2019版高考数学第9章平面解析几何6第6讲双曲线教案理.docx

第6讲双曲线1双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点|F1F2|为双曲线的焦距|MF1|MF2|2a2a0)表示焦点在x轴上的双曲线()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()答案：(1)(2)(3)(4) (2017高考全国卷)已知双曲线C：1 (a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1B.1C.1D.1解析：选B.根据双曲线C的渐近线方程为yx，可知，又椭圆1的焦点坐标为(3，0)和(3，0)，所以a2b29，根据可知a24，b25，所以选B. (教材习题改编)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为_解析：法一：由题意，得e，解得，所以双曲线的渐近线方程为yxx，即4x3y0.法二：由题意，得e，即ca，所以b2c2a2a2，所以，所以双曲线的渐近线方程为yxx，即4x3y0.答案：4x3y0 (2016高考北京卷)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_；b_解析：由题意知，渐近线方程为y2x，由双曲线的标准方程以及性质可知2，由c，c2a2b2，可得b2，a1.答案：12双曲线的定义 典例引领 (1)设双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|PF2|34，则PF1F2的面积等于()A10B8C8D16(2)(2018孝感质检)ABC的顶点A(5，0)，B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_【解析】(1)依题意|F1F2|6，|PF2|PF1|2，因为|PF1|PF2|34，所以|PF1|6，|PF2|8，所以等腰三角形PF1F2的面积S8 8.(2)如图，ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|AE|8，|BF|BG|2，|CE|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)【答案】(1)C(2)1(x3) 若本例(1)中“|PF1|PF2|34”变为“PF1PF2”，其他条件不变，如何求解解：设|PF1|m，|PF2|n，则解得mn16，所以SPF1F2mn8.双曲线定义的应用规律类型解读求方程由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程解焦点三角形利用双曲线上点M与两焦点的距离的差|MF1|MF2|2a(其中2a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.1B.1C.y21Dx21(2)若双曲线的渐近线方程为yx，且经过点(4，)，则双曲线的方程为_【解析】(1)由OAF是边长为2的等边三角形可知，c2，tan 60，又c2a2b2，联立可得a1，b，所以双曲线的方程为x21.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为yx，所以可设双曲线的方程为x24y2(0)因为双曲线过点(4，)，所以164()24，所以双曲线的标准方程为y21.法二：因为渐近线yx过点(4，2)，而0，b0)由已知条件可得解得所以双曲线的标准方程为y21.【答案】(1)D(2)y21(1)求双曲线标准方程的答题模板(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法与双曲线1共渐近线的方程可设为(0)；若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的方程可设为(0)；若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为1(mn0)或mx2ny21(mn0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1解析：选A.由题意知，双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为y2x，所以2，即b24a2.又双曲线的一个焦点是直线l与x轴的交点，所以该焦点的坐标为(5，0)，所以c5，即a2b225，联立得解得a25，b220，故双曲线的方程为1.2与椭圆y21共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是()A.y21B.y21C.1Dx21解析：选B.法一：椭圆y21的焦点坐标是(，0)设双曲线方程为1(a0，b0)，所以1，a2b23，解得a22，b21，所以所求双曲线方程是y21.法二：设所求双曲线方程为1(10，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若SOMF216，则双曲线的实轴长是()A32B16C84D4【解析】由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线yx上，由题意可知|F2M|b，所以|OM|a.由SOMF216，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.【答案】B角度二求双曲线的渐近线方程 过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆O：x2y2a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若ACB120，则双曲线的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx【解析】如图所示，连接OA，OB，设双曲线1(a0，b0)的焦距为2c(c0)，则C(a，0)，F(c，0)由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则ACOBCOACB12060.因为|OA|OC|a，所以ACO为等边三角形，所以AOC60.因为FA与圆O切于点A，所以OAFA，在RtAOF中，AFO90AOF906030，所以|OF|2|OA|，即c2a，所以ba，故双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即yx.【答案】A角度三求双曲线的离心率(或范围) (1)(2017高考全国卷)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A2B.C.D.(2)已知双曲线1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是_【解析】(1)依题意，双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为bxay0.因为直线bxay0被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，所以，所以3a23b24b2，所以3a2b2，所以e2，选择A.(2)在PF1F2中，由正弦定理知，又，所以，所以P在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，又因为|PF1|PF2|2a，所以|PF2|.