2016_2017学年高中数学1.2.2单位圆与三角函数线学案新人教B版必修.docx

1.2.2单位圆与三角函数线1.了解三角函数线的意义.(重点)2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.(难点)基础初探教材整理1单位圆阅读教材P19“第1行”“第12行”，完成下列问题.单位圆：我们把半径为1的圆叫做单位圆.角的终边与单位圆的交点的坐标是_.【解析】由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ，纵坐标是sin ，角的终边与单位圆的交点的坐标是.【答案】教材整理2三角函数线阅读教材P19“第13行”P20“例”以上部分，完成下列问题.如图122所示，点P的坐标为(cos ，sin )，即P(cos ，sin ).图122其中cos OM，sin ON.这就是说，角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.以A为原点建立y轴与y轴同向，y轴与的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T)，则tan AT(或AT).我们把轴上向量，和(或)分别叫做的余弦线、正弦线和正切线.图123如图123，在单位圆中角的正弦线、正切线完全正确的是()A.正弦线，正切线B.正弦线，正切线C.正弦线，正切线D.正弦线，正切线【解析】由三角函数线的定义知C正确.【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型三角函数线的概念(1)(2016济宁高一检测)设P点为角的终边与单位圆O的交点，且sin MP，cos OM，则下列命题成立的是()A.总有MPOM1B.总有MPOM1C.存在角，使MPOM1D.不存在角，使MPOM0(2)分别作出和的正弦线、余弦线和正切线.【自主解答】(1)显然，当角的终边不在第一象限时，MPOM1，MPOM0都有可能成立；当角的终边落在x轴或y轴正半轴时，MPOM1，故选C.【答案】C(2)在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作角，角的终边与单位圆交于点P，作PMOx轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin MP，cos OM，tan AT，即的正弦线为，余弦线为，正切线为.同理可作出的正弦线、余弦线和正切线，如图乙.sinM1P1，cosO1M1，tanA1T1，即的正弦线为，余弦线为，正切线为.1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.2.作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线.再练一题1.下列四个命题中：一定时，单位圆中的正弦线一定；单位圆中，有相同正弦线的角相等；和有相同的正切线；具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.不正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】由三角函数线的定义正确，不正确.【答案】C解三角不等式在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围，并由此写出角的集合.(1)sin ；(2)cos .【导学号：72010009】【精彩点拨】作出满足sin ，cos 的角的终边，然后根据已知条件确定角终边的范围.【自主解答】(1)作直线y，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角的终边的范围.故满足条件的角的集合为.(2)作直线x，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角的终边的范围.故满足条件的角的集合为.1.通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：(1)作出取等号的角的终边；(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；(3)将图中的范围用不等式表示出来.2.求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域.再练一题2.求ylg(1cos x)的定义域.【解】如图所示，1cos x0，cos x，2kx2k(kZ)，函数定义域为：(kZ).探究共研型三角函数线问题探究1为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cos ，sin )，点T的坐标为(1，tan )呢？【提示】由三角函数的定义可知sin ，cos ，而在单位圆中，r1，所以单位圆上的点都是(cos ，sin )；另外角的终边与直线x1的交点的横坐标都是1，所以根据tan ，知纵坐标ytan ，所以点T的坐标为(1，tan ).探究2如何利用三角函数线比较大小？【提示】利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负.已知，试比较sin ，tan 的大小.【精彩点拨】本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin ，tan ，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决.【自主解答】如图所示，设角的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PMx轴，PNy轴，作ATx轴，交的终边于点T，由三角函数线定义，得sin MP，tan AT，又的长，SAOPOAMPsin ，S扇形AOPOA，SAOTOAATtan .