2019版高考数学第3章导数及其应用3第3讲导数与函数的极值、最值教案理.docx

第3讲导数与函数的极值、最值1函数的极值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值提醒(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点；(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值；(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系2函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值3极值与最值的区别与联系(1)区别函数的极值函数的最值函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点使函数取得最大值，最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得出的函数的极值可能不止一个，也可能一个没有函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个函数的极大值不一定大于函数的极小值函数的最大值一定大于函数的最小值(2)联系当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的()(2)导数为零的点不一定是极值点()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()答案：(1)(2)(3)(4) (教材习题改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个B2个C3个D4个解析：选A.导函数f(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点 函数yln xx在x(0，e上的最大值为()Ae B1C1De解析：选C.函数yln xx的定义域为(0，)，又y1，令y0得x1，当x(0，1)时，y0，函数单调递增；当x(1，e)时，y0，函数f(x)单调递增，当x(2，2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以a2.答案：2 (教材习题改编)函数yx2cos x在区间上的最大值是_解析：y12sin x，令y0，又因为x，解得x，则当x时，y0；当x时，y0，故函数yx2cos x在x时取得最大值.答案：函数的极值问题(高频考点)函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度：(1)由图判断函数极值的情况；(2)已知函数解析式求极值；(3)已知函数极值求参数值或范围典例引领角度一由图判断函数极值的情况 (2017高考浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()【解析】原函数先减再增，再减再增，且x0位于增区间内，故选D.【答案】D角度二已知函数解析式求极值 (2018湖南省五市十校联考)已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)令g(x)f(x)(ax1)，求函数g(x)的极值【解】(1)当a0时，f(x)ln xx，则f(1)1，所以切点为(1，1)，又f(x)1，所以切线斜率kf(1)2，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)g(x)f(x)(ax1)ln xax2(1a)x1，则g(x)ax(1a)，当a0时，因为x0，所以g(x)0.所以g(x)在(0，)上是增函数，函数g(x)无极值点当a0时，g(x)，令g(x)0得x.所以当x(0，)时，g(x)0；当x(，)时，g(x)0.因为g(x)在(0，)上是增函数，在(，)上是减函数所以x时，g(x)有极大值g()ln(1a)1ln a.综上，当a0时，函数g(x)无极值；当a0时，函数g(x)有极大值ln a，无极小值角度三已知函数极值求参数值或范围 (2016高考山东卷)设f(x)xln xax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值求实数a的取值范围【解】(1)由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，)则g(x)2a.当a0时，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当a0时，x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，x时，函数g(x)单调递减所以当a0时，g(x)的单调增区间为(0，)；当a0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)知，f(1)0.当a0时，f(x)单调递增，所以当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当0a1，由(1)知f(x)在内单调递增，可得当x(0，1)时，f(x)0.所以f(x)在(0，1)内单调递减，在内单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当a时，1，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意当a时，00，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x).(1)利用导数研究函数极值问题的一般流程(2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性提醒若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值 通关练习1(2017高考全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1B2e3C5e3D1解析：选A.因为f(x)(x2ax1)ex1，所以f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1.因为x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，所以2是x2(a2)xa10的根，所以a1，f(x)(x2x2)ex1(x2)(x1)ex1.令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得2x1，所以f(x)在(，2)上单调递增，在(2，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值f(1)1，选择A.2已知函数f(x)ln xax(aR)(1)当a时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数解：(1)当a时，f(x)ln xx，函数的定义域为(0，)且f(x)，令f(x)0，得x2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f(x)a(x0)，当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，即函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，故函数在x处有极大值综上所述，当a0时，函数在定义域上无极值点，当a0时，函数在x处有一个极大值点函数的最值问题 典例引领 (2017高考浙江卷)已知函数f(x)(x)ex(x)(1)求f(x)的导函数；(2)求f(x)在区间上的取值范围【解】(1)因为(x)1，(ex)ex，所以f(x)ex(x)ex.(2)由f(x)0，解得x1或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1f(x)00f(x)e0e又f(x)(1)2ex0，所以f(x)在区间上的取值范围是.求函数f(x)在a，b上最值的方法(1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到 通关练习1函数f(x)在上的最小值与最大值的和为()A.B.C1D0解析：选A.f(x)，x，当f(x)0时，x0；当f(x)0时，x0时，0x1.所以f(x)在上是减函数，在(0，1上是增函数所以f(x)minf(0)0.又f，f(1).所以f(x)的最大值与最小值的和为.2(2018贵阳市检测)已知函数f(x)ln x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在，e上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)解：(1)f(x)ln x1ln x，f(x)的定义域为(0，)因为f(x)，所以f(x)00x1，f(x)0x1，所以f(x)1ln x在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减(2)由(1)得f(x)在，1上单调递增，在1，e上单调递减，所以f(x)在，e上的最大值为f(1)1ln 10.又f()1eln 2e，f(e)1ln e，且f()f(e)所以f(x)在，e上的最小值为f()2e.所以f(x)在，e上的最大值为0，最小值为2e.函数极值与最值的综合应用 典例引领 (2018福州市综合质量检测)已知函数f(x)aln xx2ax(aR)(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)求g(x)f(x)2x在区间1，e上的最小值h(a)【解】(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2xa，因为x3是f(x)的极值点，所以f(3)0，解得a9，所以f(x)，所以当0x或x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0.