由双曲线几何性质知|PF2|ca，则ca，即e22e10，所以1e0，b0)的离心率e，则它的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx解析：选A.由双曲线C：1(a0，b0)的离心率e，可得，所以1，可得，故双曲线的渐近线方程为yx.选A.2(2018郑州市第二次质量预测)已知双曲线C2与椭圆C1：1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C2的离心率为_解析：设双曲线的方程为1(a0，b0)，由题意知a2b2431，由，解得交点的坐标满足，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S4|xy|4884，当且仅当a21a2，即a2时，取等号，此时双曲线的方程为1，离心率e.答案：直线与双曲线的位置关系 典例引领 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围【解】(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得，a，c2，再由a2b2c2，得b21，所以双曲线C的方程为y21.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由题意知所以k的取值范围为.在本例(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围解：由(2)得：xAxB，所以yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2.所以AB的中点P的坐标为.设直线l0的方程为：yxm，将P点坐标代入直线l0的方程，得m.因为k1，所以213k20.所以m0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB的长解：(1)因为双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以解得c3，b，所以双曲线的方程为1.(2)双曲线1的右焦点为F2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线的方程为y(x3)联立得5x26x270.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|AB| . 双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程0就是双曲线1(a0.b0)的两条渐近线方程 易错防范(1)双曲线的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件若2a|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.(3)双曲线的离心率e(1，)，而椭圆的离心率e(0，1) 1(2018石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则c4，a2，b212，双曲线方程为1，故选A.2(2018辽宁抚顺模拟)当双曲线M：1(2m|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为()A6B3C.D.解析：选A.设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a，半焦距为c，依题意知，2a2a4c，所以4246，当且仅当c2a时取“”，故选A.5(2018河南新乡模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若2，且|4，则双曲线C的方程为()A.1B.1C.1D.1解析：选D.不妨设B(0，b)，由2，F(c，0)，可得A，代入双曲线C的方程可得1，即，所以，又|4，c2a2b2，所以a22b216，由可得，a24，b26，所以双曲线C的方程为1，故选D.6已知双曲线1的一个焦点是(0，2)，椭圆1的焦距等于4，则n_解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为1，即a23m，b2m，所以c23mm4m4，解得m1.所以椭圆方程为x21，且n0，椭圆的焦距为4，所以c2n14或1n4，解得n5或3(舍去)答案：57(2018四川绵阳模拟)设F1，F2分别为双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若AMN的面积为c2，则该双曲线的离心率为_解析：设M，根据矩形的性质，得|MO|OF1|OF2|c，即x2c2，则xa，所以M(a，b)因为AMN的面积为c2，所以2abc2，所以4a2(c2a2)c4，所以e44e240，所以e.答案：8设P为双曲线x21上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若PF1F2的面积为12，则F1PF2_解析：由题意可知，F1(，0)，F2(，0)，|F1F2|2.设P(x0，y0)，则PF1F2的面积为2|y0|12.故y，将P点坐标代入双曲线方程得x，不妨设点P，则(，)，可得0，即PF1PF2，故F1PF2.答案：9已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解：椭圆D的两个焦点坐标为(5，0)，(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为1(a0，b0)，所以渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r3.所以3，得a3，b4，所以双曲线G的方程为1.10已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为2xy0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求AOB的面积解：(1)依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y2x，设A(m，2m)，B(n，2n)，其中m0，n0，由得点P的坐标为.将点P的坐标代入x21，整理得mn1.设AOB2，因为tan2，则tan ，从而sin 2.又|OA|m，|OB|n，所以SAOB|OA|OB|sin 22mn2.1(2018长春市质量检测(二)过双曲线x21的右支上一点P，分别向圆C1：(x4)2y24和圆C2：(x4)2y21作切线，切点分别为M，N，则|PM|2|PN|2的最小值为()A10B13C16D19解析：选B.由题可知，|PM|2|PN|2(|PC1|24)(|PC2|21)，因此|PM|2|PN|2|PC1|2|PC2|23(|PC1|PC2|)(|PC1|PC2|)32(|PC1|PC2|)32|C1C2|313.故选B.2(2018石家庄模拟)以椭圆1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2.已知点M的坐标为(2，1)，双曲线C上的点P(x0，y0)(x00，y00)满足，则SPMF1SPMF2()A2B4C1D1解析：选A.由题意，知双曲线方程为1，|PF1|PF2|4，由，可得，即F1M平分PF1F2.又结合平面几何知识可得，F1PF2的内心在直线x2上，所以点M(2，1)就是F1PF2的内心故SPMF1SPMF2(|PF1|PF2|)1412.3已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点(1)求双曲线的