Rn的标准正交基.ppt

一、Rn的基,2.6 Rn 的标准正交基,二、Rn的标准正交基,三、正交矩阵,一、Rn的基,n 维实向量空间,线性无关，且任一向量可由它们唯一表出；,互相垂直，且长度都为1。,3个向量在 直角坐标系的 3个轴上,称为R3的一个基,几何向量的度量性质,1. 基的定义,定义 1 在 Rn 中，称任意 n 个线性无关的,向量 1 , 2 , , n 为 Rn 的一个基.,显然 Rn 中的向量组 1 = (1, 0, , 0)T , 2 = (1, 0, 0)T , , n = (1, 0, , 0)T 为 Rn 的一个基，一般,称 1 , 2 , , n 为 Rn 的标准基或自然基.,类似地， 1 = (1, 0, , 0)T , 2 = (1, 1, , 0)T , , n = (1, 1, , 1)T 也是 Rn 的一个基.,注：任意 Rn， 可由1 , 2 , , n 为唯一,线性表示。,2. 向量在基下的坐标,定义 2 设 1 , 2 , , n 为 Rn 的一个基，,则对于任意 Rn， 可以表为 1 , 2 , , n 的线,性组合，且表示法唯一，,使, = a11 + a22 + + ann,即存在 a1 , a2 , , an R ,称组合系数 a1 , a2 , , an 为 在基1 , 2 , , n,下的坐标，记作 ( a1 , a2 , , an ) .,例 1 分别求向量 = (d1 , d2 , , dn)T Rn，,在标准基 1 , 2 , , n 和基 1 = (1, 0, , 0)T ,2 = (1, 1, , 0)T , , n = (1, 1, , 1)T 下的坐标.,如何推广几何空间 R3 中向量的度量（点积、,长度、夹角）概念及直角坐标系的概念,?,在 3 维几何空间中，我们引进了向量的点积,二、Rn的标准正交基,(“直角坐标系”),定义 设 n 维实向量,则,称为向量 与 的内积.,显然， T R .,1. 向量的内积,例如，设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T ,则,内积的性质,(1) T = T ;,(2) (k )T = kT ;,(3) ( + )T = T + T ;,(4) T 0 , 且 T = 0 = 0 .,其中 , , 为 Rn 中的任意向量，k R .,由性质 (1) , (2) , (3) 可推出：,( k11 + k22 )T = k11T + k22T , T ( k11 + k2 2 ) = k1T1 + k2T2 .,2. 向量的长度,定义 设 = (a1 , a2 , , an)T Rn ，称,为向量 的长度(或模)，记作 | | .,即,如果 | | = 1，则称 为单位向量.,例如：,均为 R2 中的单位向量.,长度的性质,(1) | | 0 , 且 | | = 0 = 0 ;,(2) | k | = | k | | | ;,(3) |T | | | | | , 且,|T | = | | | | , 线性相关.,(4) 非零向量的单位化,若 0 ，则,为单位向量.,3. 向量正交,定义 设 , Rn , 如果 T = 0 ，则称,向量 , 正交.,定义 如果一个非零向量组(即该向量组,中的向量都不是零向量) 1 , 2 , , s (s 2),中的向量两两正交，则称 1 , 2 , , s 为一个,正交向量组.,性质,由正交的定义知: 零向量与任意向量正交.,4. 标准正交基,定义 如果 Rn 中的 n 个向量1 ,2 , n,满足以下两个条件：,(1) 1 , 2 , , n 中任意两个向量都正交；,(2) | j | = 1 , j = 1, 2, , n ,则称 1 , 2 , , n 为 Rn 的一个标准正交基.,6，1,4,A-1 = AT,设 A 为 n 阶实矩阵, 则,A 为正交矩阵,三、正交矩阵,看看 Rn 的标准正交基构成怎样的矩阵？,正交矩阵的性质 (1) 若 A 为正交矩阵, 则,|A| = ;,(证明略),(