概率论与数理统计茆诗松第二版第三章课后习题33、34部分参考答案.pdf

16 习题习题 3.3 1 设二维随机变量(X, Y ) 的联合分布列为 09. 007. 004. 02 22. 011. 007. 01 20. 015. 005. 00 321 X Y 试分布求 U = maxX, Y 和 V = minX, Y 的分布列 解：因 PU = 1 = PX = 0, Y = 1 + PX = 1, Y = 1 = 0.05 + 0.07 = 0.12； PU = 2 = PX = 0, Y = 2 + PX = 1, Y = 2 + PX = 2, Y = 2 + PX = 2, Y = 1 = 0.15 + 0.11 + 0.07 + 0.04 = 0.37； PU = 3 = PX = 0, Y = 3 + PX = 1, Y = 3 + PX = 2, Y = 3 = 0.20 + 0.22 + 0.09 = 0.51； 故 U 的分布列为 51. 037. 012. 0 321 P U 因 PV = 0 = PX = 0, Y = 1 + PX = 0, Y = 2 + PX = 0, Y = 3 = 0.05 + 0.15 + 0.20 = 0.40； PV = 1 = PX = 1, Y = 1 + PX = 1, Y = 2 + PX = 1, Y = 3 + PX = 2, Y = 1 = 0.07 + 0.11 + 0.22 + 0.04 = 0.44； PV = 2 = PX = 2, Y = 2 + PX = 2, Y = 3 = 0.07 + 0.09 = 0.16； 故 V 的分布列为 16. 044. 040. 0 210 P V 2 设 X 和 Y 是相互独立的随机变量，且 X Exp( )，Y Exp( )如果定义随机变量 Z 如下 = ., 0 , 1 YX YX Z 当 当 求 Z 的分布列 解：因(X, Y ) 的联合密度函数为 = + ., 0 , 0, 0,e )()(),( )( 其他 yx ypxpyxp yx YX 则 + + + + = 0 )( 0 )( e)(e1 x yx x yx dxdydxYXPZP + = + = + + + + 0 )( 0 )( ee xx dx， + =110ZPZP， 故 Z 的分布列为 + P Z10 x 0 y X Y 17 3 设随机变量 X 和 Y 的分布列分别为 4/12/14/1 101 P X 2/12/1 10 P Y 已知 PXY = 0 = 1，试求 Z = maxX, Y 的分布列 解：因 PX1 X2 = 0 = 1，有 PX1 X2 0 = 0， 即 PX1 = 1, X2 = 1 = PX1 = 1, X2 = 1 = 0，可得 (X, Y ) 的联合分布列为 2/12/1 4/11 2/10 4/11 10 j i p p X Y 2/12/1 4/104/11 2/12/100 4/104/11 10 j i p p X Y 因 4 1 0 4 1 0, 00, 10=+=+=YXPYXPZP； 4 3 011=ZPZP； 故 Z 的分布列为 4 3 4 1 10 P Z 4 设随机变量 X、Y 独立同分布，在以下情况下求随机变量 Z = maxX, Y 的分布列 （1）X 服从 p = 0.5 的 (0-1) 分布； （2）X 服从几何分布，即 PX = k = (1 p) k 1p，k = 1, 2, 解： （1）(X, Y ) 的联合分布列为 5 . 05 . 0 5 . 025. 025. 01 5 . 025. 025. 00 10 j i p p X Y 因 PZ = 0 = PX = 0, Y = 0 = 0.25；PZ = 1 = 1 PZ = 0 = 0.75； 故 Z 的分布列为 75. 025. 0 10 P Z （2）因 PZ = k = PX = k, Y k + PX = + ., 0 , 0, 0,e ),( )( 其他 yx yxp yx 试求以下随机变量的密度函数（1）Z = (X + Y )/2； （2）Z = Y X 解：方法一：分布函数法 （1）作曲线簇z yx = + 2 ，得 z 的分段点为 0， 当 z 0 时，FZ (z) = 0， 当 z 0 时， + + = zxz yx zxz yx Z dxdydxzF 2 0 2 0 )( 2 0 2 0 )( ee)( z z xz z xz zxdx 2 2 0 2 2 0 2 e) 12(1)ee()ee( +=+=， 因分布函数 FZ (z) 连续，有 Z = (X + Y )/2 为连续随机变量， 故 Z = (X + Y )/2 的密度函数为 = . 