( )( 1 2 11iiiii xxxh M xxxx f xR 误差限：nih M xRxR i , 1,0, 8 )(max)( 2 11 2-7 设999237125)( 357 xxxxf,计算差商2,2 10 f,2,2,2 710 f及2,2,2 810 f. 解： 自变量函数值一阶差商 1 -886 2 -2975 -2089 2,2 10 f=-2089， 1 !7 )( )2,2,2,2( )7( 7210 f f， 0 !8 )( )2,2,2,2( )8( 8210f f 。 2-8 设 )(xf 在 ,ba 有三阶导数，, 10 baxx，证明：当,bax )( )( )( )( )( )( )( )2)( )( 1 2 01 2 0 0 10 10 0 2 01 101 xf xx xx xf xx xxxx xf xx xxxxx xf ),(),( )()( 6 1 1 2 0 bafxxxx 证明：根据已知条件可得到如下表所示的插值条件： x x0x1 y f(x0) f(x1) yf (x0) 建立差商表： 自变量函数值一阶差商二阶差商 x0f(x0) x0f(x0) f (x0) x1f(x1) 01 01 )()( xx xfxf 01 0 01 01 )( )()( xx xf xx xfxf 则由 newton 插值公式可得： )()( )( )()( )( )()( 2 0 01 0 01 01 000 xRxx xx xf xx xfxf xxxfxfxf 整理得： )()( )( )( )( )( )( )( )2)( )( 1 2 01 2 0 0 10 10 0 2 01 101 xRxf xx xx xf xx xxxx xf xx xxxxx xf 其中 R(x)由以下计算得到： 构造辅助函数：)()( )()( )()( )()()( 2 1 2 0 1 2 0 2 xNxf xxxx xtxt tNtft )( x 有 0 x,x, 1 x三个零点，)( x有 0 x, 1,2 三个零点，则)( x至少有一个零点，记作。 则 )()( ! 3 )( )(0)()( )()( !3 )( )( 1 2 02 1 2 0 xxxx f xRxNxf xxxx f。 2-9 用下列函数值表构造不超过3 次的插值多项式，并建立误差估计式。 x 0 1 2 f(x) 1 2 9 f (x) 3 解： 建立差商表： 自变量函数值一阶差商二阶差商三阶差商 0 1 1 2 1 1 2 3 2 2 9 7 4 1 则由 newton 插值公式可得： 32 1)1()1(21)(xxxxxxxP。 误差估计式：)2()1( ! 4 )( )( 2 )4( xxx f xR。 2-10 求满足下列条件的Hermite 插值多项式 xi1 2 yi2 3 yi1 -1 解：)2()1()2)(1()1)( 1 2 21(3)2)( 1 1 21(2 1 1 2222 2 xxxxx x x x H 5382 23 xxx 2-11 求一个不高于4 次的插值多项式P4(x) ，使得 1)2(,1)1( )1(,0)0( )0(ppppp。 解：根据已知条件可得到如下表所示的插值条件： x 0 12 P 0 1 1 P0 1 建立差商表： 自变量函数值一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 -1 2 1 0 -1 -0.5 0.25 则由 newton 插值公式可得： 2342222 25.25.125.0)1()0(25.0)1()0(1)0(1)(xxxxxxxxxP。 2-12 根据下表建立三次样条插值函数 x 1 2 3 f(x) 2 4 2 f1(x) 1 -1 解： 2 1 1, 2 1 1, 0),(3 2111011 xxfxxfg 列方程： 00 2 1 2 2 1 1210 mmmm 则三次样条插值函数为： 11 2 00 2 101 2 010 2 101 )()()()()(21)()(21)(mxxxxmxxxxyxxxxyxxxxxS =8-16x+13x 2-3x3， 2,1x。 22 2 11 2 212 2 121 2 212 )()()()()(21)()(21)(mxxxxmxxxxyxxxxyxxxxxS =-40+56x-23x 2+3x3， 3,2x。 2-13 已知 y=f(x) 的如下数值 x 0 1 2 3 4 y -8 -7 0 19 56 求三次样条插值函数S(x)，满足边界条件 (1) S (0)=0，S (4)=48 (2) S” (0)=0，S” (4)=24 解：用三转角算法计算： (1) 2 1 21 2 1 hh h , 2 1 1 , 12),(3 2111011 xxfxxfg 2 1 32 3 2 hh h , 2 1 2 , 39),(3 3222122 xxfxxfg 2 1 43 4 3 hh h , 2 1 3 , 84),(3 4333233 xxfxxfg 列方程组： 27 12 3 60 39 12 2 2 1 0 2 1 2 2 1 0 2 1 2 3 2 1 3 2 1 m m m m m m 则三次样条插值函数为： 11 2 00 2 101 2 010 2 101 )()()()()(21)()(21)(mxxxxmxxxxyxxxxyxxxxxS =x 3-8， 1,0x。 