黑匣子论文建模.doc

寻找黑匣子摘要本文通过分析飞机失去动力后的受力情况，建立数学模型，通过解微分方程组，得到飞机的运动轨迹，确定黑匣子坠落在水底的位置。问题一求出飞机坠落在海面的具体位置。飞机在东经88南纬22失去动力，由于具有初始速度，在惯性的作用下将水平滑落。在飞机降落的过程中受重力、空气对机翼的升力和空气的阻力作用，其中阻力和升力都与速度的二次方成线性关系，阻力系数和升力系数通过求解出。我们将飞机受到的力正交分解，得到飞机的运动公式 ；。通过Matlab求解出飞机的运动轨迹，最终确定黑匣子的落水点为（），即飞机坠落在东北向，处，黑匣子的落水处为东经 ，南纬 。问题二中求黑匣子在水中的坠落轨迹。与问题一近似，只不过黑匣子在水中时，受重力、浮力和水的阻力，由于水的阻力比较大，水的阻力与黑匣子的速度成线性关系，同样利用求解水的阻力系数，然后根据求解出黑匣子在水中受到的浮力，黑匣子的运动学方程为；。利用Matlab求解出黑匣子的运动轨迹，结合题目中所给的海底地形图，最终确定黑匣子的坠落位置为I区。问题三中考虑洋流的影响，确定黑匣子的坠落位置。查阅资料，可以知道东经88，南纬22位于南印度洋上空，受南赤道暖流的影响，黑匣子在水中时将受到一个恒定的速度，我们假设洋流的速度为定值，不随深度变化，同样根据牛顿第二定律，黑匣子的运动方程为 ； ； ，同样利用Matlab求解出黑匣子坠落轨迹，以及黑匣子在不同深度的确切位置。关键词： Matlab计算 运动学方程 受力分析 近似求解1、 问题重述随着经济的发展，飞机逐渐成为便捷的交通方式之一，飞机飞行不受高山、河流、沙漠、海洋等地理条件的限制，而且可根据客源、货源数量随时增加班次。根据国际民航组织统计，民航平均每一客公里的死亡人数为0.04人，是普通交通方式事故死亡人数的几十分子一到几百分子一，是比火车更为安全的交通运输方式。飞机的缺点是价格昂贵，受天气影响严重，虽然飞机的事故率很低，但是一旦失事，将会很少有人甚至无人生还。黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一，它能记录各种飞行参数，供事故分析使用。黑匣子记录的参数包括飞机停止工作或失事坠毁前半小时的语音对话和两个小时的飞行高度、速度、航向、爬升率、下降率、加速情况、耗油量、起落架放收、格林尼治时间、飞机系统工作状况和发动机工作参数等。假设有一架飞机在高空中飞行时突然发生事故，此时飞行高度为10000米，飞行速度是800公里/小时，航向东北方向45，飞机在地面的投影位置为南纬22.0度，东经88.0度。请建立模型求解以下问题：（1） 假设飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。（2） 假设黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，建立模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。如图1所示，假设黑匣子落水点所对应的海底位置为1，落水时沿着图1中指定的虚线方向沉海，给出黑匣子沉在海底的位置，并指出在图形中的哪个区域范围。图1 黑匣子在水下沉降过程中的海底剖面图（3） 考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，建立模型描述在有洋流流动的情况下，黑匣子沉降轨迹方程，并求解出黑匣子沉入水下1000m，2000m，3000m时离落水点的方位。2、 问题分析2.1 问题一飞机失去动力后，会受到重力、空气对机翼的升力和飞机下降时的阻力的影响，考虑到空气的阻力与空气的密度有关，为了方便计算，选取空气密度的平均值作为空气的密度，然后根据空气阻力系数的计算公式，得出空气的阻力系数。空气的升力系数同样可以得到。飞机在坠落过程中，阻力和升力的大小仅与飞机下落速度的二次方有关，在水平与竖直方向上受力分解，求出水平位移和竖直位移与时间的关系，用Matlab就能绘制出飞机的坠落轨迹，能够比较精确地确定飞机的落水点。2.2 问题二不考虑洋流的影响，黑匣子落入水中后，受到水的阻力，浮力和重力的作用，浮力的大小可通过求解出，海水对黑匣子的阻力与速度成正比，比例系数可根据确定，根据牛顿第二定律可列出微分方程，用Matlab求解出黑匣子的运动轨迹，确定黑匣子的坠落区域。2.3 问题三考虑洋流的影响，我们将洋流的速度正交分解到轴和轴，然后根据牛顿第二定律，参照问题二的解法，求解出黑匣子此时的坠落轨迹，进而求解出黑匣子在海平面、的具体坐标位置。3、 模型假设（1） 假设风速为0，即飞机在空中不受风速的影响。（2） 假设洋流只存在于水平方向，流速不变。（3） 假设天气状况正常，忽略暴风、暴雨等恶劣因素的影响（4） 假设飞机坠落到海面，黑匣子落入水中，保持飞机最后的速度，继续下落。4、 符号说明为飞机的重量为黑匣子的重量为大气的密度，为阻力系数，为飞机受力面积，为物体对流体的相对速度。为空气阻力空气温度梯度，约为；为海水的阻力系数，此处取0.12为飞机的风阻系数，取为海水对黑匣子的浮力为空气对机翼的升力海拔高度，单位；绝对温度，为。为黑匣子落水时，水平方向的速度；为黑匣子落水时竖直方向速度为洋流在轴的分速度为黑匣子在海水中的受力面积，此处取标准状态下的空气密度，海平面在摄氏零度气温条件下空气的密度是；5、 模型建立和求解5.1 问题一飞机失去动力后，在初速度的影响下，受惯性的作用滑翔降落。