0, 0 , 0,e4 )()( 2 z zz zFzp z ZZ （2）作曲线簇 y x = z，得 z 的分段点为 0， 当 z 0 时， + + + + + + + + += z xzx z zx yx z zx yx Z dxdxdydxzFeeee)( )2( 0 )( 0 )( zzz z xzx e 2 1 ee 2 1 ee 2 1 )2( = = = + + ， 当 z 0 时， + + + + + + += 0 )2( 00 )( 00 )( eeee)(dxdxdydxzF xzx zx yx zx yx Z zzxzx + + = = =e 2 1 11e 2 1 ee 2 1 0 )2( ， 因分布函数 FZ (z) 连续，有 Z = Y X 为连续随机变量， 故 Z = Y X 的密度函数为 = . 0,e 2 1 , 0,e 2 1 )()( z z zFzp z z ZZ 方法二：增补变量法 （1）函数 2 yx z + =对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加，增补变量 v = y， x 0 y 2z x 0 y z x 0 y z 19 可得 = + = , , 2 yv yx z 有反函数 = = , ,2 vy vzx 且2 10 12 = = = vz vz yy xx J， 则 + + =dvvvzpdvvvzpzpZ),2(22),2()(， 作曲线簇z yx = + 2 ，得 z 的分段点为 0， 当 z 0 时，pZ (z) = 0， 当 z 0 时， z z z Z zdvzp 2 2 0 2 e4e2)( =， 故 Z = (X + Y )/2 的密度函数为 = . 0, 0 , 0,e4 )( 2 z zz zp z Z （2）函数 z = y x 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加，增补变量 v = y， 可得 = = , , yv xyz 有反函数 = = , , vy zvx 且1 10 11 = = = vz vz yy xx J， 则 + =dvvzvpzpZ),()(， 作曲线簇 y x = z，得 z 的分段点为 0， 当 z 0 时， zzvzv Z dvzpe 2 1 e 2 1 e)( 0 2 0 2 = + + + + ， 当 z 0 时， z z zv z zv Z dvzp + + + + =e 2 1 e 2 1 e)( 22 ， 故 Z = Y X 的密度函数为 = . 0,e 2 1 , 0,e 2 1 )( z z zp z z Z 7 设 X 与 Y 的联合密度函数为 = . 0, 0 , 0,e )( 1 t tt tp t 设各周的需要量是相互独立的，试求 （1）两周需要量的密度函数 p2 (x)； （2）三周需要量的密度函数 p3 (x) 解：方法一：根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量 设 Ti表示“该种商品第 i 周的需要量” ，因 Ti的密度函数为 = . 0, 0 , 0,e )2( 1 )( 12 1 t tt tp t 可知 Ti服从伽玛分布 Ga (2, 1)， （1）两周需要量为 T1 + T2，因 T1与 T2相互独立且都服从伽玛分布 Ga (2, 1)， 故 T1 + T2服从伽玛分布 Ga (4, 1)，密度函数为 = = . 0, 0 , 0,e 6 1 . 0, 0 , 0,e )4( 1 )( 3 14 2 x xx x xx xp x x （2）三周需要量为 T1 + T2 + T3，因 T1, T2, T3相互独立且都服从伽玛分布 Ga (2, 1)， 故 T1 + T2 + T3服从伽玛分布 Ga (6, 1)，密度函数为 = = . 0, 0 , 0,e 120 1 . 0, 0 , 0,e )6( 1 )( 5 16 3 x xx x xx xp x x 方法二：分布函数法 （1）两周需要量为 X2 = T1 + T2，作曲线簇 t1 + t2 = x，得 x 的分段点为 0， 当 x 0 时，F2 (x) = 0， 当 x 0 时， = xtx ttt xtx tt ttdtdtttdtxF 00 211 00 22112 1 221 1 21 )ee(eee)( += x tx dtttxtt 0 1111 2 1 ee)( 1 x ttx ttxtt 0 1 2 1 2 1 3 1 11 eee 2 1 2 1 3 1 = x 0 y 1 1 z t1 0 t2 x 21 ) 1(eee 2 1 2 1 3 1 233 = xxx xxxx xxxx xxx =e 6 1 e 2 1 ee1 32 ， 因分布函数 F2 (x) 连续，有 X2 = T1 + T2为连续随机变量， 故 X2 = T1 + T2的密度函数为 = . 