22 2 11 2 212 2 121 2 212 )()()()()(21)()(21)(mxxxxmxxxxyxxxxyxxxxxS =x 3-8， 2,1x。 33 2 22 2 323 2 232 2 323 )()()()()(21)()(21)(mxxxxmxxxxyxxxxyxxxxxS =x 3-8， 3,2x 。 44 2 33 2 434 2 343 2 434 )()()()()(21)()(21)(mxxxxmxxxxyxxxxyxxxxxS =x 3-8， 4,3x 。 (2) 3 2 ,3 0 1 100 y h xxfg 123 2 ,3 4 4 434 y h xxfg 列方程组： 48 27 12 3 0 123 84 39 12 3 21000 2 1 2 2 1 00 0 2 1 2 2 1 0 00 2 1 2 2 1 00012 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 m m m m m m m m m m 则三次样条插值函数为： 11 2 00 2 101 2 010 2 101 )()()()()(21)()(21)(mxxxxmxxxxyxxxxyxxxxxS =x 3-8， 1,0x。 22 2 11 2 212 2 121 2 212 )()()()()(21)()(21)(mxxxxmxxxxyxxxxyxxxxxS =x 3-8， 2,1x。 33 2 22 2 323 2 232 2 323 )()()()()(21)()(21)(mxxxxmxxxxyxxxxyxxxxxS =x 3-8， 3,2x。 44 2 33 2 434 2 343 2 434 )()()()()(21)()(21)(mxxxxmxxxxyxxxxyxxxxxS =x 3-8， 4,3x。 用三弯矩算法计算： (1) 2 1 21 1 1 hh h , 2 1 1 , 18,6 2101 xxxfg 2 1 32 2 2 hh h , 2 1 2 , 36,6 3212 xxxfg 2 1 43 3 3 hh h , 2 1 3 , 54,6 4323 xxxfg 6 , 6 1 010 0 h yxxf g，66 , 6 4 434 4 h xxfy g 列方程组： 24 18 12 6 0 66 54 36 18 6 21000 2 1 2 2 1 00 0 2 1 2 2 1 0 00 2 1 2 2 1 00012 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 M M M M M M M M M M (2) 列方程组： 18 12 6 42 36 18 2 2 1 0 2 1 2 2 1 0 2 1 2 3 2 1 3 2 1 M M M M M M 第三章 最佳逼近 3-1 求下列函数在指定区间上得一次最佳平方逼近多项式并估计平方误差 (1) xxf)(， 1,0x 解：设xccxp 101 )( 法方程组为： ),( ),( ),(),( ),(),( 1 0 1 0 1110 0100 f f c c 基函数为：1 0 ，x 1 ，xf 得到： 1 0 00 1),(dx ， 1 0 10 2 1 ),(xdx ， 1 0 2 11 3 1 ),(dxx ， 1 0 0 3 2 ),(dxxf， 1 0 2 3 1 5 2 ),(dxxf。 于是法方程组为： 5 2 3 1 2 1 3 2 2 1 10 10 cc cc 解之得： 15 4 0 c， 5 4 1 c。 所以，最佳平方逼近一次多项式为： xxp 5 4 15 4 )( 1 。 误差估计： 由误差估计式： 1 0 1 0 1 0 2 1 2 2 2 2 1 2 )()()(),()( i ii dxxxfcdxxfpffxpf 3 10 1 0 1022.2 5 2 3 2 ccxdx 。 (2) x xf 1 )(，3,1x 解：设xccxp 101 )( 法方程组为： ),( ),( ),(),( ),(),( 1 0 1 0 1110 0100 f f c c 基函数为：1 0 ，x 1 ， x f 1 得到： 3 1 00 2),(dx ， 3 1 10 4),(xdx ， 3 1 2 11 3 26 ),(dxx ， 3 1 0 3ln 1 ),(dx x f， 3 1 1 2),(dxf。 于是法方程组为： 2 3 26 4 3ln42 10 10 cc cc 解之得： 63ln 2 13 0 c ，3ln33 1 c。 