南京航空航天大学结构力学课后习题答案第2章.doc

=精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载=南京航空航天大学 结构力学 课后习题答案 第2章第二章 薄板的弯曲 2-1 写出2-1图所示矩形薄板的边界条件。OA为简支边，并作用有分布的弯矩M。BC边为固支边，OC边为简支边。AB边为自边。 解：OA边：wx?0?0； Mx MyOC边：wy?0?0；x?0?2w?2w?2w?D(2?u2)?D2?M ?x?yx?0?xx?0?0 y?0y?0?2w?2w?2w?D(2?u2)?D2?y?xy?0?y ?wBC边：wx?a?0；?0 ?xx?aAB边：My?2w?2w?D(2?u2)?0 ?y?xy?b?Myx?x)y?by?b (Qy?3w?3w?D3?(2?u)2?0 ?y?x?yy?b 2-2 如图2-2所示，矩形薄板OA边和OC边为简支边，AB和BC为自边，在点B受向下的横向集中力P。试证w?mxy可作为该薄板的解答，并确定常数m、内力及边界处反力。 解：w?mxy满足平衡微分方程?4w?q/D?0 OC边上：wy?0?2w?2w?0； ?D(2?u2)0 ?y?xy?0OA边上：wx?0?2w?2w?0； ?D(2?u2)0 ?x?yx?0?2w?2w?3w?3w?0；?D3?(2?u)2?0 AB边上：?D(2?u2)?y?xy?b?y?x?yy?b?2w?2w?3w?3wBC边上：?D(2?u2)?0；?D3?(2?u)?0 ?x?yx?a?x?x?y2x?a?2w)?2D(1?u)m?P 在B点上：?2D(1?u)(?x?yx?a,y?b ?m?P 2D(1?u)所以w?Pxy 2D(1?u)?2w?2w?2w?2wMx?D(2?u2)?0；My?D(2?u2)?0； ?y?x?x?yMxy?2wPQx?D?2w?0； Qy?D?2w?0 ?D(1?u)? ；?x?y?x?y2?2wRA?2D(1?u)()?P?RC； RO?P ?x?yA 2-3 如图2-3所示，半椭圆形薄板，直线边界为ACB为xx2y2固支边，承受横向载荷q=q0。试证w?mx(2?2?1)2可作为解答，求出常数aabm，最大挠度和点的弯矩。x4y4x2y2x2y2解：w?mx(4?4?222?22?22?1) ababab?4wmx?120?x4a4?4wmx ?24?y4b42?4w?x?y?48mx22a2b2将式代入薄板的挠度方程 D?4w?q 即 D?4w?mD(120xa4?48xa2b2?24xb4) ?q?qx0aqxm?024D(5a21a4?a2b2?b4) ?q0a3a2a424D(5?2b2?b4)w?q0a3xx2y2(2?2?1)2 24D(5?2a2a4abb2?b4)求最大挠度： 根据对称性可知最大挠度必在y?0上，代入下式 ?w5x4?x?m(y4ab?6x2y2x2y24?4a2b2?6a2?2b2?1)?0?w32?y?mx(4yxyyb4?4a2b2?4b4)?0则有 ?w?m(5x4x2?xy?0a4?6a2?1)?0 ?w?yy?0?0 式可解出 a22x?,x?a2 52即 x?5a及x?a 5显然在x?5a处使得w取最大值为 5wmax?m51(?1)2a55 25q0a4?a2a4375(5?22?4)Dbb根据公式弯矩 ?2w?2wMx?D(2?2) ?x?y而?2w20x3xy2x?m(?12?12) 24222?xaaba?2w12xy24x34x?m(4?22?2) 2?ybabb ?Mx60x212y21212y212x24?D4?22?2?(4?22?2)m?0 ?xaabaaabb?Mxxyxy?D2422?24?4?0 ?yabb及对称性，可知在y?0,x?a(3?153?)(?)处 2222abab4124?20(Mx)x?Dm?(4?22)?3?(2?2)? abab?a?其中?a(3?153?)(?)。 