在降落的过程中受重力、空气对机翼的升力和空气的阻力。受力情况如图2所示图2飞机下落过程中受力分析图以飞机在空中对应的海面上的投影点为原点，以航向东北向45为X轴，以竖直方向为Y轴，在此坐标系中飞机的初始坐标为（0,10000），飞机初始速度方向平行于X轴。为了简化模型，假设飞机在空中受到的升力大小为定值F，方向始终垂直于飞机的运动方向。飞机受到的空气阻力大小与飞机的速度的平方成正比，始终与飞机的运动方向相反。飞机在空气中受到的阻力 （1） （2）在公式中为大气的密度，为阻力系数，为飞机受力面积，为物体对流体的相对速度。我们查阅相关文献得到以下数据表1一定海拔下的空气密度数据海拔高度(m)0 1000 2000 2500 3000 4000 5000 相对空气密度1 0.903 0.813 0.770 0.730 0.653 0.583 在标准状态下大气压力为，相对空气密度为，一般标准状况（）下，空气密度为，根据气体状态方程式求得空气密度与海拔的高度的关系为 （）式中是海拔高度为时的空气密度；标准状态下的空气密度，海平面在摄氏零度气温条件下空气的密度是；空气温度梯度，约为；海拔高度，单位；绝对温度，为。将相关数据代入，可得到密度与高度的关系曲线如下图图3密度与高度的关系曲线通过计算可得到当高度为时，空气的密度为。由于该曲线近似可看成线性关系，所以我们取平均值作为大气的密度我们查阅飞机波音777-200的相关资料，估计飞机的重量约为，迎风面积约为，飞机的风阻系数为。我们将模型简化，认为飞机的升力仅作用于竖直方向，飞机的升力计算公式 （3） （4）式中为大气的密度，为升力系数，为飞机机翼受力面积，为物体对流体的相对速度。，查阅相关资料可知，空气对飞机机翼的升力系数为，飞机机翼的受力面积约为。对飞机的受力分析，在直角坐标系下正交分解式带入飞机的初始条件 ； ； 利用Matlab求解得 飞机下落轨迹如下图所示图4飞机下落轨迹上图中，抛物线与X轴的交点即为所求的落水点，可求得落水点的坐标（），即飞机坠落在东北向，处，黑匣子的落水处为东经南纬5.2 问题二黑匣子入水后，既有水平方向的速度也有竖直方向的速度，黑匣子沉水的过程中，受到水面的阻力、浮力和重力的作用，做曲线运动。设入水点为原点，沿虚线入海的方向为X轴正方向，竖直指向天空的方向为Y轴正方向，假设黑匣子入水的时间为零，建立坐标系，受力分析如下图图5黑匣子入水后受力分析根据牛顿第二定律可列出微分方程式中为黑匣子的重量，为海水对黑匣子的浮力，为比例系数为海水的阻力系数，此处取0.12 ，为黑匣子在海水中的受力面积，此处取。查阅资料可知，海水中铁匣子受到的浮力为海水的密度；为重力加速度 ；铁匣子的体积，一般铁匣子的大小为初始条件 ；为黑匣子落水时，水平方向的速度；黑匣子落水时竖直方向速度，初始坐标为，用Matlab求解，得到黑匣子在海底的沉降轨迹。图6黑匣子海底坠落轨迹由上图可知，黑匣子落在海底的I区，题目中所给的海底平面图I区范围内大致为一条水平的直线，估算出该直线的方程为，结合黑匣子的运动轨迹，可知黑匣子下落的具体坐标为5.3 问题三以入水点为原点建立空间直角坐标系，黑匣子入海的方向为轴，经过原点向上的方向为轴，轴逆时针旋转方向为轴。查阅资料可知，东经，南纬附近位于南印度洋，受南赤道暖流的影响。南赤道暖流给黑匣子的始终增加了一个水平的初速度，我们假设南赤道暖流的速度不变，仅存在于水平方向，我们将这个速度分解到轴和轴方向，根据牛顿第二定律，可得到微分方程和的取值参见第二问。初始条件 ；将各系数代入式中，可求得黑匣子的沉降轨迹如下图7受洋流影响时黑匣子的坠落轨迹通过黑匣子受洋流影响时的运动轨迹，得到下面表格表2黑匣子的沉降方位Y轴位置X轴位置Z轴位置-1000511.1416.65-2000538.4343.94-3000565.7271.236、 模型评估本模型简单易于分析，通过合理的假设，关注主要因素，忽略不必要因素的影响，能够大致推测出飞机失去动力后的运动轨迹以及坠落水中的运动轨迹，基本确定黑匣子的最后坠落位置，较为符合实际，能够应用于实际搜索。缺点是忽略了实际飞机在下降过程中，风速、天气的影响，考虑的因素较少，与实际坠落位置会有偏差。7、 参考文献1 姜启源，谢金星，叶俊 数学建模 北京 高等教育出版社 2003.082周品，何正风 Matlab数值分析 北京 机械工业出版社 2009.013谭永基，蔡志杰，俞文魮数学模型 上海 復旦大学出版社 2005.028、 附录(1)飞机失去动力后下落轨迹t=0:100;x=500000000/12337*log(12337*t+2500000000/1111)-4000000000/12337*log(2)-4500000000/12337*log(5)-500000000/12337*log(5/1111);y=250000000/267037*log(tanh(7/50000*267037.(1/2)*t)-1)+250000000/267037*log(tanh(7/50000*267037.(1/2)*t)+1)-250000000/267037*log(2)-250000000/267037*log(-1/2)+10000;plot(x,y)axis equal;axis(0,20000,0,10000);(2)不受洋流影响时，黑匣子的坠落轨迹t=0:500;x=60992/123-60992/123*exp(-1