所以，最佳平方逼近一次多项式为：xxp)3ln33()63ln 2 13 ()( 1 。 误差估计： 由误差估计式： 1 0 3 1 3 1 2 1 2 2 2 2 1 2 )()()(),()( i ii dxxxfcdxxfpffxpf 32 10 3 1 2 10847.4 3 16 )3(ln 2 13 3ln1223ln 1 ccdx x 。 (3) x exf)(， 1,0x 解：设xccxp 101 )( 法方程组为： ),( ),( ),(),( ),(),( 1 0 1 0 1110 0100 f f c c 基函数为：1 0 ，x 1 ， x ef 得到： 1 0 00 1),(dx， 1 0 10 2 1 ),(xdx， 1 0 2 11 3 1 ),(dxx， 1 0 0 1 1),( e dxef x ， 1 0 1 2 1),( e dxxef x 。 于是法方程组为： e cc e cc 2 1 3 1 2 1 1 1 2 1 10 10 解之得： 2 8 0 e c ， e c 18 6 1 。 所以，最佳平方逼近一次多项式为：x ee xp) 18 6()2 8 ()( 1 。 误差估计： 由误差估计式： 1 0 1 0 1 0 2 1 2 2 2 2 1 2 )()()(),()( i ii dxxxfcdxxfpffxpf 4 10 1 0 2 10945.4) 2 1() 1 1( e c e cdxe x 。 (4) xxfcos)(， 1,0x 解：设xccxp 101 )( 法方程组为： ),( ),( ),(),( ),(),( 1 0 1 0 1110 0100 f f c c 基函数为：1 0 ，x 1 ，xfcos 得到： 1 0 00 1),(dx ， 1 0 10 2 1 ),(xdx ， 1 0 2 11 3 1 ),(dxx ， 0cos),( 1 0 0 xdxf， 2 1 0 1 2 cos),(xdxxf。 于是法方程组为： 2 10 10 2 3 1 2 1 0 2 1 cc cc 解之得： 2 0 12 c， 2 1 24 c。 所以，最佳平方逼近一次多项式为：xxp 22 1 2412 )(。 误差估计： 由误差估计式： 1 0 1 0 1 0 2 1 2 2 2 2 1 2 )()()(),()( i ii dxxxfcdxxfpffxpf 3 1 2 1 0 2 102328.7 2 )(coscdxx。 3-2 求xxfsin)(，1.0,0x在, 1 2 xxSpan上的最佳平方逼近多项式，并给出平 方误差。 解：设 2 2102 )(xcxccxp 法方程组为： ),( ),( ),( ),(),(),( ),(),(),( ),(),(),( 2 1 0 2 1 0 222120 121110 020100 f f f c c c 基函数为：1 0 ，x 1 ， 2 2 x，xfsin 得到： 1.0 0 00 1.0),(dx， 2 1.0 0 10 10 2 1 ),(xdx， 1.0 0 32 20 10 3 1 ),(dxx 3 1.0 0 2 11 10 3 1 ),(dxx， 4 1.0 0 3 21 10 4 1 ),(dxx， 5 1.0 0 4 22 10 5 1 ),(dxx 1.0cos1sin),( 1.0 0 0 xdxf， 1.0 0 1 1.0cos1.01.0sinsin),(xdxxf ， 1.0 0 2 2 21.0cos21.0sin2.01.0cos01.0sin),(xdxxf 于是法方程组为： 21.0sin2.01.0cos99.110 5 1 10 4 1 10 3 1 1.0cos1.01.0sin10 4 1 10 3 1 10 2 1 1.0cos110 3 1 10 2 1 1.0 2 5 1 4 0 3 2 4 1 3 0 2 2 3 1 2 0 ccc ccc ccc 解之得： 5 0 108324407.0c ，0009991.1 1 c，0249851.0 2 c。 所以，最佳平方逼近一次多项式为： 25 2 0249851.00009991.1108324407.0)(xxxp 。 误差估计： 由误差估计式： 2 0 1.0 0 1.0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 )()()(),()( i ii dxxxfcdxxfpffxpf )21.0sin2.01.0cos99.1()1.0cos1.01.0(sin)1.0cos1()(sin 210 1.0 0 2 cccdxx =2.881410 -12 3-3 求参数,，使dxxx 2 0 2 )(sin达到极小。 解：本题也就是求f(x)=sinx 的最佳平方逼近一次多项式xxp)( 1 。 