专题要点数列的概念及表示方法.docVIP

数列【专题要点】数列的概念及表示方法，等差数列和等比数列的定义、通项公式、前项和公式、性质、判定，等差数列和等比数列的比较，等差数列和等比数列与其它知识的综合应用高考资源网【考纲要求】1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据数列的通项公式写出数列的前几项。高考资源网2.理解等差、等比数列的概念并能解决简单的实际问题，掌握等差、等比数列的通项公式、前项和公式高考资源网3.能在具体的问题情境中识别数列的等差（或等比）关系，能够构造等差、等比数列的模型，并能用有关知识解决相应的实际问题【知识纵横】【教法指引】高考资源网数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大高考资源网有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。在解决综合题和探索性问题时，教师可适当引导学生加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，从而提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力【典例精析】高考资源网例1.（04年浙江）设数列an的前项的和Sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求证数列an为等比数列高考资源网解: (1)由,得 又,即,得. (2)当n1时, 高考资源网 得所以是首项,公比为的等比数列例2.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则；解：第1个图个数：1高考资源网第2个图个数：1+3+1第3个图个数：1+3+5+3+1第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1高考资源网第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=，所以，f（）f(2)-f(1)= ，f()-f()=，f()-f()=，f()-f()=点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想例3已知数列a是公差d0的等差数列，其前n项和为S高考资源网(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线12，设l与l的夹角为，证明：(1)因为等差数列a的公差d0，所以高考资源网高考资源网Kpp是常数(k=2，3，n)(2)直线l的方程为y-a=d(x-1)，直线l的斜率为d高考资源网高考资源网例4已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和高考资源网分析：由于b和c中的项都和a中的项有关，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径高考资源网解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练) 高考资源网a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=32当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2高考资源网说明：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用高考资源网例5在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列高考资源网求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：高考资源网设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式解：（1）高考资源网（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：高考资源网高考资源网把代入上式，得，的方程为：。，=高考资源网（3），T中最大数.高考资源网设公差为，则，由此得说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差例6.(河北省正定中学高2008届一模)设数列an的各项都是正数，且对任意nN+，都有，记Sn为数列an的前n项和. （1）求数列an的通项公式；高考资源网 （2）若（为非零常数，nN+），问是否存在整数，使得对任意 nN+，都有bn+1bn. 高考资源网解：（1）在已知式中，当n=1时， a10 a1=1 当n2时， 高考资源网 得，高考资源网 an0 =2Snan高考资源网 a1=1适合上式 当n2时， =2Sn1an1 高考资源网 得=2(SnSn1)an+an1=2anan+ an1= an+ an1 an+an10 anan1=1数列an是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n高考资源网 （2）高考资源网 当n=2k1，k=1，2，3，时，式即为 依题意，式对k=1，2，3都成立，bn高考资源网例7.(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知数列的前n项和为，点在曲线上且. （1）求数列的通项公式；高考资源网 （2）数列的前n项和为且满足，设定的值使得数列是等差数列；高考资源网 （3）求证：.高考资源网解：(1) 高考资源网高考资源网高考资源网数列是等差数列，首项公差d=4高考资源网 (2)由高考资源网得高考资源网高考资源网若为等差数列，则(3)高考资源网 例8.(2008福建理) 已知函数.高考资源网（1）设an是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(nN*)在函数y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f(x)的图象上；（2）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值. (1)证明：因为所以(x)=x2+2x, 高考资源网 由点在函数y=f(x)的图象上, 又所以高考资源网 所以,又因为(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f(x)的图象上. 高考资源网(2)解:, 高考资源网由得.当x变化时,的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值注意到,从而高考资源网当,此时无极小值；当的极小值为,此时无极大值；当既无极大值又无极小值. 高考资源网点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力. 高考资源网例9、（广州天河区模拟）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为；（1）求数列的通项公式；高考资源网（2）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列yn的一个通项公式yn，并证明你的结论;（3）求高考资源网高考资源网解：（1）由框图，知数列 （2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.由此，猜想高考资源网证明：由框图，知数列yn中，yn+1=3yn+2 高考资源网数列yn+1是以3为首项，3为公比的等比数列+1=33n1=3n=3n1（） （3）zn=高考资源网=1（31）+3（321）+（2n1）（3n1）=13+332+（2n1）3n1+3+（2n1）记Sn=13+332+（2n1）3n， 高考资源网则3Sn=132+333+（2n1）3n+1 高考资源网，得2Sn=3+232+233+23n（2n1）3n+1=2（3+32+3n）3（2n1）3n+1高考资源网=2= 又1+3+（2n1）=n2高考资源网.点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视例10.（08全国）设数列an的前项和为Sn已知a1a，an+1Sn3n，nN*(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；（2）若an+1an，nN*，求a的取值范围分析：第（）小题利用Sn与an的关系可求得数列的通项公式；第（）小题将条件an+1an转化为关于n与a的关系，再利用af(n)恒成立等价于af(n)min求解解：(1)依题意，Sn+1Snan+1Sn3n，即Sn+12Sn3n，由此得Sn+13 n+12(Sn3n)高考资源网因此，所求通项公式为bnSn3n(a3)2 n-1，nN*, (2)由知Sn3n(a3)2 n-1，nN*，于是，当n2时，anSnSn-13n(a3)2 n