华农概率论习题三解答.doc

习 题 三 解 答1：设二维随变量（X，Y）只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），且取这几组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12。求此二维随机变量（X，Y）的分布列。解：此二维随机变量（X，Y）的分布列是： YX01/31-101/121/301/60025/12002一袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取球，设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X，Y分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求（X，Y）的概率分布。解：由题意得：（X，Y）的可能取值为：（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）。则由概率的乘法公式得：PX=1,Y=2=(1/4)(2/3)=1/6 PX=1,Y=3=(1/4)(1/3)=1/12 PX=2,Y=1=(2/4)(1/3)=1/6 PX=2,Y=2=(2/4)(1/3)=1/6 PX=2,Y=3=(2/4)(1/3)=1/6 PX=3,Y=1=(1/4(1/3)=1/12 PX=3,Y=2=(1/4)(2/3)=1/6 而事件(1,1),(3,3)为不可能事件，所以PX=1,Y=1=0，PX=3,Y=3=0。则（X，Y）的联合分布列为：YX123101/61/1221/61/61/631/121/60 3在一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只，考虑两种试验，（1）有放回抽样，（2）无放回抽样，我们定义随机变量X，Y如下 解：（1）所求联合概率分布为：YXX01025/365/3615/361/36 （2）所求联合概率分布为： YXX01045/6610/66110/661/664.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 =（1）确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数；（3）求P0X1，0Y2。解：（1）由概率密度函数的性质知 = =* =1 即 k=12.(2)由定义，有 当时 当时于是（3） = 5.随机变量（X，Y）的分布密度为（1）求系数C；（2）求随机变量（X，Y）落在内的概率。解：（1）由（利用极坐标运算）得于是 （2）利用极坐标运算得： =（1-）6.求出在D上服从均匀分布的随机变量(X,Y)的分布密度及分布函数,其中D为x轴，y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域解：由于面积=1/4，所以（X,Y）的联合密度函数为分布函数分区域讨论（1） 当从而 （2） 当（3） 当（4） 当（5） 当 综上可得： 7. 设随机变量（X,Y）的概率密度为求PX+Y.解：PX+Y1=1PX+Y1=1=8：设二维随机变量（X，Y）要区域D上服从均匀分布，其中D 是曲线y=和y=x所围成，试求（X，Y）的分布密度及边缘分布密度。解：面积则 （a）关于X的边缘概率密度当时, 当时所以（b）关于Y的边缘概率密度当时, 当时所以9（1）第1题中的随机变量X和Y是否相互独立（提示：考虑事件X=-1，y=1）？ （2）第6题中的随机变量X与Y是否相互独立（提示：考虑事件 ）？解：（1），而 根据定义得：X与Y不相互独立。（2）10已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为：求边缘概率密度与；（1） ，（2） 问X和Y是否相互独立？解：（1）当0x1时， 其它， 所以 所以关于X的概率密度为类似地，当0y1， 其它， 所以 （3） 故由条件概率密度的定义可知，（3）x=1，y=1时，（4y-3）(4x-3)=1此时所以X和Y不相互独立。11（1）如果（X，Y）在以原点为中心，边长为2的正方形内服从均匀分布，问X和Y是否相互独立？（2）如果（X，Y）在以原点为中心，R为半径的圆内服从均匀分布，问X和Y是否相互独立？解：（1）因为（X，Y）服从均匀分布，故当x1时，f(x,y)=0 所以当时， 于是得关于X的概率密度为同理可得关于Y得概率密度为，故X和Y是相互独立。（2）因为（X，Y）服从均匀分布，故当xR时，所以 当时，即同理得：, ,故X和Y不相互独立。12.设X和Y相互独立，它们的概率密度分别为求ZXY的概率密度.解：因为X和Y相互独立，所以有 当时当时13.设随机变量（X，Y）的概率密度为 ，求的概率密度。解：Z的分布函数为 式中，G是xOy平面内由不等式所确定的区域，当z0时，再用极坐标来求积分求导得 所以 14设（X，Y）的分布密度为 求Z=的概率密度。解：Z的分布函数为当时，；当时，所以综上得 15设（X,Y）的联合分布密度为 求k