所以x3是f(x)的极小值点，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，(3，)，单调递减区间为(，3)(2)g(x)2.当1，即a2时，g(x)在1，e上为增函数，h(a)g(1)a1；当1e，即2a2e时，g(x)在1，)上为减函数，在(，e上为增函数，h(a)g()aln a2a；当e，即a2e时，g(x)在1，e上为减函数，h(a)g(e)(1e)ae22e.综上，h(a)解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值 已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在区间1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解：(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值所以当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x0时，f(x)在1，e上单调递增所以f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.所以当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.利用导数研究生活中的优化问题典例引领 某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2t5)设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25x40)，根据市场调查，销售量q公斤与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；(2)若t5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少时，该工厂的每日利润y最大？并求最大值【解】(1)设日销量q，则100，所以k100e30，所以日销量q，所以y(25x40)(2)当t5时，y，y，由y0得x26，由y0，得x26，所以y在区间25，26上单调递增，在区间26，40上单调递减，所以当x26时，ymax100e4，即当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e4元 一列电力机车每小时电的消耗费用与机车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的电价值40元，其他费用每小时需400元，机车的最高速度为100 km/h，机车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解：设机车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40k203，所以k，则总费用f(x)(kx3400)aa(0x100)由f(x)0，得x20.当0x20，f(x)0；当200.所以当x20时，f(x)取最小值，即速度为20 km/h时，总费用最少 求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究 研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点 分类讨论思想的应用(1)利用导数研究函数的性质，不能以统一的方法或形式处理多种可能情形的对象此时可选择一个标准，依此分成几个能用不同形式去解决的小问题，从而获得问题解决，体现化整为零，各个击破、积零为整的思想分类讨论如求函数f(x)在某一区间上的最值，应根据函数在该区间上的单调性求解，若函数的单调区间含参数，需根据所求区间与函数的单调区间的相对位置关系进行分类讨论，分类的目的是确定函数在所求区间上的单调性(2)解含参函数单调区间、极值、最值问题时，容易产生讨论的两个地方：f(x)0有根与无根的讨论；f(x)0有根，对根大小的讨论 易错防范(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念 1函数yxex的最小值是()A1BeCD不存在解析：选C.因为yxex，所以yexxex(1x)ex，当x(，1)时，y0，当x(1，)时，y0，所以当x1时，ymin(1)e1.2从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A12 cm3 B72 cm3C144 cm3D160 cm3解析：选C.设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则x(0，5)，y(102x)(162x)x4x352x2160x，所以y12x2104x160.令y0，得x2或(舍去)，所以ymax6122144(cm3)3已知函数yxln(1x2)，则函数y的极值情况是()A有极小值B有极大值C既有极大值又有极小值D无极值解析：选D.由题意得xR，y1(1x2)10，所以函数yxln(1x2)无极值4函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点解析：选C.设f(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1、x2、x3、x4.当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0时，令f(x)0得x，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表所示：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值因为函数f(x)在区间(1，2)上仅有一个极值点，所以或解得1a4.选C.6函数f(x)x33x24在x_处取得极小值解析：由f(x)3x26x0，得x0或x2.列表得x(，0)0(0，2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以在x2处取得极小值答案：27(2018湖南郴州高三模拟)已知奇函数f(x)则函数h(x)的最大值为_解析：先求出x0时，f(x)1的最小值当x0时，f(x)，所以x(0，1)时，f(x)0，函数单调递减，x(1，)时，f(x)0，函数单调递增，所以x1时，函数取得极小值即最小值，为e1，所以由已知条件得h(x)的最大值为1e.答案：1e8已知函数f(x)ln x(mR)在区间1，e上取得最小值4，则m_解析：f(x)(x0)，当m0时，f(x)0，f(x)在区间1，e上为增函数，f(x)有最小值f(1)m4，得m4，与m0矛盾当m0时，若m1即m1，f(x)在区间1，e上单调递增，f(x)minf(1)m4，得m4，与m1矛盾；若m1，e，即em1，f(x)minf(m)ln(m)14，解得me3，与em1矛盾；若me，即me时，f(x)在区间1，e上单调递减，f(x)minf(e)14，解得m3e，符合题意答案：3e9(2017高考北京卷)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线y f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上单调递减因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.10已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当a0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0，1)1已知yf(x)是奇函数，当x(0，2)时，f(x)ln xax(a)，当x(2，0)时，f(x)的最小值为1，则a()A BCD1解析：选D.因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(0，2)上的最大值为1.当x(0，2)时，f(x)a，令f(x)0，得x，又a，所以02.当x时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当x时，f(x)0，f(x)在(，2)上单调递减，所以f(x)maxf()lna1，解得a1.故选D.2若函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A5，0) B(5，0)C3，0)D(3，0)解析：选C.由题意，f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数，在(2，0)上是减函数，作出其大致图象如图所示，令x3x2得，x0或x3，则结合图象可知，解得a3，0)3已知函数f(x)k，若x2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为_解析：f(x)k(x0)设g(x)，则g(x)，则g(x)在(0，1)内单调递减，在(1，)内单调递增所以g(x)在(0，)上有最小值，为g(1)e，结合g(x)与yk的图象可知，要满足题意，只需ke.答案：(，e4设m，n是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点，若2(m，n)，则实数a的取值范围是_解析：由已知f(x)的解析式知f(x)3x24axa2，因为函数f(x)x32ax2a2x有两个极值点m，n，所以f(x)3x24axa2有两个零点m，n，又因为2(m，n)，所以有f(2)128aa20，解得2a6.答案：(2，6)5(2018南昌市第一次模拟)已知函数f(x)(2x4)exa(x2)2(x0，aR，e是自然对数的底数)(1)若f(x)是(0，)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)当a(0，)时，证明：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)的最小值的取值范围解：(1)f(x)2ex(2x4)ex2a(x2)(2x2)ex2a(x2)，依题意，当x0时，函数f(x)0恒成立，即a恒成立，记g(x)，则g(x)0，所以g(x