a2b2a2b2而Mx在C点，即x?a,y?0处的值为 ?2012?(Mx)C?Dm?aa? ?q0a2?a2a43(5?22?4)bb2-4 有一矩形薄板，边长为a和b。若其挠度函数为w=Cxy(a-x)(b-y)，求该薄板受什么样的载荷和边界的支持条件。 解：?w?Cxy(a?x)(b?y)?Cabxy?Caxy2?Cbx2y?Cx2y2 ?w?Caby?Cay2?2Cbxy?2Cxy2； ?x?w?Cabx?2Caxy?Cbx2?2Cx2y； ?y?2w?2w2?2Cby?2Cy；2?2Cax?2Cx2； 2?x?y?4w?4w?4w?4C；4?0；4?0 22?x?x?x?y ?4w?q/D?2?4C?q/D?q?8CD x?0时：wx?0?0；?w?x?0不是固支边，是简支边 x?0 (Mx)x?0?2w?D2?2CD(y2?by)?Mx ?xx?0?w?x?0不是固支边，是简支边 x?ax?a时：wx?a?0；(Mx)x?a?2w?D2?2CDy(b?y)?Mx ?xx?a?w?y?0不是固支边，是简支边 y?0y?0时：wy?0?0； (My)y?0?2w?D2?y?w?y?2CDx(a?x)?My y?0y?b时：wy?b?0；?0不是固支边，是简支边 y?b (My)y?b?2w?D2?y?2CDx(a?x)?My y?b2-5 四边简支正方形薄板，边长为a，在板中点受横向载荷P，试求最大挠度。 解：具体求解过程参照教材P52?P55。针对边长为a的四边简支正方形薄板在板中点受横向载荷P。最大挠度为 wmax4P?42?Da?4Pa?4D2a4?222m?1n?1(m?n)?1?222m?1n?1(m?n) 精度取决于取多小项。 当取m?n?1时，最大挠度为 wmax?/D 2-6四边简支矩形薄板，边长为a和b，受横向分布载荷q?q0sin试证挠度函数w?msin置。 解：挠度函数w?msin?xasin?yb，?xasin?yb是该板的解。并求最大挠度、最大弯矩及其位?xasin?yb满足四边简支的边界条件。即 ?2w在x?0,x?a处，w?0,2?0 ?x?2w在y?0,y?a处，w?0,2?0 ?y于 ?4w?4?x?y?msinsin?x4a4ab?4w?4?x?y?msinsin?y4b4ab?4w?4?x?y?msinsin2222?xyabab所以 ?4w?( 1214?x?y?)?msinsin4224aabbab q0?x?y?sinsinDabq0121?)? a4a2b2b4D?m?4(q0a4 ?m?4222?(1?ab)D则挠度函数为 q0a4?x?y w?4sinsin?(1?a2b2)2Dab在x?a/2,y?b/2处，挠度取得最大值 wmax弯矩 q0a4 ?4?(1?a2b2)2D?2w?2w?2?2?x?yMx?D(2?2)?Dm2?2sinsin?x?yababMy?D(?w?w?x?y?)?Dm?sinsin2222?y?xbaab2222 在x?a/2,y?b/2处，弯矩取得最大值 (Mx)maxq0a2(1?a2b2)?2?(1?a2b2)2(My)maxq0a4(1?b2a2) ?22222?b(1?ab) 2-7 如图2-7，四边简支矩形薄板上作用有三角形分布载荷，即p(x,y)?q0xa 试用双重三角级数方法求挠度函数。 解：薄板弯曲的基本微分方程为 D?4w?p (,xy)边界条件是 在x?0和x?a处，w?0,?2w?x2?0在y?0和y?b处，w?0,?w?y?0挠度用双重三角级数表示为 w?Amnsinm?1n?1?22 m?xn?y sinab其中m和n是任意整数，Amn为待定系数。显然,(3)式满足式所述的全部边界条件。 将式代入式，得 ?m2n2?m?xn?y4?D?2?2?Amnsinsindxdy?p(x,y) ababm?1n?1?2为了求出系数Amn，必须先将式右端的载荷展开成与左端同样的双重三角级数形式 p(x,y)?Cmnsinm?1n?1?m?xn?ysinabi?x，其中i为任意正整数。