内积与正交矩阵.ppt

,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,2.6 内积与正交矩阵,一. Rn中向量的内积, 长度和夹角,1. 设 =(a1, a2, , an)T, =(b1, b2, , bn)T,记为, , 即,(inner/dot/scalar product).,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,2. 内积的基本性质,对称性: , = , ;,(2) 线性性: k11+k22, = k11, +k22,;,(3) , 0; 且, = 0 = 0 .,考察y = , x2 + 2, x + , .,n = (xai + bi)2 0 i=1, = (2, )2 4, , 0, , 2 , , .,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,3. 对于n维实向量, 称,为 的长度,(length)或模(modulus), 记为|, 即,4. 长度的基本性质,(3) 三角不等式(Triangle Inequality):,(1) 正定性: | 0; 且| = 0 = 0 ;,(2) 齐次性: |k| = |k| (kR);,| + | | + |.,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,5. 长度为1的向量称为单位向量(unit vector).,对于非零向量, |1是一个单位向量. 这个过程叫单位化/标准化(normalize).,6. 设, Rn, 若 0, 0, 则定义, 的,若, = 0, 即 = /2, 则称与正交 (orthogonal).,夹角(the angle between and )为,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,例2.25 设, Rn, 且与线性无关, 求常数k,使 +k与正交.,| | = |cos,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,二. 正交向量组和Schmidt正交化方法,正交(mutually orthogonal)向量组,标准正交(orthonormal)向量组,正交基(orthogonal basis),标准正交基(orthonormal basis),1. 概念（P76-77）,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,命题2.3. 设1, 2, , s是标准正交向量组, 且 = k11+k22+kss, 则ki = , i, i = 1, 2, , s.,2. 结论,定理2.9. 1, 2, , s正交线性无关.,命题2.4. 设1, 2, , s线性无关(s2), 则存 在一个正交向量组1, 2, , s使得 1, 2, , t与1, 2, , t等价 (1 t s).,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,1 = 1, ,3. 方法(Gram-Schmidt orthogonalisation process),再将1, 2, , s单位化得:,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,例题2.26 用Schmidt正交化方法求一个与,等价的向量组。,解：利用Schmidt正交化方法，先将这个向,量组正交化。,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,向量组：,对于给定向量空间，如果已知其一组基，,只要用Schmidt正交化方法将其正交化，,单位化，就可以得到这个空间的一组标准,正交基。,三. 正交矩阵(orthogonal matrix),1. 满足QTQ = E (即Q1 = QT)的实方阵Q称,为正交矩阵, 简称为正交阵.,由定义可知矩阵Q是正交矩阵当且仅当Q,可逆，且,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,定理2.10. 设Q为n阶实方阵, 则下列条件等价:,推论. (1) Q为正交阵|Q| = 1,