高中数学第2讲证明不等式的基本方法2综合法与分析法学案新人教A版.docx

二综合法与分析法1了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点(重点)2会用综合法、分析法证明简单的不等式(难点)基础初探教材整理1综合法阅读教材P23P23“例2”，完成下列问题一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法设a，bR，A，B，则A，B的大小关系是()AABBABCABD.AB【解析】A2()2a2b，B2ab，所以A2B2.又A0，B0，所以AB.【答案】C教材整理2分析法阅读教材P24P25“习题”以上部分，完成下列问题证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法设a，b，c，那么a，b，c的大小关系是() 【导学号：32750033】Aabc BacbCbacD.bca【解析】由已知，可得出a，b，c，2，bca.【答案】B质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型用综合法证明不等式已知a，b，c是正数，求证：abc.【精彩点拨】由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明b2c2c2a2a2b2abc(abc)，利用x2y22xy可证或将原不等式变形为abc后，再进行证明【自主解答】法一a，b，c是正数，b2c2c2a22abc2，b2c2a2b22ab2c，c2a2a2b22a2bc，2(b2c2c2a2a2b2)2(abc2ab2ca2bc)，即b2c2c2a2a2b2abc(abc)又abc0，abc.法二a，b，c是正数，22c.同理2a，2b，22(abc)又a0, b0，c0，b2c2a2c2a2b2abc(abc)故abc.1综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键2综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；(2)基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术几何平均不等式等再练一题1已知a0，b0，c0，且abc2.求证：(1a)(1b)(1c)8.【证明】a0，b0，c0，1a2，当且仅当a1时，取等号，1b2，当且仅当b1时，取等号，1c2，当且仅当c1时，取等号abc2，a，b，c不能同时取1，“”不同时成立(1a)(1b)(1c)88.即(1a)(1b)(1c)8.综合法与分析法的综合应用设实数x，y满足yx20，且0a1，求证：loga(axby)loga2.【精彩点拨】要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先用分析法探路，转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证明【自主解答】由于0a1，则tlogax(x0)为减函数欲证loga(axay)loga2，只需证axay2a.yx20,0a1，xyxx2.当且仅当x时，(xy)max，axya，a.又axay2(当且仅当xy取等号), axay2a.由于，等号不能同时成立，式等号不成立，即axay2a成立故原不等式loga(axay)loga2成立1通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明体现了分析法与综合法之间互为前提、互相渗透、相互转化的辩证关系2函数与不等式综合交汇，应注意函数性质在解题中的运用再练一题2已知a，b，c都是正数，求证：23. 【导学号：32750034】【证明】法一要证23，只需证ab2abc3，即2c3，移项，得c23.由a，b，c都为正数，得c2c3，原不等式成立法二a，b，c都是正数，c33，即c23，故2c3，ab2abc3，23.探究共研型分析法证明不等式探究1如何理解分析法寻找的是充分条件？【提示】用分析法证明，其叙述格式是：要证明A，只需证明B.即说明只要有B成立，就一定有A成立因此分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件分析法体现了数学中“正难则反”的原则，也是思维中的逆向思维，逆求(不是逆推)结论成立的充分条件探究2综合法与分析法有何异同点？【提示】综合法与分析法的异同点方法证明的起始步骤证法过程前后逻辑关系证题方向综合法已知条件或已学过的定义、定理、性质等格式：AB1B2BnB由已知条件开始推导其成立的必要条件(结论)由因导果分析法要证明的结论格式：BB1B2BnA由结论开始探索其成立的充分条件(已知)执果索因已知ab0，求证：.