然a先求出系数Cmn。将式的左右两端都乘以sin后对x积分，积分限从0到a，并注意 a?sin0(m?i)?0m?xi?x sindx?aa?a2(m?i)得到 i?xa?n?y p(x,y)sindx?Csin?in?a2n?1b0再将上式两端都乘以sin从0到b，得到 baaj?y，其中j也是任意正整数。然后对y积分，积分限b?p(x,y)sin00i?xj?yabsindxdy?Cij ab4因为i和j是任意整数，故可以改写为m和n。所以从上式可得 Cmn4m?xn?y?p(x,y)sinsindxdyab?ab00?2ab将式代入式，得 ?m2n2?m?xn?y4?D?2?2?Amnsinsindxdyb?abm?1n?1?a ?m?xn?y?Cmnsinsinabm?1n?1?两个相同的级数要相等，必须使相应项的系数都相等，从而得 ab Amn?4?p(x,y)sin00m?xn?ysindxdyab222?4Dab?将p(x,y)?q0xa代入上式。 ?mn?2?2b?am?xn?ym?xn?yp(x,y)sinsindxdy?qxasinsindxdy 0?abab0000?2bn?yb? ?sindy?1?cosn?n?bn?0?0babab(n为奇数) ab?q0xasin00am?xn?ysindxdyabm?x2bdx?an?(n为奇数) ?q0xasin0 (n为奇数)(n为奇数)=2bq0?acosm?mn?2(?1)m?12abq0?mn?2(?1)m?18q0将式代入式得到系数 Amn?mn?22?ab?222?6Dmn?将式代入式得到挠度函数 8qw?06D?(?1)m?1m?xn?ysinsin ?22mnabm?1n?1,3,5mn(2?2)2ab?2-8 已知圆形薄板的挠度方程为 w?C(5?)a4?2(3?)a2r2?(1?)r4 式中a是板的半径，C是常数。试确定该挠度方程对应于怎样的边界条件和什么样的载荷？并求出板的弯矩方程式。 解：因为挠度方程只是关于r的函数，故该圆形薄板的弯曲是轴对称弯曲。 (w)r?a?C(5?)a4?2(3?)a2a2?(1?)a4?C(5?)a4?(6?1?)a4?0( (1) dw)r?a?C?4(3?)a3?4(1?)a3(2) dr?8Ca3d2w(2)r?a?C?4(3?)a2?12(1?)a2 (3) dr?8?Ca3(Mr)r?ad2w?dw?D2?drrdr?D8?Ca2?0?a8Ca2 (4) 式、式(wr)r?a?0,(Mr)r的边界条件为简支边。 a?0知道该挠度方程所对应的圆形薄板轴对称圆形薄板弯曲的基本微分方程为 d21d2(2?)w?qDdrrdr?d4w2d3w1d2w1dw?4?22?3?qD ?3rdrrdrrdr?dr?C?64(1?)?qD?q?64CD(1?)圆板的弯矩表达式 d2w?dwMr?D(2?) drrdr?4CD(1?)(3?)(a2?r2)1dwd2wM?D(?2)rdrdr 22?4CD(1?)?(3?)a?(1?3?)r)?2-9 半径为a的圆形薄板，周边简支，在中心受集中载荷P，试求薄板的挠度和内力。 解：根据轴对称圆形薄板弯曲的特点，设挠度表达式为 w?C1lnr?C2r2lnr?C3r2?C4根据边界条件： 在r?0处 dw?0?C1?0 drdw?2C2rlnr?C2r?2C3rdr1dw?2C2lnr?C2?2C3 rdrd2w?2C2lnr?3C2?2C32drM?D(d2wudwrdr2?rdr)?D2(1?)C2lnr?(3?)C2?2(1?)C3Qdd2w1dwr?Ddr(dr2?rdr)?D4C2r集中载荷P可化为分布载荷P2?b(b很小) D4C2Pb?2?b?CP2?8?D 将式、式代入式得 w?Pr28?Dlnr?C23r?C4在r=a处 wr?a?0(Mr)r?a?0 即 Pa28?Dlna?C23a?C4?0 2C2(1?)lan?(?3C2)?2?