0, 0 , 0,e 6 1 )()( 3 22 x xx xFxp x （2）三周需要量为 X3 = T1 + T2 + T3 = X2 + T3，作曲线簇 x2 + t3 = x，得 x 的分段点为 0， 当 x 0 时，F3 (x) = 0， 当 x 0 时， = xxx ttx xxx tx txdxdttxdxxF 00 3 3 22 00 33 3 223 2 332 2 32 )ee(e 6 1 ee 6 1 )( += x xx dxxxxxx 0 2 3 2 3 2 3 2 4 2 ee)( 6 1 2 x xxxxx xxxxxxx 0 2 2 2 3 2 4 2 4 2 5 2 2222 e6e6e3ee 4 1 4 1 5 1 6 1 = ) 1(eee 2 1 e 6 1 e 4 1 4 1 5 1 6 1 23455 = xxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxx =e 120 1 e 24 1 e 6 1 e 2 1 ee1 5432 ， 因分布函数 F3 (x) 连续，有 X3 = T1 + T2 + T3为连续随机变量， 故 X3 = T1 + T2 + T3的密度函数为 = . 0, 0 , 0,e 120 1 )()( 5 33 x xx xFxp x 方法三：卷积公式（增补变量法） （1）两周需要量为 X2 = T1 + T2，卷积公式 + = 2222 )()()( 21 dttptxpxp TT ， 作曲线簇 t1 + t2 = x，得 x 的分段点为 0， 当 x 0 时，p2 (x) = 0， 当 x 0 时， x x x x x x ttx xtxtdttxtdtttxxp = = e 6 1 e 3 1 2 1 e)(ee)()( 3 0 3 2 2 2 0 2 2 22 0 22 )( 22 22 ， 故 X2 = T1 + T2的密度函数为 = . 0, 0 , 0,e 6 1 )( 3 2 x xx xp x （2）三周需要量为 X3 = T1 + T2 + T3 = X2 + T3，卷积公式 + = 3333 )()()( 32 dttptxpxp TX ， 作曲线簇 x2 + t3 = x，得 x 的分段点为 0， 当 x 0 时，p3 (x) = 0， x2 0 t3 x x 0 t1 t2 22 当 x 0 时， += x x x ttx dttxttxtxdtttxxp 0 3 4 3 3 3 2 3 2 3 3 0 33 )(3 33 e)33( 6 1 ee)( 6 1 )( 33 x x x xtxtxtxt = +=e 120 1 e 5 1 4 3 2 1 6 1 5 0 5 3 4 3 23 3 32 3 ， 故 X3 = T1 + T2 + T3的密度函数为 = . 0, 0 , 0,e 120 1 )( 5 3 x xx xp x 9 设随机变量 X 与 Y 相互独立，试在以下情况下求 Z = X + Y 的密度函数： （1）X U (0, 1)，Y U (0, 1)； （2）X U (0, 1)，Y Exp (1) 解：方法一：分布函数法 （1）作曲线簇 x + y = z，得 z 的分段点为 0, 1, 2， 当 z 0 时，)e1 (e)(e)e(e)( 1 1 0 1 0 1 0 1 0 zz x z x z x y z x y Z zzdxdxdydxzF + + = ， 因分布函数 FZ (z) 连续，有 Z = X /Y 为连续随机变量， 故 Z = X /Y 的密度函数为 = . 0, 0 ; 0,e 1 e1 )()( 11 z z z zFzp zz ZZ （2）作曲线簇z y x =，即直线簇 z x y =，得 z 的分段点为 0， 当 z 0 时，FZ (z) = 0， 当 z 0 时， + + + = 0 1 0 1 0 21 2 12121 ee)e(eee)(dxdxdydxzF z x x z x yx z x yx Z 21 1 0 )( 2 1 1 0 )( 1 2 1 2 1 ee + = + = + + z z z dx x z x z ， 因分布函数 FZ (z) 连续，有 Z = X /Y 为连续随机变量， x 0 y z 1 1 1 x 0 y z 1 x 0 y z 1 z 1 x 0 y 1/z 1 0 x y 24 故 Z = X /Y 的密度函数为 + = . 0, 0 ; 0, )( )()( 2 21 21 z z z zFzp ZZ 方法二：增补变量法 （1）函数 z = x / y 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加，增补变量 v = y， 可得 = = , ,/ yv yxz 有反函数 = = , , vy zvx 且v zv yy xx J vz vz = = 10 ， 则 + =dvvvzvpzpZ|),()(， 作曲线簇 x / y = z，得 z 的分段点为 0， 当 z 0 时，pZ (z) = 0， 当 z 0 时， zzzz v z v Z zz vvdvzp 1111 0 1 0 e 1 e11e1 1 e) 1(e)( =+ +=+=， 故 Z = X /Y 的密度函数为 = . 