【精彩点拨】本题要证明的不等式显得较为复杂，不易观察出怎样由ab0得到要证明的不等式，因而可以用分析法先变形要证明的不等式，从中找到证题的线索【自主解答】要证原不等式成立，只需证ab2，即证()2.只需证，即1，即1.只需证1.ab0，1成立原不等式成立1解答本题的关键是在不等式两边非负的条件下，利用不等式的开方性质寻找结论成立的充分条件，采用分析法是常用方法证明过程一要注意格式规范，二要注意逻辑关系严密、准确2当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径常常利用移项、去分母、平方、开方等方法进行分析探路再练一题3已知a0，求证： a2. 【导学号：32750035】【证明】因为a0，要证原不等式成立，只需证2a，即证a24422，只需证a，即证2a22，只需证a22.由基本不等式知a22显然成立，所以原不等式成立构建体系综合法与分析法1已知a0，1b0，则()Aaabab2Bab2abaCabaab2D.abab2a【解析】1b0，1b20b.又a0，abab2a.【答案】D2下列三个不等式：a0b；ba0；b0a.其中能使成立的充分条件有()A BCD.【解析】a0b；ba0；b0a.故选A.【答案】A3已知a，b(0，)，Q，则P，Q的大小关系是_. 【导学号：32750036】【解析】ab，.【答案】PQ4若0，则下列不等式：abab；|a|b|；ab；2.其中正确的有_(填序号)【解析】0，ba0，故正确，错误a，b同号且ab，均为正，22.故正确【答案】5已知a0，b0,2cab，求证：ca.【证明】要证ca，只需证明ca，即证ba2，当ba0时，显然成立；当ba0时，只需证明b2a22ab4c24ab，即证(ab)24c2，由2cab知上式成立所以原不等式成立我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评（七）(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若a，b，cR，ab，则下列不等式成立的是()A.Ba2b2C.D.a|c|b|c|【解析】ab，c210，故选C.【答案】C2设1，则()Aaaabba BaabaabCabaabaD.abbaaa【解析】1，0ab1，aab1，abaa，.01，a0，1，aaba，abaaba.故选C.【答案】C3已知条件p：ab0，q：2，则p与q的关系是() 【导学号：32750037】Ap是q的充分而不必要条件Bp是q的必要而不充分条件Cp是q的充要条件D以上答案都不对【解析】当ab0时，0，0，2 2.当2时，0，0，(ab)20，ab0，综上，ab0是2的充要条件【答案】C4已知a，bR，那么下列不等式中不正确的是()A.2 B.abC. D.【解析】A满足基本不等式；B可等价变形为(ab)2(ab)0，正确；C选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确【答案】C5已知a，b，c为三角形的三边且Sa2b2c2，Pabbcca，则()AS2P BPS2PCSPD.PS2P【解析】a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，a2b2c2abbcca，即SP.又三角形中|ab|c，a2b22abc2，同理b22bcc2a2，c22aca2b2，a2b2c22(abbcca)，即S2P.【答案】D二、填空题6有以下四个不等式：(x1)(x3)(x2)2；abb2a2；0；a2b22|ab|.其中恒成立的为_(写出序号即可)【解析】对于，x24x3x24x4,34不成立；对于，当ab0时， 00不成立；显然成立【答案】7在RtABC中，C90，c为斜边，则的取值范围是_【解析】a2b2c2，(ab)2a2b22ab2(a2b2)2c2，当且仅当ab时，取等号又abc，1.【答案】(1，8已知a0，b0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为_【解析】P，Q，RQP，当且仅当ab时取等号【答案】PQR三、解答题9设a0，b0，c0.证明：(1)；(2).【证明】(1)a0，b0，(ab)224，.(2)由(1)知，同时，三式相加得：2，.10已知a1，求证：.【证明】要证原不等式成立，只要证明2.因为a1，0,20，所以只要证明2a24a，即证 a.所以只要证明a21a2，即证10即可而10显然成立，所以.能力提升1若xyyzzx1，则x2y2z2与1的关系是() 【导学号：32750038】Ax2y2z21 Bx2y2z21Cx2y2z21D.不确定【解析】x2y2z2(x2y2y2z2z2x2)(2xy2yz2zx)1，当且仅当xyz时，取等号【答案】A2设a，b，c都是正实数，且abc1，若M，则M的取值范围是_【解析】abc1，M222