又SAOPS扇形AOPSAOT，sin tan .1.本题的实质是数形结合思想，即要求找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题.2.三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题.再练一题3.利用三角函数线证明：|sin |cos |1.【证明】在OMP中，OP1，OM|cos |，MP|sin |，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin |cos |1.当点P在坐标轴上时，|sin |cos |1.综上可知，|sin|cos|1.构建体系1.如果MP，OM分别是角的正弦线和余弦线，则下列结论正确的是()A.MPOMOM0C.MP0MP0【解析】因为，所以余弦线大于正弦线，且大于0.【答案】D2.已知(02)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么的值为()A.或 B.或C.或 D.或【解析】由题意的终边为一、三象限的平分线，且02，故得或.【答案】C3.(2016济南高一期末)在0,2上满足sin x的x的取值范围是()A. B.C. D.【解析】画出单位圆，结合正弦线得出sin x的取值范围是.【答案】B4.用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_.【解析】1cos 1.【答案】sin 1cos 15.在单位圆中画出适合下列条件的角的终边.(1)sin ；(2)cos .【导学号：72010010】【解】(1)作直线y交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角的终边，如图甲.甲乙(2)作直线x交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角的终边，如图乙.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.已知角的正弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边() A.在x轴上B.在y轴上C.在直线yx上D.在直线yx或yx上【解析】sin 1或sin 1，角终边在y轴上.故选B.【答案】B2.(2016石家庄高一检测)如果，那么下列各式中正确的是()A.cos tan sin B.sin cos tan C.tan sin cos D.cos sin tan 【解析】由于，如图所示，正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，由此容易得到OMAT0MP，故选A.【答案】A3.在(0,2)内，使sin xcos x成立的x的取值范围是()A.B.C. D.【解析】如图阴影部分(不包括边界)即为所求.【答案】C4.若是三角形的内角，且sin cos ，则这个三角形是()A.等边三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形【解析】当0时，由单位圆中的三角函数线知，sin cos 1，而sin cos ，必为钝角.【答案】D5.(2016天津高一检测)依据三角函数线，作出如下四个判断：sin sin ；coscos ；tan tan ；sin sin .其中判断正确的有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个【解析】根据下列四个图形，容易判断正确的结论有，故选B.【答案】B二、填空题6.(2016西安高一检测)已知，在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT，则它们从大到小的顺序为_.【解析】作图如下：因为，所以，根据三角函数线的定义可知ATMPOM.【答案】ATMPOM7.(2016济南高一检测)函数y的定义域为_.【导学号：72010011】【解析】要使函数有意义，有12sin x0，得sin x，如图，确定正弦值为的角的终边OP与OP，其对应的一个角分别为，所求函数定义域为(kZ).【答案】(kZ)8.点P(sin 3cos 3，sin 3cos 3)所在的象限为_.【解析】因为3，作出单位圆如图所示.设，的数量分别为a，b，所以sin 3a0，cos 3b0，所以sin 3cos 30.因为|MP|OM|，即|a|b|，所以sin 3cos 3ab0.故点P(sin 3cos 3，sin 3cos 3)在第四象限.【答案】第四象限三、解答题9.画出的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值.【解】如图，MP，OM，AT分别为正弦线，余弦线和正切线.sin ，cos ，tan .10.求函数f (x)ln的定义域.【解】由题意，自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，.能力提升1.已知sin sin ，那么下列结论成立的是()A.若，是第一象限角，则coscos B.若，是第二象限角，则tan tan C.若，是第三象限角，则cos cos D.若，是第四象限角，则tan tan 【解析】若，同属于第一象限，则0，cos cos ，故A错；第二象限，则，tan tan ，故B错；第三象限，则，cos cos ，故C错；第四象限，则2，tan tan ，(均假定0，2)，故D正确.【答案】D2.满足sin的x的集合是()A.B.C.D.【解析】由sin，得2kx2k，kZ，解得2kx2k，kZ.【答案】A3.(2016东莞高一检测)若，则下列各式错误的是_.sin cos 0; sin cos 0；|sin |cos |; sin cos 0.【解析】若，则sin 0，cos 0，sin |cos |，所