0, 0 ; 0,e 1 e1 )( 11 z z z zp zz Z （2）作曲线簇 x / y = z，得 z 的分段点为 0， 当 z 0 时，pZ (z) = 0， 当 z 0 时， + + + + + + = 0 )( 2 2121 21 0 21 2121 e )( 1 ee)( vzvzv Z zz v vdvzp 2 21 21 )( + = z ， 故 Z = X /Y 的密度函数为 + = . 0, 0 ; 0, )( )( 2 21 21 z z z zpZ 11设 X1 , X2 , X3为相互独立的随机变量，且都服从(0, 1)上的均匀分布，求三者中最大者大于其他两者之 和的概率 解：设 Ai分别表示 Xi大于其他两者之和，i = 1, 2, 3， 显然 A1 , A2 , A3两两互不相容，且 P(A1) = P(A2) = P(A3)， 则 P(A1A2A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) = 3P(A3) = 3PX3 X1 + X2 因 X1 , X2 , X3相互独立且都服从(0, 1)上的均匀分布， 则由几何概型知 6 1 1 2 1 1 3 1 213 = =+XXXP， 故 2 1 3)( 213321 =+=XXXPAAAPUU 12设随机变量 X1与 X2相互独立同分布，其密度函数为 = i t t tF t i ， 则设备正常工作时间 T = min T1, T2, T3，分布函数为 F (t) = PT = min T1, T2, T3 t = 1 Pmin T1, T2, T3 t = 1 PT1 tPT2 tPT3 t = 1 1 F1 (t)1 F2 (t)1 F3 (t) 当 t 0 时，F (t) = 0， 当 t 0 时，F (t) = 1 (e t )3 = 1 e 3 t， 故设备正常工作时间 T 服从参数为 3 的指数分布 Exp (3)，密度函数为 = . 0, 0 , 0,e3 )()( 3 t t tFtp t 14设二维随机变量(X, Y ) 在矩形 G = (x, y) | 0 x 2, 0 y 1上服从均匀分布，试求边长分别为 X 和 Y 的矩形面积 Z 的密度函数 解：二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为 = ., 0 , 10, 20, 2 1 ),( 其他 yx yxp 方法一：分布函数法 矩形面积 Z = XY，作曲线族 xy = z，得 z 的分段点为 0, 2， 当 z 0 时，FZ (z) = 0， x1 0 z 1 x2 z 1 x 2 y 1 0 z 26 当 0 = . 0, 0 , 0,e )( x x xp x （1）求 U = X + Y 与 V = X / (X + Y ) 的联合密度函数 pUV (u, v)； （2）以上的 U 与 V 独立吗？ 解：二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为 = + ., 0 , 0, 0,e ),( )( 其他 yx yxp yx XY （1）因 + = += , , yx x v yxu 有反函数 = = ),1 ( , vuy uvx 且u uv uv yy xx J vu vu = = = 1 ， 且当 x 0, y 0 时，有 uv 0, u (1 v) 0，即 u 0, 0 = ., 0 , 10, 0,e | )( |)1 (,(),( 其他 vuu uvuuvpvup u XYUV （2）当 u 0 时，pU (u) = 0， 当 u 0 时， uu UVU udvudvvupup + = ee),()( 1 0 ， 则 = . 0, 0 , 0,e )( u uu up u U 当 v 0 或 v 1 时，pV (v) = 0， 当 0 = ., 0 , 10, 0,e )()(),( 其他 vuu vpupvup u VUUV 故 U 与 V 相互独立 17设 X, Y 独立同分布，且都服从标准正态分布 N (0, 1)，试证：U = X 2 + Y 2与 V = X / Y 相互独立 证：二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为+ 0 时， 222 2 e 2 1 arctane 2 1 e )1(2 1 ),()( uuu UVU vdv v dvvupup + + + = + = ， 则 = . 