(1C3? ) 联立、式，解得 CPlnaP(?3?)3?8?D?1?6D(?1?)2CPa(3?)4?16?D(?1?)将代入，得到薄板挠度函数表达式 w?Pr3?16?D2r2lna?1?(a2?r2) 薄板的内力 3）4）5）6）7）（ （0 （ Qr?P2?rPa Mr?(1?)ln4?rPaM?(1?)ln?(1?)4?r2-10 半径为a的圆形薄板，周边固定，沿半径r=b(b解：将圆板分为0?r?b和b?r?a两部分。 根据轴对称圆形薄板弯曲的特点，设挠度表达式为 w?C1lnr?C2r2lnr?C3r2?C4 dw1?C1?2C2rlnr?C2r?2C3rdrr1dw1?C12?2C2lnr?C2?2C3 rdrrd2w1?C12?2C2lnr?3C2?2C3dr2rd2wudwMr?D(2?)drrdr 1?D?C1(1?)2?2C2(1?)lnr?C2(3?)?2C3(1?)rdd2w1dwQr?D(2?)drdrrdr 4C?D2r对于内圆： 在r=0处，所以内圆的挠度可以表示为 dw?0Qr?0dr2 w?C3r?C4?C1?C2?0 外圆处的边界条件： 在r=a处，wr?0内外圆相连的 r=b处，w?w即有如下的六个方程 dw?0 drdwdw?drdrMr?MrQr?Qr?q0 ?C1lna?C2a2lna?C3a2?C4?0?1?C1?2C2alna?C2a2?2C3a2?0?a?C1lnb?C2b2lnb?C3b2?C4?C3b2?C4?1 ? C1?2C2blnb?C2b2?2C3b2?C3b2?C4b?C1?2C2(1?)lnb?C2(3?)?2C3(1?)?2C3(1?)?(1?)2b?4DC?q02?b?q0b3qb?C1?C2?04D4Dq0bq0b2q0b3b22C3?(1?2)C4?(a?b)?lna8Da8D4D 2qb1bbC3?0(1?2)?ln4D2aaq0a2bb2b1b2C4?ln?(1?2)4Da2a2a因此，薄板的挠度表达式为 q0a2br2b2b1b2r2w?(2?2)ln?(1?2)(1?2)4Daaa2aaq0a2br2b2r1b2r2w?(?)ln?(1?2)(1?2)4Da2a2a2aa(0?r?b) (b?r?a)2-11 圆环形薄板，外边界r=a为简支，在内边界r=b的圆周上受有均布剪力Q0，试求挠度表达式 解：设挠度表达式为 w?C1lnr?C2r2lnr?C3r2?C4 dw1?C1?2C2rlnr?Cr2?2Cr3drr1dw1?C12?2C2lnr?C2?2C3rdrrd2w1?C?2C312?2C2lnr?3C2dr2rd2wudwMr?D(2?)drrdr 1?D?C1(1?)2?2C2(1?)lnr?C2(3?)?2C3(1?)rdd2w1dwQr?D(2?)drdrrdr 4C?D2r利用边界条件确定系数 在r=a处，wr?a?0(Mr)r?a?0 (Mr)r?b?0 在r=b处，(Qr)r?b?Q0即 ?C1lna?C2a2lna?C3a2?C4?0?(1?)C1?2C(1?)lna?C(3?)?2C(1?)?02232?a? ?C1?(1?)2?2C2(1?)lnb?C2(3?)?2C3(1?)?0b?4C?D?Q0?b?Qb?C2?04D(1?)Q0ba2b2bC1?ln(1?)2D(a2?b2)aQ0b2b2b3?C3?2ln?28Da?ba1?Q0a2b3?2b2bC4?2ln8D1?a?b2a 因此，挠度的表达式为 ?Q0a2b?r2?3?b2b?w?1?ln?2?224D?a2(1?)a?ba?rr2b1?br?ln?lnln?a2aa2?b21?aa?22 2-12 半径为a的圆形薄板，周边简支，中心有连杆支座，在边界上受均布弯矩M0作用，试求薄板的挠度和内力。 解：设挠度的表达式为 w?C1lnr?C2r2lnr?C3r2?C4 dw1?C1?2C2rlnr?C2r?2C3rdrr1dw1?C12?2C2lnr?C2?2C3 rdrrd2w1?C12?2C2lnr?3C2?2C3dr2rd2wudw