山东建筑大学结构力学动力学.ppt

单自由度体系自由振动,周期,工程频率,园频率,计算频率和周期的几种形式,频率和周期的讨论,1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；,2.与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期；,3.是结构动力特性的重要数量标志。,四、简谐自由振动的特性,由式,可得，加速度为：,在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。,它们的幅值产生于,时，其值分别为：,既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。,惯性力为：,例5. 计算图示体系的自振频率。,解：单自由度体系， 以表示位移参数的幅值, 各质点上所受的力为：,建立力矩平衡方程,化简后得,例6、求图示结构的自振频率。,解：求 k,对于静定结构一般计算柔度系数方便。 如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为的刚架)计算刚度系数方便。,一端铰结的杆的侧移刚度为：,两端刚结的杆的侧移刚度为：,10-3 单自由度体系的受迫振动,受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。,k,弹性力ky、惯性力,和荷载P(t)之间的平衡方程为:,一、简谐荷载：,单自由度体系强迫 振动的微分方程,特解：,P(t)=Fsint,最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生 的位移）。,特解可写为：,全解可写为：,设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：,过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）,按自振频率振动,按荷载频率振动,平稳阶段：,最大动位移（振幅）为：,动力系数为：,重要的特性： 当/0时,1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。 当01，并且随/的增大而增大。 当/ 1时,。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75 / 1.25称为共振区。,当/ 1时,的绝对值随/ 的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。,例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。,解：1）求,3l/16,5l/32,l/2,据此可得：1 2 3= 1 1.512 2,结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。,彩虹桥垮塌与年久失修、不当使用也有一定关系,当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各 截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。,例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。,解：1)求,2)求,3)求ymax， Mmax,图解,例、一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m） 解：1）求自振频率和荷载频率,2）求动力系数,175.6MPa,I22b,3570cm4,3570,39.7,39.7,1.35,对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。,325,149.2,例1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知,三.动位移、动内力幅值计算,计算步骤:,1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的 位移、内力；,2.计算动力系数；,3.将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。,解.,例2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知:,解.,重力引起的弯矩,重力引起的位移,振幅,动弯矩幅值,跨中最大弯矩,跨中最大位移,动力荷载不作用在集中质量上时的等效动力荷载,m,P（t）,m,P（t）,1,r1P,1,1P,1,11,列幅值方程求内力幅值,解:,例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知,动弯矩幅值图,设体系在t=0时静止，然后有瞬时冲量S作用。,二、一般荷载,一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的 动力反应来推导,1、瞬时冲量的动力反应,瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。 由动量定理：,2、任意荷载P(t)的动力反应,时刻的微分冲量对t瞬时(t )引起的动力反应:,初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:,(Duhamel 积分),初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:,3、几种典型荷载的动力反应,1）突加荷载,yst=P0=P0 /m2,质点围绕静力平衡位置作简谐振动,2）短时荷载,阶段(0tu)：与突加荷载相同。,阶段(tu)：无荷载，体系以t=u时刻的位移,和速度,为初始条件作自由振动。,或者直接由Duhamel积分作,另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。,当0t u,当t u,最大动反应,1）当 u T/2 最大动位移发生在阶段,2）当u T/2 最大动位移发生在阶段, =2,动力系数反应谱 (与T和u之间的关系曲线),3）线性渐增荷载,这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求解:,对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：,动力系数反应谱,动力系数介于1与2之间。 如果升载很短，tr4T,则接近于1,即相当于静荷载情况。 常取外包虚线作为设计的依据。,单自由度体系自由振动,单自由度体系的受迫振动,P(t)=Fsint,平稳阶段：,动力系数为：,刚度系数k：使体系沿质点振动方向产生单位位移所需施加力的大小。 柔度系数：在质点振动方向施加单位力时，沿振动方向位移的大小。,讨论刚度、柔度系数的计算,作业 10-8，10-10,单自由度体系自由振动,单自由度体系的受迫振动,P(t)=Fsint,平稳阶段：,动力系数为：,刚度系数k：使体系沿质点振动方向产生单位位移所需施加力的大小。 柔度系数：在质点振动方向施加单位力时，沿振动方向位移的大小。