法方程组为： ),( ),( ),(),( ),(),( 1 0 1110 0100 f f 基函数为：1 0 ，x 1 ，xfsin 得到： 2 0 00 2 ),(dx ， 2 0 2 10 8 ),(xdx ， 2 0 3 2 11 24 ),(dxx ， 2 0 0 1sin),(xdxf， 2 0 1 1sin),(xdxxf。 于是法方程组为： 1 248 1 82 32 2 解之得：)4(6 2 ， )4(24 。 3-4 已知一组数据如下： xi 2 4 6 8 yi 2 11 28 40 用最小二乘法求拟合这组数据的一条直线，并估计平方误差。 解：线性拟合：xccxp 101 )( 根据基函数给出法方程组 8642 1111 T A ， 4028112 T Y 求得 12020 204 AA T , 536 81 YA T 法方程组为： 536 81 12020 204 1 0 c c 解得： c0=-12.5，c1=6.55 求得拟合线性多项式函数 p1(x)=-12.5+6.55x 误差为： 6 0 2 1 2 )( i i yxp 先计算出拟合函数值： xi 1 1 1 1 P10.600 13.70 26.80 39.90 得到： 2 10.7 3-5 已知函数值表 xi -2 -1 0 1 2 yi0 1 2 1 0 试用二次多项式拟合这组数据并给出平方误差。 解：二次拟合： 2 2102 )(xcxccxp 根据基函数给出法方程组 41014 21012 11111 T A，01210 T Y 求得 34010 0100 1005 AA T , 2 0 4 YA T 法方程组为： 2 0 4 34010 0100 1005 2 1 0 c c c 解得： c0=58/35=1.6571，c1=0，c2=-3/7=-0.4286 求得拟合线性多项式函数 p2(x)=1.6571-0.4286x 2 误差为： 6 0 2 2 2 )( i i yxp 先计算出拟合函数值： xi -2 -1 0 1 2 P2-0.0573 1.2285 1.6571 1.2285 -0.0573 得到： 2 0.2286 3-6 给出下列数据 xi -3 -2 -1 2 4 yi 14.3 8.3 4.7 8.3 22.7 用最小二乘法求形如y=a+bx 2的经验公式。 解：根据基函数给出法方程组 164149 11111 T A，7.223.87.43.83.14 T Y 求得 3 7 034 345 AA T , 563 3.58 YA T 法方程组为： 563 3.58 37034 345 b a 解得： a=3.5， b=1.2。 3-7 确定经验公式 2 1bxax cx y中的参数，使之与下列数据拟合： xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 yi 0.172 0.323 0.484 0.690 1.000 1.579 解：将经验公式转化为： xcc a x c b cx bxax y 1111 2 令 y z 1 ， c b a0， c a a1， c a 1 2 ，则上式转化为： x aaxaz 1 210 。 上表的的数据变为： xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 zi 5.814 3.096 2.066 1.449 1.000 0.633 取xx x xx)(, 1 )(,1)( 210 这时 6.05.04.03.02.01.0 3525.2310510 111111 T D， 91.06 36 5 149 6 36 5 1495.24 1.25.246 DD T ， z T =5.814 3.096 2.066 1.449 1.000 0.633, 3.2798 87.1842 14.058 zD T 解得： a0=-1.9674 ，a1=0.9761，a2=0.5034。 则 a=1.939，b= -3.908，c=1.987。 3-8 在某化学反应里，生成物的质量浓度y(10 -3g/cm3 )与时间 t(min) 的关系式为 t t y， 现测得一组数据如下： xi 1 2 3 4 6 8 10 12 14 16 yi 4.00 6.41 8.01 8.79 9.53 9.86 10.33 10.42 10.53 10.61 试确定出参数 、 。 解：将经验公式转化为： tt t y z 11 上表的的数据变为： xi 1 2 3 4 6 8 10 12 14 16 zi 0.25 0.156 0.125 0.114 0.105 0.101 0.0968 0.096 0.095 0.094 取 t xx 1 )(,1)( 10 这时 0 . 0 6 2 50 . 0 7 1 4 30 . 