角的平分线的性质逆定理.ppt

角的平分线的性质（2）,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,2、角的平分线的性质:,PDOA，PEOB, OC是AOB的平分线, PDPE,用数学语言表述：,复习,反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？,已知：如图,QDOA，QEOB， 点D、E为垂足，QDQE 求证：点Q在AOB的平分线上,思考,证明: QDOA，QEOB（已知）， QDOQEO90（垂直的定义） 在RtQDO和RtQEO中 QOQO（公共边） QD=QE RtQDORtQEO（HL） QODQOE 点Q在AOB的平分线上,已知：如图,QDOA，QEOB， 点D、E为垂足，QDQE 求证：点Q在AOB的平分线上,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。, QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上,用数学语言表示为：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等., QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE,如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等,BM是ABC的角平分线,点P在BM上,PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PDPE=PF.,即点P到三边AB、BC、CA的距离相等,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,图1-32,定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.,（这个交点叫做三角形的内心）,如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC,FGFM,又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,基本应用,填空： (1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) (1). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ (_ _),12,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,又 BAAD， BCCD，, 点B在ADC的平分线上.,例1 如图，BAD =BCD = 90，1=2.,（1）求证：点B在ADC的平分线上； （2）求证：BD是ABC的平分线.,证明： 在RtBAD和RtBCD中， BA = BC， BD = BD，, RtBADRtBCD., ABD =CBD., BD是ABC的平分线., PE=PF.,在EBP中，BE+PEPB，, BE+PFPB.,图1-30,如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF。 求证：AD是ABC的角平分线。,证明：D是BC的中点， BDCD. DEAB，DFAC，垂足分别是E，F， BEDCFD90. 在RtBED和RtCFD中，,BEDCFD(HL) DEDF(全等三角形的对应边相等) DEAB，DFAC，垂足分别是E，F， AD是ABC的角平分线,小结：,1.定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,2.逆定理 ： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,3.定理:三角形的三条角平分线相交于一点, 并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).,4.用尺规作角的平分线.（作法）,如图，E 是AOB 的平分线上一点，ECOA 于点C，EDOB 于点D. 求证：（1）ECD=EDC； （2）OC=OD.,2. 如图，在ABC 中，ADDE，BEDE，AC， BC 分别平分BAD，ABE，点C在线段DE上. 求证：