0, 0 ; 0,e 2 1 )( 2 u u up u U 且+ = + + ., 0 ; 0, 0,e )()( ),( )(11 21 21 21 其他 yxyx yxp yx XY 因 + = += . ; yx x v yxu 有反函数 = = ).1 ( ; vuy uvx 且u uv uv yy xx J vu vu = = = 1 ， 且当 x 0, y 0 时，有 uv 0, u (1 v) 0，即 u 0, 0 = + ., 0 ; 10, 0|,|e)1 ()( )()( 11 21 21 21 其他 vuuvuuv u = + + ., 0 ; 10, 0,)1 (e )()( 111 21 2121 21 其他 vuvvu u 当 u 0 时，pU (u) = 0， 当 u 0 时， + + + = 1 0 111 21 2121 21 )1 (e )()( ),()(dvvvudvvupup u UVU + + = 1 0 111 21 2121 21 )1 (e )()( dvvvu u uu uu + + + + + = + =e )()( )()( e )()( 1 2121 21 1 21 21 21 21 21 ， 则 + = + + . 0, 0 ; 0,e )( )( 1 21 21 21 u uu up u U 当 v 0 或 v 1 时，pV (v) = 0， 当 0 = + + ., 0 ; 10, 0,)1 (e )()( )()(),( 111 21 2121 21 其他 vuvvu vpupvup u VUUV 故 U 与 V 相互独立 19设随机变量 U1与 U2相互独立，且都服从(0, 1)上的均匀分布，试证明： （1）Z1 = 2 ln U1 Exp(1/2)，Z2 = 2 U2 U (0, 2)； （2） 21cosZ ZX =和 21sinZ ZY =是相互独立的标准正态随机变量 30 证： （1）因 z1 = 2 ln u1严格单调减少，反函数为 2 11 1 e)( z zhu =， 2 1 1 e 2 1 )( z zh =， 当 0 = . 0, 0 ; 0,e 2 1 )( 1 1 2 1 1 1 z z zp z Z 故 Z1 = 2 ln U1 Exp(1/2)； 因 z2 = 2 u2严格单调增加，反函数为 2 )( 2 22 z zhu=， 2 1 )( 2 = z h， 当 0 = ., 0 ;20, 0,e 4 1 )()(),( 21 2 2121 1 2121 其他 zz zpzpzzp z ZZZZ 因 = = .sin ;cos 21 21 zzy zzx 有反函数 0, 0 = . 0, 0 , 0,e )( x x xp x j j j nj x x xF x j j , 2, 1 . 0, 0 , 0,e1 )(L= = ， 31 设 Yi = minX1 , , X i1 , X i+1 , , Xn， 则 Yi的分布函数为 FY i ( y) = PYi = minX1 , , X i1 , X i+1 , , Xn y = 1 PminX1 , , X i1 , X i+1 , , Xn y = 1 PX1 yPX i1 yPX i+1 yPXn y， 当 y 0 时，0)(=yF i Y ， 当 y 0 时， yyyyy Y niinii i yF )( 111111 e1eeee1)( + + = LL LL， 因分布函数)(yF i Y 连续，有 Yi = minX1 , , X i1 , X i+1 , , Xn为连续随机变量， 则 Yi的密度函数为 + = + + + . 0, 0 ; 0,e)( )()( )( 111 111 y y yFyp y nii YY nii ii LL LL 故 PXi = minX1 , X2 , , Xn = PXi Yi + + + + += 0 )( 111 111 e)(e x y nii x i dydx niii LL LL + + + + = + 0 )( 0 )( 21111 eeedxdx x i x yx i nniii LLL n ix n i n + = + = + + LL L 21 0 )( 21 21 e 21设连续随机变量 X1 , X2 , , Xn独立同分布，试证： n XXXXP nn 1 ,max 121 = L 证：设 X i的密度函数为 p (x)，分布函数为 F (x)，又设 Y = maxX1 , X2 , , X n1， 则 Y 的分布函数为 FY ( y) = PY = maxX1 , X2 , , X n1 y = PX1 yPX2 yPX n1 y = F ( y) n1， 可得 pY ( y) = FY ( y) = (n 1) F ( y) n2 p ( y)， 故 PXn maxX1 , X2 , , X n1 = PXn Y + + + =dxxFxpyFxpdxdyypxpdx Y x Y x Y )()()()()()( n xF n xdFxFdxxFxp nnn 1 )( 1 )()()()( 11 = + + + x 0 y xn 0 y 32 习题习题 3.4 1 掷一颗均匀的骰子 2 次，其最小点数记为 X，求 E (X ) 解：因 X 的全部可能取值为 1, 2, 3, 4, 5, 6， 且 36 11 6 56 1 2 22 = =XP， 36 9 6 45 2 2 22 = =XP， 36 7 6 34 3 2 22 = =XP， 36 5 6 23 4 2 22 = =XP， 36 3 6 12 5 2 2 = =XP， 36 1 6 1 6 2 =XP， 故 36 91 36 1 6 36 3 5 36 5 4 36 7 3 36 9 2 36 11 1)(=+=XE 2 求掷 n 颗骰子出现点数之和的数学期望与方差 解：设 Xi表示“第 i 颗骰子出现的点数” ，X 表示“n 颗骰子出现点数之和” ，有 = = n i i XX 1 ， 且 Xi的分布列为 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 654321 P Xi 则 2 7 6 21 6 1 6 6 1 5 6 1 4 6 1 3 6 1 2 6 1 1)(=+= i XE， 且 6 91 6 1 6 6 1 5 6 1 4 6 1 3 6 1 2 6 1 1)( 2222222 =+= i XE， 可得 12 35 2 7 6 91 )()()Var( 2 22 = = iii XEXEX， 故nXEXE n i i 2 7 )()( 1 = = ，nXX n i i 12 35 )Var()Var( 1 = = 3 从数字 0, 1, , n 中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望 解：设 X 表示“所取的两个数字之差的绝对值” ，有 X 的全部可能取值为 1, 2, , n， 且nk nn kn n kn kXP, 2, 1, ) 1( )1(2 2 1 1 L= + + = + + =， 故 = + + = + + = n k n k n k kkn nnnn knk kXkPXE 1 2 11 ) 1( ) 1( 2 ) 1( )1(2 )( 3 2 ) 12( 3 1 ) 1() 12)(1( 6 1 ) 1( 2 1 ) 1( ) 1( 2+ =+= + + = n nnnnnnnn nn 4 设在区间 (0, 1) 上随机地取 n 个点，求相距最远的两点之间的距离的数学期望 解：设 Xi表示“第 i 个点” ，有 Xi都服从均匀分布 U (0, 1)，密度函数和分布函数分别为 x = 1 PX1 xPX2 xPXn x = 1 1 F (x)n + = YXE 证：因(X, Y ) 的联合密度函数为 = . 0, 0 , 0,e1 )( x x xp x = . 0, 0 , 0,e1 )( x x xF x 设 Y 表示“系统持续工作的时间” ， （1）Y = minX1 , X2 , , Xn，可得 Y 的分布函数为 FY ( y) = PY = minX1 , X2 , , Xn y = 1 PminX1 , X2 , , Xn y = 1 PX1 yPX2 yPXn y = 1 1 F ( y)n = . 0, 0 , 0,e1 y y yn 可得 = . 0, 0 , 0,e )()( y yn yFyp yn YY 即 Y Exp (n )， 故 n YE 1 )(=； （2）Y = maxX1 , X2 , , Xn，可得 Y 的分布函数为 FY ( y) = PY = maxX1 , X2 , , Xn y = PX1 yPX2 yPXn y = F ( y)n = . 0, 0 , 0,)e1 ( y y ny 可得 = . 0, 0 , 0,)e1 (e )()( 1 y yn yFyp nyy YY 则 + = 0 1 )e1 (e)(dynyYE nyy ， 令 t = 1 e y，有)1ln( 1 ty= ，dt t dy )1 ( 1 = ，且 y = 0 时，t = 0；y + 时，t 1， 故 = = 1 0 1 0 1 1 0 1 )1 ()1ln( 1 )1ln( 1 )1 ( 1 )1 ()1ln( 1 )( nnn tdtdttntdt t ttntYE += = 1 0 1 1 0 1 0 )1 ( 1 1 1 )1 ( 1 )1ln()1 ( 1 dtttdt t ttt nnn L += += nn tt t n 1 2 1 1 1 2 1 1 0 2 LL 14设 X, Y 独立同分布，都服从正态分布 N (0, 1)，求 E maxX, Y 解：方法一：先求最小值的分布函数，再求其数学