0 8 3 3 31.0125.00.1666725.0333.05.01 1111111111 T D， 1.4929672.69226 2.6922610 DD T ， z T =0.25 0.156 0.125 0.114 0.105 0.101 0.0968 0.096 0.095 0.094, 0.45863 1.2328 zD T 解得： = 0.1650，= 0.0789。 3-9 用最小二乘法求下列方程组的解 (1) 4 62 52 21 21 21 xx xx xx (2) 1424 62 353 1142 yx yx yx yx 解： (1) 4 6 5 11 12 21 4 62 52 2 1 21 21 21 x x xx xx xx 简化为：YAx 两边同乘以系数矩阵的转置矩阵，就得到所需要的法方程组：YAAxA TT 具体计算如下： 4 6 5 112 121 11 12 21 112 121 2 1 x x 20 21 65 56 2 1 x x 解得最小二乘解：x1=26/11，x2=15/11 (2) 14 6 3 11 24 21 53 42 1424 62 353 1142 y x yx yx yx yx 简化为：YAx 两边同乘以系数矩阵的转置矩阵，就得到所需要的法方程组： YAAxA TT 具体计算如下： 14 6 3 11 2254 4132 24 21 53 42 2254 4132 y x 69 93 493 330 y x 解得最小二乘解：x=1450/487=2.9774 ，y=597/487=1.2259 第四章数值积分与数值微分 4-1 用四节点复化梯形公式计算积分 (1) 1 0 2 1dxx，(2) 2 1 2 )sin(cosdxx 解： (1) 1543.1 3 132 3 102 21 6 1 ) 3 (2)1()0( 32 1 2 1 3 i i fffT (2) 3517.0) 3 1(2)2()1( 32 1 2 1 3 i i fffT 4-2 用四节点复化Simpson 公式计算积分 (1) 6 0 2 sin2dxx，(2) 2 1 2 2 dxe x 解： (1) 7241.0) 18 (2)12( 182 (4) 6 ()0( 186 2 1 3 1 3 ii i fifffS (2) 3407.0) 3 1(2) 6 12 1(4)2()1( 36 1 2 1 3 1 3 ii i f i fffS 4-3 分别用复化梯形和复化Simpson 公式计算积分 1 0 dxeI x 并使绝对误差限 6 10 2 1 不超过，问需要将区间0, 1 多少等分 ? 解：复化梯形： 2.40810 2 1 12 1 )( 12 1 )( 12 )( 6 222 3 n n f n f n ab fR 所以区间应该409 等分。 复化 Simpson 公式： 1.510 2 1 2880 1 )( 2880 1 )( 2880 )( 6 4 )4( 4 )4( 4 5 n n f n f n ab fR 所以区间应该6 等分。 4-4 利用积分2ln2 1 8 2 dx x 计算 ln2 时，若采用复化Simpson 公式，问应取多少个节点才能 使其误差的绝对值不超过 5 10 2 1 。 解： 2.2510 2 1 2880 24324 2880 6 )( 2880 )( 5 4 5 54 5 )4( 4 5 n nn f n ab fR 所以应 26 等分，节点数为：226+1 53 个。 4-5 直接验证 Simpson 求积公式 )() 2 (4)( 6 )(bf ab faf ab dxxf b a 具有 3 次代数精确度。 证明： 当 f(x)=1 时， b a abdxxf)( abbf ba faf ab )() 2 (4)( 6 ，等式成立。 当 f(x)=x 时， b a ab dxxf 2 )( 22 2 )(2 6 )() 2 (4)( 6 22 ab bbaa ab bf ba faf ab ，等式成立。 当 f(x)=x 2 时， b a ab dxxf 3 )( 33 3 )( 6 )() 2 (4)( 6 33 222 ab bbaa ab bf ba faf ab ，等式成立。 当 f(x)=x 3 时， b a ab dxxf 4 )( 44 4 2 )( 6 )() 2 (4)( 6 44 3 3 3 ab b ba a ab bf ba faf ab ，等式成立。 当 f(x)=x 4 时， b a ab dxxf 5 )( 55 24 5225 4 )( 6 )() 2 (4)( 6 54233245 4 4 4 abababaabb b ba a ab bf ba faf ab 等式不成立，所以Simpson 求积公式具有3 次代数精度。 4-6 设函数由下表给出，分别用复化梯形和复化Simpson 公式计算积分dxxf 8.1 6.0 )( xi0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 f(xi) 5.7 4.6 3.5 3.7 4.9 5.2 5.5 解： 复化梯形公式： 5.5)2.5