,10-4、阻尼对振动的影响,实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如：,事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。 非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。,1、阻尼的存在,忽略阻尼的振动规律,考虑阻尼的振动规律,结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。,简谐荷载作用下有可能出现共振。,自由振动的振幅永不衰减。,自由振动的振幅逐渐衰减。,共振时的振幅趋于无穷大。,共振时的振幅较大但为有限值。,塔梁之间安装一个阻泥器，它的主要作用是限制钢箱梁吊在桥面上，像个秋千一样，在大风作用之下不至于摆动幅度太大，基本上就是控制在70公分以内， 还有一个作用在地震等遭遇一种突然力的时候，它就像我们安全带一样，能够把力给锁住。” 这种方法叫半漂浮结构固定方法，在世界上也是第一次采用在这种特大型桥梁上。,2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素,1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量；,2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量；,3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。,振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：,*粘滞阻尼理论非弹性力与变形速度成正比：,*滞变阻尼理论,关于阻尼的存在，有两种定义或理解：,1）振动的衰减；,2）能量的耗散。,3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3）与质点速度无关（如摩擦力）。,其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。,振动模型,k,m,有阻尼的自由振动，动平衡方程：,( 阻尼比）,设解为：,特征方程为：,令,特征值为,一般解,（1）低阻尼情形 ( 1 ),令,由初始条件确定C1和C2；,设,得,其中,低阻尼y- t曲线,低阻尼y- t曲线,无阻尼y- t曲线,阻尼对自振频率的影响.,当0.2，则存在0.9798r/1。在工程结构问题中，若0.2，可近似取:,讨论,称为振幅的对数递减率.,设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:,经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:,工程中常用此方法测定阻尼,阻尼对振幅的影响. 振幅ae- t 随时间衰减，相邻两个振幅的比,振幅按等比级数递减.,=常数,临界阻尼常数cr为=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）,阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。,3)1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。,2)=1（临界阻尼）情况,这条曲线仍具有衰减性， 但不具有波动性。,例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m,，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。,解：,例. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm，振动一周T=1.4s后，回摆1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。,解：(1)大梁的重量,由,(2)自振频率,(3)阻尼特性,(4)6周后的振幅,c,三、有阻尼的强迫振动,单独由v0引起的自由振动：,瞬时冲量ds=Pdt=mv0所引起的振动，可视为以v0=Pdt/m，y0=0为初始条件的自由振动：,将荷载P(t)的加载过程 看作一系列瞬时冲量：,总反应,（1）突加荷载P0,低阻尼y- t曲线,无阻尼y- t曲线,静力平衡位置,具有阻尼的体系在 突加荷载作用下， 最初所引起的最大 位移接近于静位移 yst=P0/m2的两倍， 然后逐渐衰减，最 后停留在静力平衡 位置。,（2）简谐荷载P(t)=Fsint,设特解为：y=Asin t +Bcos t代入上式得：,+Asin t +Bcos t ,齐次解加特解得到通解：,自由振动，因阻尼作用， 逐渐衰减、消失。,纯强迫振动，平稳振动， 振幅和周期不随时间而变化。,结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。,y=Asin t +Bcos t =yPsin(t ),振幅：yp， 最大静力位移：yst=F/k=F/m2,动力系数与频率比/和阻尼比有关,几点注意： 随增大曲线渐趋平缓， 特别是在/=1附近的 峰值下降的最为显著。,当接近 时， 增加很快， 对的数值影响也很大。在0.75 / 1.25(共振区)内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对的影响较小，可按无阻尼计算。,max并不发生在共振/=1时，而发生在，,由y=yPsin(t ) 可见，阻尼体系的位移比荷载P=Fsin t 滞后一个相位角 ，,但因很小，可近似地认为：,当时,0体系振动得很慢，I、R较小，动荷主要由S平衡，S与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载处理。,当时,180体系振动得很快，I很大，S、R相对说来较小，动荷主要由I 平衡， I与y同向，y与P反向；,弹性力S，惯性力I， 阻尼力R分别为：,当=时,90,由此可见：共振时（=），S与I刚好互相平衡，,yst,有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。,k=m2=m2,作业 10-14，10-15,例：求图示结构的自振频率,解：质点只在水平方向产生振动，用柔度法计算自振频率。 在质点水平方向加单位力，其水平位移即为柔度系数。,M图自乘可得到位移值，但计算较麻烦。取基本体系计算：,例：求图示结构的自振频率,解：质点只在竖直方向产生振动，用柔度法计算自振频率。 在质点竖直方向加单位力，其竖向位移即为柔度系数,取基本体系计算：,例：求图示结构的自振圆频率和周期,解：简化为单自由度体系，在水平方向振动。 用刚度法求解：让横梁发生单位位移需要施加的力，为刚度系数：,其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质 点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。 st=W在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 点沿振动方向所产生的位移。 计算时可根据体系的具体情况，视、 k、 st 三参数中哪一个最便于计算来选用。,自振周期